Converse relation

수학(mathematics)에서, 이항 관계(binary relation)의 전환 관계(converse relation), 또는 전치(transpose)는 원소의 순서가 관계에서 위치를 바꿀 때 발생하는 관계입니다. 예를 들어, 관계 '누구의 자식'의 전환은 관계 '누구의 부모'입니다. 공식적인 용어에서, 만약 $X$ 와 $Y$ 가 집합이고 $L\subseteq X\times Y$ 가 $X$ 에서 $Y$ 로의 관계이면, $L^{\operatorname {T} }$ 가 $yL^{\operatorname {T} }x$ 가 되도록 정의된 관계인 것과 $xLy$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 집합-구성 표기법(set-builder notation)에서,

$L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.$

그 표기법은 역 함수(inverse function)에 대해 그것과 유사합니다. 비록 많은 함수가 역을 가지지 않을지라도, 모든 각 관계는 고유한 전환을 가집니다. 하나의 관계를 전환 관계로 매핑하는 단항 연산(unary operation)은 인볼루션(involution)이므로, 그것은 집합 위의 이항 관계에 대한 인볼루션을 갖는 반-그룹(semigroup with involution)의 구조를 유도하거나, 보다 일반적으로, 아래에 세부적으로 묘사된 것처럼 관계의 카테고리(category of relations) 위에 단검 카테고리(dagger category)를 유도합니다. 단항 연산(unary operation)으로, 전환을 취하는 것 (때때로 전환화(conversion) 또는 전치화(transposition)로 불림)은 관계의 계산의 순서-관계된 연산과 함께 교환하며, 즉, 그것은 합, 교, 및 여와 함께 교환합니다.

전환 관계는 역시 전치 관계(transpose relation)로 불립니다 — 후자는 행렬의 전치(transpose)와 닮음의 관점에 있습니다.^[1] 그것은 역시 원래 관계의 반대(opposite) 또는 이중(dual),^[2] 또는 원래 관계의 역(inverse),^[3]^[4]^[5] 또는 관계 $L$ 의 상반(reciprocal) $L^{\circ }$ 으로 불려 왔습니다.^[6]

전환 관계에 대해 다른 표기법은 $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ 또는 $L^{\vee }$ 을 포함합니다.

Examples

보통의 (아마도 엄격하거나 부분적인) 순서 관계(order relation)에 대해, 그 전환은 소박하게 예상되는 "반대" 순서, 예를 들어, ${\leq ^{\mathsf {T}}}={\geq },\quad {<^{\mathsf {T}}}={>}$ 입니다.

관계가 다음과 같은 논리 행렬(logical matrix)에 의해 표현될 수 있습니다:

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

그런-다음 그 전환 관계는 그것의 전치 행렬(transpose matrix)에 의해 표현됩니다:

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.

혈연(kinship) 관계의 전환은 다음과 같이 이름짓습니다: " $A$ 가 $B$ 의 아이입니다"는 전환 " $B$ 는 $A$ 의 부모입니다"를 가집니다. " $A$ 가 $B$ 의 조카 또는 질녀입니다"는 전환 " $B$ 는 $A$ 의 삼촌 또는 숙모입니다"를 가집니다. 관계 " $A$ 는 $B$ 의 형제 자매입니다"는 그 자체의 전환인데, 왜냐하면 그것은 대칭 관계이기 때문입니다.

집합 이론에서, $A$ 가 $U$ 의 부분집합일 때, 우리는 담론의 우주(universe) $U$ 와 집합 구성원(set membership)의 기본 관계 $x\in A$ 를 가정합니다. $U$ 의 모든 부분집합의 거듭제곱 집합(power set)은 전환 ${\ni }={\in ^{\operatorname {T} }}$ 의 도메인입니다.

Properties

집합에 대한 이항 내관관계(endorelation)의 모노이드(monoid)에서 (관계에 대한 이항 연산(binary operation)이 관계의 합성임), 전환 관계는 그룹 이론의 역의 정의를 만족시키지 않습니다. 즉, 만약 $L$ 이 $X$ 위의 임의적인 관계이면, $L\circ L^{\operatorname {T} }$ 는 일반적으로 $X$ 위의 항등 관계(identity relation)와 같지 않습니다. 전환 관계는 인볼루션을 갖는 반그룹의 (약한) 공리를 만족시킵니다: $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ 및 $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }$ .^[7]

우리가 일반적으로 다른 집합 사이의 관계를 고려할 수 있기 때문에 (모노이드가 아닌 카테고리(category), 즉 관계의 카테고리 Rel를 형성함), 이 맥락에서 전환 관계는 단검 카테고리(dagger category) (일명 인볼루션을 갖는 카테고리)의 공리를 따릅니다.^[7] 그것의 전환과 같은 관계는 대칭 관계(symmetric relation)입니다; 단검 카테고리의 언어에서, 그것은 자기-인접(self-adjoint)입니다.

게다가, 집합에 대한 내관관계의 반그룹은 역시 (집합으로 관계의 포함을 갖는) 부분적으로 순서화된 구조이고, 실제로 인볼루션 퀀타일(quantale)입니다. 유사하게, 이종 관계(heterogeneous relation)의 카테고리, Rel은 역시 순서화된 카테고리입니다.^[7]

관계의 계산(calculus of relations)에서, 전환(conversion) (전환 관계를 취하는 단항 연산)은 합집합과 교집합의 다른 이항 연산과 교환합니다. 전환은 역시 상한(suprema)과 하한을 취하는 것뿐만 아니라 여(complementation)의 단항 연산과 교환합니다. 전환은 포함에 의한 관계의 순서와도 호환됩니다.^[1]

만약 관계가 재귀적(reflexive), 비반사적(irreflexive), 대칭적(symmetric), 반대칭적(antisymmetric), 비대칭적(asymmetric), 전이적(transitive), 연결된(connected), 삼분법(trichotomous), 부분 순서(partial order), 전체 순서(total order), 엄격한 약한 순서(strict weak order), 전체 준순서(total preorder) (약한 순서), 또는 동치 관계(equivalence relation)이면, 그 전환도 마찬가지입니다.

Inverses

만약 $I$ 가 항등 관계를 나타내면, 관계 $R$ 은 다음처럼 역(inverse)을 가질 수 있습니다:

관계

R

이 만약

R\circ X=I

를 갖는 관계

X

가 존재하면 오른쪽-역가능이라고 불리고,

Y\circ R=I

를 갖는

Y

가 존재하면 왼쪽-역가능이라고 불립니다. 그런-다음

X

와

Y

는 각각

R

의 오른쪽과 왼쪽 역이라고 불립니다. 오른쪽- 및 왼쪽-역가능 관계는 역가능(invertible)이라고 불립니다. 역가능 동차 관계에 대해 모든 오른쪽과 왼쪽 역은 일치합니다; 개념 역

R^{-1}

이 사용됩니다. 그런-다음

R^{-1}=R^{\operatorname {T} }

가 유지됩니다.^[1]^: 79