Universe (mathematics)

수학(mathematics), 및 특별하게 집합 이론(set theory), 카테고리 이론(category theory), 유형 이론(type theory), 및 수학의 기초(foundations of mathematics)에서, 우주(universe)는 주어진 상황에서 고려하기를 원하는 모든 엔터디를 포함하는 모음입니다.

집합 이론에서, 우주는 종종 특정 정리(theorem)를 입증(prove)하기를 희망하는 (원소(elements)로) 모든 집합을 포함하는 클래스(classes)입니다. 이들 클래스는 ZFC 또는 모스-켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory)과 같은 다양한 공리적 시스템에 대해 내부 모델(inner models)로 취급될 수 있습니다. 우주는 집합-이론적 기초 내부의 카테고리 이론(category theory)에서 개념을 공식화하는 것에 매우 중요합니다. 예를 들어, 카테고리의 정식의(canonical) 동기부여하는 예제는 집합(Set)의 카테고리, 모든 집합의 카테고리이며, 이것은 우주의 일부 개념없이 집합 이론에서 공식화될 수 없습니다.

유형 이론에서, 우주는 그의 원소가 유형인 유형입니다.

In a specific context

아마도 가장 간단한 버전은 연구 대상이 해당 특정 집합에 국한되는 한 임의의 집합이 우주가 될 수 있다는 것입니다. 만약 연구의 대상이 실수에 의해 형성되면, 실수(real number) 집합인 실수 직선(real line) R은 고려 중인 우주일 수 있습니다. 암시적으로, 이것은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)가 실수 해석학(real analysis)에 대한 적용에서 1870년대와 1880년대에 현대적인 소박한 집합 이론(naive set theory)과 카디널리티(cardinality)를 처음 개발할 때 사용했던 우주입니다. 칸토어가 원래 관심이 있었던 유일한 집합은 R의 부분집합(subset)이었습니다.

이러한 우주의 개념은 벤 다이어그램(Venn diagram)의 사용에 반영됩니다. 벤 다이어그램에서, 동작은 전통적으로 우주 U를 나타내는 큰 직사각형 내부에서 일어납니다. 우리는 일반적으로 집합은 원으로 표시된다고 말합니다; 그러나 이들 집합은 단지 U의 부분집합일 수 있습니다. 집합 A의 여집합(complement)은 그런-다음 A의 원 외부에 있는 직사각형 부분에 의해 제공됩니다. 엄밀히 말하면, 이것은 U에 관한 A의 상대 여집합(relative complement) U \ A입니다; 그러나 U가 우주인 문맥에서, 그것은 A의 절대 여집합(absolute complement) A^C로 여길 수 있습니다. 유사하게, 영-항 교집합(nullary intersection), 즉 영(zero) 집합의 교집합(intersection)의 개념이 있습니다 (집합이 없고, 널 집합(null set)이 아님을 의미함).

우주없이, 영-항 교집합은 일반적으로 불가능한 것으로 여겨지는 절대적으로 모든 것의 집합이 될 것입니다; 그러나 우주를 염두에 두고, 영-항 교집합은 고려 중인 모든 것의 집합으로 처리될 수 있으며, 이는 단순히 U입니다. 이들 관례는 부울 격자(Boolean lattice)를 기반으로 하는 기본 집합 이론에 대한 대수적 접근에서 꽤 유용합니다. 일부 비표준 형식의 공리적 집합 이론(axiomatic set theory) (예를 들어 새로운 토대(New Foundations))을 제외하고, 모든 집합의 클래스(class)는 부울 격자가 아닙니다 (그것은 상대적으로 여집합된 격자(relatively complemented lattice)일 뿐입니다).

대조적으로, U의 거듭제곱 집합(power set)이라고 하는 U의 모든 부분집합의 클래스는 부울 격자입니다. 위에서 설명한 절대 여집합은 부울 격자에서 여집합 연산입니다; 그리고 영-항 교집합으로 U는 부울 격자에서 꼭대기 원소(top element) (또는 영-항 만남(meet)) 역할을 합니다. 그런-다음 (집합 이론에서 합집합(union)인) 만남과 접합(join)의 여집합을 다루는 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)이 적용되고, 심지어 영-항 모임과 영-항 접합 (빈 집합(empty set))에도 적용됩니다.

