Contraposition

논리(logic)와 수학(mathematics)에서, 대우(contraposition)는 조건부 명제(conditional statement)에서 논리적으로 동등한(logically equivalent) 대우(contrapositive)로 가는 추론(inference), 및 대우에 의한 증명으로 알려진 관련된 증명 방법을 참조합니다.^[1] 명제의 대우는 역화(inverted)하고 뒤집은(flipped) 전제(antecedent)와 결론(consequent)을 가집니다. 예를 들어, 조건부 명제 "만약 비가 오는 중이면, 나는 코트를 입습니다"의 대우는 명제 "만약 내가 코트를 입지 않으면, 비가 오지 않는 중입니다"입니다. 형식(formulas)에서: $P\rightarrow Q$ 의 대우는 $\neg Q\rightarrow \neg P$ 입니다.^[2] 대우의 법칙은 조건부 명제가 참인 것과 그것의 대우가 참인 것은 필요충분 조건이라고 말합니다.^[3]

대우는 $P\rightarrow Q$ 와 관련된 세 개의 다른 조건부 명제와 비교될 수 있습니다:

역(Inversion) (또는 inverse), $\neg P\rightarrow \neg Q$: "만약 비가 오는 중이 아니면, 나는 코트를 입지 않습니다." 대우와 달리, 역의 진리 값(truth value)은 여기에서 입증 된 것처럼 원래의 제안이 참인지 아닌지에 전혀 의존하지 않습니다.
전환(Conversion) (또는 converse), $Q\rightarrow P$: "만약 내가 코트를 입으면, 비가 오는 중입니다." 전환은 실제로 역의 대우이고, 따라서 역과 같은 진리 값을 항상 가집니다 (이것은 앞서 언급했듯이 원래 명제와 같은 진실 값을 항상 공유하지는 않습니다).
부정(Negation), $\neg (P\rightarrow Q)$: "만약 비가 오는 중이 아니면 나는 코트를 입는 경우가 아닙니다", 또는 동등하게, "때때로, 비가 오는 중일 때, 나는 코트를 입지 않습니다." 만약 부정이 참이면, 원래 제안 (및 대우로 확장에 의해) 거짓입니다.

만약 $P\rightarrow Q$ 가 참이고 $Q$ 가 거짓인 것으로 주어지면 (즉, $\neg Q$ 이면), 그것은 $P$ 가 역시 거짓이어야 함 (즉, $\neg P$ )을 논리적으로 결론지을 수 있습니다. 이것은 대우의 법칙, 또는 모두스 톨레스(modus tollens) 추론의 규칙(rule of inference)으로 종종 불립니다.^[4]

Intuitive explanation

오일러 다이어그램(Euler diagram)에서 보인 것처럼, 만약 어떤 것이 A 안에 있으면, 그것은 마찬가지로 B 안에 있어야 합니다. 그래서 우리는 다음으로 "A의 모든 것은 B 안에 있습니다"로 해석됩니다:

A\to B

B (파란색 영역) 이내에 있지 않은 무엇이든 역시 A 이내에 있을 수 없다는 것 역시 분명합니다. 다음으로 표현될 수 있는 이 명제:

\neg B\to \neg A

는 위의 명제의 대우입니다. 그러므로, 우리는 다음임을 말할 수 없습니다:

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A)

.

실제에서, 이 동등성은 더 쉽게 명제를 입증하는 것을 만들기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 만약 우리는 미국에서 모든 소녀 (A)가 갈색 머리 (B)를 가지고 있음을 입증하기를 원하면, 우리는 미국에서 모든 소녀가 실제로 갈색 머리를 가짐을 확인함으로써 $A\to B$ 를 직접 입증하려는 시도, 또는 갈색 머리없는 모든 여자가 실제로 모두 미국 밖에 있음을 확인함으로써 $\neg B\to \neg A$ 를 입증하려고 시도할 수 있습니다. 특히, 만약 우리가 미국 이내에 갈색 머리없는 적어도 한 여자를 찾으면, 우리는 $\neg B\to \neg A$ , 및 동등하게 $A\to B$ 를 반증했을 것입니다.

