Inverse (logic)

Original article: w:Inverse (logic)

논리(logic)에서, 역(inverse)은 또 다른 조건부 문장(conditional sentence)으로부터 만들어진 즉시 추론(immediate inference)되는 조건부 문장의 유형입니다. 보다 구체적으로, 형식 $P\rightarrow Q$의 조건부 문장이 주어지면, 역은 문장 $\neg P\rightarrow \neg Q$를 참조합니다. 역은 전환(converse)의 대우(contrapositive)이므로, 역과 전환은 서로 논리적으로 동등합니다.

예를 들어, 논리적 변수에 대해 자연 언어에서 제안을 대체하면, 다음 조건부 제안

"만약 비가 오는 중이면, 샘은 영화에서 잭을 만날 것입니다."

의 역은 다음일 것입니다:

"만약 비가 오는 중이 아니면, 샘은 영화에서 잭을 만나지 않을 것입니다."

역의 역, 즉, $\neg P\rightarrow \neg Q$의 역은 $\neg \neg P\rightarrow \neg \neg Q$이고, 임의의 명제의 이중 부정(double negation)은 고전적 논리에서 원래 명제와 동등하므로, 역의 역은 원래 조건부 $P\rightarrow Q$와 논리적으로 동등합니다. 따라서 $\neg P\rightarrow \neg Q$와 $P\rightarrow Q$가 서로의 역이라고 말하는 것은 허용됩니다. 마찬가지로, $P\rightarrow \neg Q$와 $\neg P\rightarrow Q$는 서로의 역입니다.

조건부의 역과 전환은, 조건부와 그것의 대우가 논리적으로 서로 동등한 것처럼, 서로 논리적으로 동등합니다. 그러나 조건부의 역은 조건부 자체에서 추론될 수 없습니다 (예를 들어, 조건부는 참일 수 있지만 그것의 역은 거짓일 수 있습니다). 예를 들어, 문장

"만약 비가 오는 중이 아니면, 샘은 영화에서 잭을 만나지 않을 것입니다."

은 다음 문장으로부터 절대 추론될 수 있습니다:

"만약 비가 오는 중이면, 샘은 영화에서 잭을 만날 것입니다."

왜냐하면 비가 오는 중이 아닌 경우에서, 추가적인 조건은 여전히 다음처럼 영화에서 샘과 책이 만나도록 할 수 있습니다:

"만약 비가 오는 중이 아니고 잭이 팝콘을 필요로 하지 않으면, 샘은 영화에서 만날 것입니다."

카테고리적 제안(categorical propositions)의 넷 이름-지은 유형이 있는 전통적 논리(traditional logic)에서, 오직 형식 A (즉, "모든 S는 P입니다") 및 E ("모든 S는 P가 아닙니다")는 역을 가집니다. 이들 카테고리적 제안의 역을 찾기 위해, 우리는 그들 각각의 모순에 의해 역화된 것의 주어와 술어를 대체하고 보편적에서 특정으로 수량을 바꾸어야 합니다. 즉:

• "모든 S는 P입니다" (A 형식)은 "어떤 비-S가 비-P입니다"가 됩니다.
• "모든 S는 P가 아닙니다" (E 형식)은 "어떤 비-S는 비-P가 아닙니다"가 됩니다.

See also

• Contraposition
• Converse (logic)
• Obversion
• Transposition (logic)