In ordinary mathematics

어쨌든, 일단 주어진 집합 X의 부분집합 (칸토어의 경우에서, X = R)이 고려되면, 그 우주는 X의 부분집합의 집합이 되어야 할 수도 있습니다. (예를 들어, X에 대한 토폴로지(topology)는 X의 부분집합의 집합입니다.) X의 다양한 부분집합의 집합은 자체가 X의 부분집합이 아니라 X의 거듭제곱 집합(power set), PX의 부분집합이 될 것입니다. 이것은 계속될 수 있습니다; 연구의 대상은 다음으로 X의 부분집합의 그러한 집합으로 구성될 수 있고, 이런 식으로 계속되며, 이 경우에서 그 우주는 P(PX)가 될 것입니다. 또 다른 방향에서, X에 대한 이항 관계 (데카르트 곱(Cartesian product) X × X의 부분집합)가 고려되거나, X에서 자체로의 함수가 고려될 수 있으며, P(X × X) 또는 X^X와 같은 우주가 필요합니다.

따라서, 심지어 주요 관심이 X라고 해도, 그 우주는 X보다 상당히 커야 할 수도 있습니다. 위의 아이디어에 따르면, 우리는 X에 걸쳐 초월구조(superstructure)를 우주로 원할 수 있습니다. 이것은 구조적 재귀(structural recursion)로 다음과 같이 정의될 수 있습니다:

S₀X를 X 자체로 놓습니다.
S₁X를 X와 PX의 합집합(union)으로 놓습니다.
S₂X를 S₁X과 P(S₁X)의 합집합으로 놓습니다.
일반적으로, S_n+1X를 S_nX와 P(S_nX)의 합집합으로 놓습니다.

그런-다음 X에 걸쳐 초구조는, SX로 쓰이며, S₀X, S₁X, S₂X, 등의 합집합입니다; 또는

\mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!

어떤 집합 X가 시작점이든 관계없이, 빈 집합(empty set) {}은 S₁X에 속할 것입니다. 빈 집합은 폰 노이만 순서-숫자(von Neumann ordinal) [0]입니다. 그런-다음, 유일한 원소가 빈 집합인 집합, {[0]}는 S₂X에 속할 것입니다; 이것은 폰 노이만 순서-숫자 [1]입니다. 유사하게, {[1]}은 S₃X에 속할 것이고, 따라서 {[0]}과 {[1]}의 합집합으로 {[0],[1]}도 마찬가지일 것입니다; 이것은 폰 노이만 순서-숫자 [2]입니다. 이 과정을 계속하면, 모든 각 자연수는 폰 노이만 순서-숫자에 의해 초구조에서 표현됩니다. 다음으로, 만약 x와 y가 초구조에 속하면, {{x},{x,y}}도 마찬가지이며, 이것은 순서쌍(ordered pair) (x,y)을 나타냅니다. 따라서 초구조는 다양한 원했던 데카르트 곱을 포함할 것입니다. 그런-다음 초구조는 역시 함수(function)와 관계(relation)를 포함하는데, 왜냐하면 이것들은 데카르트 곱의 부분집합으로 표시될 수 있기 때문입니다. 그 과정은 역시 도메인이 폰 노이만 순서숫자 [n], 등인 함수로 표현되는 순서화된 n-튜플을 제공합니다.

따라서 시작점이 단지 X = {}이면, 수학에 필요한 많은 집합이 {}에 걸쳐 초구조의 원소로 나타납니다. 그러나 S{}의 각 원소는 유한 집합(finite set)이 될 것입니다. 각 자연수는 그것에 속하지만, 모든 자연수의 집합 N은 (비록 그것이 S{}의 부분집합이지만) 그렇지 않습니다. 사실, {}에 걸쳐 초구조는 유전적으로 유한 집합(hereditarily finite set)의 모두로 구성됩니다. 이를테면, 그것은 유한주의 수학의 우주로 고려될 수 있습니다. 시대착오적으로 말하면, 우리는 19세기 유한주의자 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)가 이 우주에서 연구했다고 제안할 수 있습니다; 그는 각 자연수는 존재하지만 집합 N("완전한 무한대")은 존재하지 않는다고 믿었습니다.