일반적으로, A가 B를 의미하는 임의의 명제에 대해, not B는 항상 not B임을 의미합니다. 결과로써, 이들 명제 중 하나를 입증하거나 반증하는 것은 자동적으로 다른 것을 입증 또는 반증하는 것인데, 왜냐하면 그들은 서로 논리적으로 동등하기 때문입니다.

Formal definition

제안 Q는 다음 관계를 유지시킬 때 제안 P에 의해 함축됩니다:

(P\to Q)

이것은 "만약 P이면, Q입니다", 또는 "만약 소크라테스는 남자입니다이면, 소크라테스는 사람입니다"임을 말합니다. 이것처럼 조건부에서, P는 전제(antecedent)이고 Q는 결론(consequent)입니다. 하나의 명제는 그것의 전제가 다른 것의 부정된(negated) 결과이고, 그 반대도 마찬가지일 때 오직 다른 것의 대우입니다. 따라서 대우는 일반적으로 다음의 형식을 취합니다:

(\neg Q\to \neg P)

.

즉, "만약 not-Q이면, not-P입니다", 또는, 보다 분명히, "만약 Q가 그 경우가 아니면, P는 그 경우가 아닙니다." 우리의 예제를 사용하여, 이것은 "만약 소크라테스는 사람이 아닙니다이면, 소크라테스는 남자가 아닙니다로 되게 만듭니다. 이 명제는 원래의 것과 대우되는 것으로 말해지고 그것과 논리적으로 동등합니다. 그들의 논리적으로 동등(logical equivalence)에 기인하여, 하나를 말하는 것이 다른 것을 효과적으로 말합니다; 하나가 참(true)일 때, 다른 것이 역시 참이고, 하나가 거짓일 때, 다른 것은 역시 거짓입니다.

엄격하게 말하면, 대우는 두 간단한 조건부에 오직 존재할 수 있습니다. 어쨌든, 대우는 만약 그들이 비슷하면 두 복잡한, 보편 조건부에 역시 존재할 것입니다. 따라서, $\forall {x}(P{x}\to Q{x})$ , 또는 "모든 P가 Q입니다"는 $\forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})$ , 또는 "모든 비-Q는 비-P입니다"로 대우됩니다. ^[5]

Simple proof by definition of a conditional

일-차 논리(first-order logic)에서, 조건부는 다음으로 정의됩니다:

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

이것은 다음처럼 그것의 대우와 동등하게 만들 수 있습니다:

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

Simple proof by contradiction

다음으로 놓습니다:

(A\to B)\land \neg B

만약 A가 참이면, B가 참인 것으로 주어지고, 역시 B가 참이 아닌 것으로 주어집니다. 우리는 그런-다음 A는 대우에 의해 참이 아니어야 함을 보일 수 있습니다. 만약 A가 참이었으면에 대해, B가 (긍정 논법(Modus Ponens)에 의해) 역시 참이어야 합니다. 어쨌든, B가 참인 것으로 주어졌으므로, 우리는 대우를 가집니다. 그러므로, A는 참이 아닙니다 (우리는 참 또는 거짓 중 하나인 두-값의 명제(bivalent statements)를 다루는 것으로 가정합니다):

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

우리는 완전한 다른 방법을 같은 과정에 적용할 수 있으며, 다음인 가정과 함께 시작합니다:

(\neg B\to \neg A)\land A

여기서, 우리는 B가 참 또는 참이 아님 중에 하나임을 역시 압니다. 만약 B가 참이 아니면, A는 역시 참이 아닙니다. 어쨌든, A가 참으로 주어지므로, B가 참이 아니라는 가정은 대우로 이어지며, 이것은 B가 참이 아닌 경우가 아닌 것임을 의미합니다. 그러므로, B는 참이어야 합니다:

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

두 입증된 명제를 함께 결합하여, 우리는 조건부와 그것의 대우 사이에서 추구하는 논리적 동등성을 얻습니다:

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

More rigorous proof of the equivalence of contrapositives

두 제안 사이의 논리적 동등성은 그들이 함께 참 또는 거짓임을 의미합니다. 대우가 논리적으로 동등(logically equivalent)인 것을 입증하기 위해, 우리는 물질적 함축이 참 또는 거짓일 때 이해되어야 합니다.