어쨌든, S{}는 보통 수학자 (유한주의자가 아님)에게는 만족스럽지 않은데, 왜냐하면 심지어 N이 S{}의 부분집합으로 사용 가능되더라도, 여전히 N의 거듭제곱 집합은 그렇지 않기 때문입니다. 특히, 실수의 임의의 집합은 사용할 수 없습니다. 따라서 과정을 처음부터 다시 시작하고 S(S{})를 형성해야 할 수도 있습니다. 어쨌든, 일을 단순하게 유지하기 위해, 우리는 자연수의 집합 N을 주어진 것으로 취하고 N에 걸쳐 초구조, SN을 형성할 수 있습니다. 이것은 종종 보통 수학의 우주로 고려됩니다. 그 아이디어는 보통으로 연구되는 모든 수학은 이 우주의 원소를 참조한다는 것입니다. 예를 들어, 보통 (말하자면 데데킨드 자름(Dedekind cut)에 의해) 실수의 구성(constructions of the real numbers)은 SN에 속합니다. 심지어 비-표준 해석학(non-standard analysis)이 자연수에 걸쳐 비-표준 모델(non-standard model)에 걸쳐 초구조에서 수행될 수 있습니다.

그 우주가 관심의 집합 U였던 이전 섹션으로부터 철학에서 약간의 변화가 있습니다. 그곳에서, 연구 중인 집합은 그 우주의 부분집합이었습니다; 이제, 그것들은 우주의 구성원입니다. 따라서, 비록 P(SX)가 부울 격자일지라도, SX 자체는 그렇지 않다는 것이 중요합니다. 결과적으로, 부울 격자와 벤 다이어그램의 개념을 이전 섹션의 거듭제곱-집합 우주에 적용했던 것처럼 초구조 우주에 직접 적용하는 경우는 드뭅니다. 대신, 우리는 개별 부울 격자 PA로 연구할 수 있으며, 여기서 A는 SX에 속하는 임의의 관련된 집합입니다; 그런-다음 PA는 SX의 부분집합입니다 (그리고 사실상 SX에 속합니다). 특히 칸토어의 경우 X = R에서, 실수의 임의의 집합은 사용할 수 없으므로, 실제로 과정을 처음부터 다시 시작해야 할 수도 있습니다.

In set theory

SN이 보통 수학의 우주라는 주장에 정확한 의미를 부여하는 것이 가능합니다; 그것은 1908년 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)에 의해 원래 개발된 공리적 집합 이론(axiomatic set theory), 체르멜로 집합 이론(Zermelo set theory)의 모델(model)입니다. 체르멜로 집합 이론은 30년 이상 전에 칸토어에 의해 시작되었던 프로그램을 수행하면서 "보통" 수학을 공리화할 수 있었기 때문에 정확하게 성공했습니다. 그러나 체르멜로 집합 이론은 공리적 집합 이론의 발전과 수학의 기초(foundations of mathematics), 특히 모델 이론(model theory)에서 다른 연구에 불충분한 것으로 판명되었습니다.

극적인 예제에 대해, 위의 초구조 과정의 설명은 자체로 체르멜로 집합 이론에서 수행될 수 없습니다. S를 무한 합집합으로 형성하는 마지막 단계는 대체의 공리(axiom of replacement)를 필요로 하며, 이는 1922년 체르멜로 집합 이론에 오늘날 가장 널리 받아들여지는 공리 집합, 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)을 형성하기 위해 추가되었습니다. 따라서 보통 수학은 SN 안에서 수행될 수 있지만, SN의 논의는 "보통"을 넘어 메타수학(metamathematics)으로 넘어갑니다.