P\to Q

이것은 P가 참이고 Q가 거짓일 때 오직 거짓입니다. 그러므로, 우리는 이 제안을 "P 그리고 비-Q일 때 거짓" (즉, P 그리고 비-Q인 것이 아닌 경우일 때 참") 명제로 줄일 수 있습니다:

\neg (P\land \neg Q)

논리곱(conjunction)의 원소는 (교환성(commutativity)에 의해) 효과 없음과 함께 역순될 수 있습니다:

\neg (\neg Q\land P)

우리는 $R$ 을 " $\neg Q$ "와 같은 것으로 정의하고, $S$ 를 $\neg P$ 와 같은 것으로 정의합니다 (이것으로부터, $\neg S$ 는 $\neg \neg P$ 와 같으며, 이것은 바로 $P$ 와 같습니다):

\neg (R\land \neg S)

이것은 "(R이 참이고 S가 거짓입니다)인 경우가 아닙니다"로 읽히며, 이것은 물질적 조건부의 정의입니다. 우리는 그런-다음 이 대체를 만들 수 있습니다:

R\to S

R과 S를 P와 Q로 다시 되돌려 놓음으로써, 우리는 그런-다음 원했던 대우를 획득합니다:

\neg Q\to \neg P

Comparisons

name	form	description
함축(implication)	만약 P이면 Q입니다	첫 번째 명제는 두 번째 명제의 진리를 의미합니다
역(inverse)	만약 P가 아니면 Q가 아닙니다	두 명제의 부정
전환(converse)	만약 Q이면 P입니다	두 명제의 반전
대우(contrapositive)	만약 Q가 아니면 P가 아닙니다	두 명제의 반전과 부정
부정(negation)	P이고 Q가 아닙니다	함축의 반대

Examples

명제 "모든 빨간색 대상은 색깔을 가집니다."를 취합니다. 이것은 "만약 대상이 빨간색이면, 그것은 색깔을 가집니다"로 동등하게 표현될 수 있습니다.

대우는 "만약 대상이 색깔을 가지지 않으면, 그것은 빨간색이 아닙니다"입니다. 이것은 논리적으로 우리의 초기 명제를 따르고, 그것과 같이, 분명히 참입니다.
역은 "만약 대상이 빨간색이 아니면, 그것은 색깔을 가지지 않습니다"입니다. 파란색인 대상은 빨간색이 아니고, 여전히 색깔을 가집니다. 그러므로, 이 경우에서 역은 거짓입니다.
전환은 "만약 대상이 색깔을 가지면, 그것은 빨간색입니다"입니다. 대상은 다른 색깔을 가질 수 있으므로, 우리의 명제의 전환은 거짓입니다.
부정은 "색깔을 가지지 않는 빨간색 대상이 존재합니다"입니다. 이 명제는 거짓인데 왜냐하면 부정하는 초기 명제가 참이기 때문입니다.

달리 말해서, 대우는, 비로 쌍조건부(biconditional)에 대해 충분이 아닐지라도, 주어진 조건부(conditional) 명제와 논리적으로 동등합니다.

비슷하게, 명제 "모든 사각형(quadrilaterals)은 네 변을 가집니다", 또는 동등하게 표현된 "만약 다각형이 사각형이면, 그것은 네 변을 가집니다"을 취하십시오.

대우는 "만약 다각형이 네 변을 가지지 않으면, 그것은 사각형이 아닙니다"입니다. 이것은 논리적으로, 및 하나의 규칙처럼, 대우는 그것의 조건부의 진리 값(truth value)을 공유함을 따릅니다.
역은 "만약 다각형이 사각형이 아니면, 그것은 네 변을 가지지 않습니다"입니다. 이 경우에서, 마지막 예제와 달리, 명제의 역은 참입니다.
전환은 "만약 다각형이 네 변을 가지면, 그것은 사각형입니다"입니다. 다시, 이 경우에서, 마지막 예제와 달리, 명제의 전환은 참입니다.
부정은 "네 변을 가지지 않는 적어도 하나의 사각형이 있습니다"입니다. 이 명제는 분명하게 거짓입니다.

명제와 그것의 전환이 둘 다 참이므로, 그것은 쌍조건부(biconditional)로 불리고, "다각형이 사각형인 것과 그것이 네 변을 가지는 것은 필요충분 조건입니다"로 표현될 수 있습니다. (문구 필요충분은 때때로 필충으로 축약됩니다.) 즉, 네 변을 가지는 것은 사변형일 필요가 있고, 단독으로 그것을 사변형으로 생각하기에 충분합니다.

Truth

만약 명제가 참이면, 그것의 대우는 참입니다 (그 반대도 마찬가지입니다).
만약 명제가 거짓이면, 그것의 대우는 거짓입니다 (그 반대도 마찬가지입니다).
만약 명제의 역이 참이면, 그것의 전환은 참입니다 (그 반대도 마찬가지입니다).
만약 명제의 역이 거짓이면, 그것의 전환은 거짓입니다 (그 반대도 마찬가지입니다).
만약 명제의 부정이 거짓이면, 그 명제는 참입니다 (그 반대도 마찬가지입니다).
만약 명제 (또는 그것의 대구) 및 그 역 (또는 전환)이 둘 다 참 또는 둘 다 거짓이면, 그것은 논리적 쌍조건부(logical biconditional)로 알려져 있습니다.

Application

명제의 대우는 명제 자체와 항상 같은 진리 값을 (진리 또는 허위)를 갖기 때문에, 수학적 정리(theorem)를 입증하는 것에 대해 강력한 도구가 될 수 있습니다 (특히 만약 대우의 진리가 명제 자체의 진리보다 확립하기 쉬운 경우에 그렇습니다).^[1] 대우에 의한 증명proof by contraposition (or contrapositive)은 명제의 대우의 직접 증명(direct proof)입니다. ^[6] 어쨌든, 대우에 의한 증명(proof by contradiction)과 같은 간접 방법은, 예를 들어, 2의 제곱근(square root of 2)의 무리수성의 증명에서 처럼, 대우와 함께 사용될 수 있습니다. 유리수(rational number)의 정의에 의해, 그 명제는 "만약 ${\sqrt {2}}$ 가 유리수이면, 그것은 기약 분수(irreducible fraction)로 표현될 수 있습니다"인 것으로 만들어질 수 있습니다. 이 명제는 참인데 왜냐하면 그것은 정의의 다시-명제이기 때문입니다. 이 문장의 대우는 "만약 ${\sqrt {2}}$ 가 기약 분수로 표현될 수 없으면, 그것은 유리수가 아닌니다"입니다. 원래의 명제와 마찬가지로, 이 대우는 역시 참입니다. 그러므로, 만약 ${\sqrt {2}}$ 가 기약 분수로 표현될 수 없으면, ${\sqrt {2}}$ 가 유리수가 아닌 경우임이 틀림없는 것으로 입증될 수 있습니다. 후자는 대우에 의해 입증될 수있습니다.

앞의 예제는 정리를 입증하기 위해 정의의 대우를 채택했습니다. 우리는 정리의 명제의 대우를 입증함으로써 정리를 역시 입증할 수 있습니다. 만약 양의 정수 N이 비-제곱수(non-square number)이면, 그것의 제곱근은 무리수입니다를 입증하기 위해, 우리는 그것의 대우, 만약 양의 정수 N이 유리수인 제곱근을 가지면, N은 제곱수입니다를 동등하게 입증할 수 있습니다. 이것은 √N을 유리수 표현 a/b와 같게 설정하고, 여기서 a와 b는 공통 소수 인수를 갖지 않는 양의 정수이며, N = a²/b²를 구하기 위해 제곱하고 N이 양의 정수이므로 N = a², 제곱수가 되도록 b=1임을 지적함으로써 보일 수 있습니다.

Correspondence to other mathematical frameworks

Probability calculus

대우는 베이즈의 정리(Bayes' theorem)의 예제를 나타내며 이것은 특별한 형식에서 다음으로 표현될 수 있습니다:

$\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}$ .

위의 방정식에서 조건부 확률(conditional probability) $\Pr(\lnot Q\mid P)$ 는 논리적 명제 $P\to \lnot Q$ 를 일반화합니다. 즉, 참 또는 거짓을 할당하는 것 외에도 우리는 임의의 확률을 명제에 역시 할당할 수 있습니다. 항 $a(P)$ 는 $P$ 의 기저율(base rate) (일명. 이전 확률(prior probability))을 나타냅니다. $\Pr(\lnot Q\mid P)=1$ 가 참인 $P\to \lnot Q$ 와 동등하고, $\Pr(\lnot Q\mid P)=0$ 가 거짓인 $P\to \lnot Q$ 와 동등함을 가정합니다. 그런-다음 $\Pr(Q\mid P)=1$ 일 때, 즉, $\Pr(Q\mid P)=1$ 가 참일 때 $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ 임을 쉽게 알 수 있습니다. 이것은 위의 방정식의 오른쪽 변에 대한 분수가 1과 같도록 $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ 이고, 따라서 $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ 이며 이것은 참인 $\lnot Q\to \lnot P$ 과 동등한 것이기 때문입니다. 따라서, 베이즈의 정리(Bayes' theorem)는 대우의 일반화를 나타냅니다.^[7]

Subjective logic

대우는 주관적 베이즈의 정리를 주관적 논리(subjective logic)에서 다음처럼 표현된 예제로 나타냅니다:

$(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,$ ,

여기서 $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ 는 원천 $A$ 에 의해 주어진 이항 조건부 의견의 쌍을 나타냅니다. 매개변수 $a_{P}$ 는 $P$ 의 기저율(base rate) (일명. 이전 확률(prior probability))을 나타냅니다. 역화된 조건부 의견의 쌍은 $(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})$ 으로 표시됩니다. 조건부 의견 $\omega _{Q|P}^{A}$ 는 논리적 명제 $P\to Q$ 로 일반화됩니다. 즉, 참 또는 거짓을 할당하는 것 외에도 원천 $A$ 는 명제에 임의의 주관적 의견을 할당할 수 있습니다. $\omega _{Q\mid P}^{A}$ 가 절대적 참 의견인 경우는 $P\to Q$ 가 참이라고 말하는 원천 $A$ 와 동등하고, $\omega _{Q\mid P}^{A}$ 가 절대적 거짓 의견인 경우는 $P\to Q$ 가 거짓이라고 말하는 원천 $A$ 와 동등합니다. 조건부 의견 $\omega _{Q|P}^{A}$ 가 절대적 거짓일 때 경우에서 주관적 논리(subjective logic)의 주관적 베이즈의 정리 연산자 ${\widetilde {\phi \,}}$ 는 절대 거짓 조건부 의견 $\omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ 과 그것에 따라서 절대 참 조건부 의견 $\omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ 을 생성하며 이것은 참인 $\lnot Q\to \lnot P$ 와 동등합니다. 따라서, 주관적 베이즈의 정리는 대우 및 베이즈의 정리(Bayes' theorem) 둘 다의 일반화를 나타냅니다.^[8]

References

^ ^a ^b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Contrapositive". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-26.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ "Definition of CONTRAPOSITIVE". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-26.
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^ "Modus ponens and modus tollens | logic". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-26.
^ "Predicates and Quantified Statements II". www.csm.ornl.gov. Retrieved 2019-11-26.
^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.), Brooks/Cole, p. 37, ISBN 0-534-38214-2
^ Audun Jøsang 2016:2
^ Audun Jøsang 2016:92

Sources

Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; A formalism for Reasoning Under Uncertainty Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1

External links

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[:0-1] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Contrapositive". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-26.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[2] "Definition of CONTRAPOSITIVE". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-26.

[3] "The Law of Contraposition". beisecker.faculty.unlv.edu. Retrieved 2019-11-26.

[4] "Modus ponens and modus tollens | logic". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-26.

[5] "Predicates and Quantified Statements II". www.csm.ornl.gov. Retrieved 2019-11-26.

[6] Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001), A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.), Brooks/Cole, p. 37, ISBN 0-534-38214-2

[7] Audun Jøsang 2016:2

[8] Audun Jøsang 2016:92

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