그러나 강력한 집합 이론이 도입되면, 초구조 과정은 자체로 초월유한 재귀(transfinite recursion)의 시작됨으로 드러납니다. X = {}, 빈 집합으로 돌아가서, 이전과 같이 S_i{}에 대해 V_i, V₀ = {}, V₁ = P{}, 등의 (표준) 표기법을 도입합니다. 그러나 이전에 "초구조"라고 불렸던 것은 단지 이제 목록의 다음 항목:V_ω이며, 여기서 ω는 첫 번째 무한(infinite) 순서-숫자(ordinal number)입니다. 이것은 임의의 순서-숫자로 확장될 수 있습니다:

V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!

.

이것은 임의의 순서 숫자 i에 대해 V_i를 정의합니다. 모든 V_i의 합집합은 폰 노이만 우주(von Neumann universe) V입니다.

V:=\bigcup _{i}V_{i}\!

.

모든 각 개별 V_i는 집합이지만, 그것들의 합집합 V는 적절한 클래스(proper class)입니다. 대체의 공리와 거의 같은 시기에 ZF 집합 이론에 추가된 기초의 공리(axiom of foundation)는 모든 각 집합이 V에 속한다고 말합니다:

쿠르트 괴델의 구성-가능 우주 L 및 구성-가능성의 공리

접근할 수 없는 세는-숫자는 ZF와 때때로 추가 공리의 모델을 생성하고, 그로텐디크 우주 집합의 존재와 동등합니다.

In predicate calculus

일-차 논리(first-order logic)의 해석(interpretation)에서, 우주 (또는 담론의 도메인)는 한정어(quantifiers)가 범위를 이루는 개별 (개별 상수)의 집합입니다. $\forall x (x 2 \neq 2)$ 와 같은 제안은 담론의 도메인이 확인되지 않았으면 모호합니다. 한 해석에서, 담론의 도메인은 실수(real number)의 집합일 수 있습니다; 또 다른 해석에서, 그것은 자연수(natural number)의 집합일 수 있습니다. 만약 담론의 도메인이 실수의 집합이면, 그 제안은 거짓이고, $x = \sqrt 2$ 가 반례입니다; 만약 도메인이 자연수의 집합이면, 2는 임의의 자연수의 제곱이 아니기 때문에 제안은 참입니다.

In category theory

카테고리 이론(category theory)과 역사적으로 연결된 우주에 대한 또 다른 접근 방식이 있습니다. 이것은 그로텐디크 우주(Grothendieck universe)의 아이디어입니다. 대략적으로 말하자면, 그로텐디크 우주는 집합 이론의 모든 보통 연산이 수행될 수 있는 집합입니다. 이 버전의 우주는 다음 공리가 유지되는 임의의 집합으로 정의됩니다:^[1]

$x\in u\in U$ 는 $x\in U$ 를 의미합니다.
$u\in U$ 와 $v\in U$ 는 {u,v}, (u,v), 및 $u\times v\in U$ 을 의미합니다.
$x\in U$ 는 ${\mathcal {P}}x\in U$ and $\cup x\in U$ 를 의미합니다.
$\omega \in U$ (여기서 $\omega =\{0,1,2,...\}$ 는 모든 유한 순서-숫자(finite ordinals)의 집합입니다.
만약 $f:a\to b$ 가 $a\in U$ 와 $b\subset U$ 를 갖는 전사 함수이면, $b\in U$ 입니다.

그로텐디크 우주의 장점은 그것은 실제로 집합이고, 결코 적절한 클래스가 아니라는 것입니다. 단점은 만약 우리가 충분히 노력하면, 우리는 그로텐디크 우주를 떠날 수 있다는 것입니다.

그로텐디크 우주 U의 가장 공통적인 사용은 U를 모든 집합의 카테고리에 대해 대체물로 취하는 것입니다. 우리는 집합 S는 만약 S ∈U이면 U-작은 것이고, 그렇지 않으면 U-큰 것이라고 말합니다. 모든 U-작은 집합의 카테고리 U-집합은 모든 U-작은 집합을 대상으로 가지고 이들 집합 사이의 모든 함수를 사상으로 가집니다. 대상 집합과 사상 집합 둘 다는 집합이므로, 적절한 클래스를 호출하지 않고도 "모든" 집합의 카테고리를 논의하는 것이 가능하게 됩니다. 그런-다음 이 새로운 카테고리의 관점에서 다른 카테고리를 정의하는 것이 가능하게 됩니다. 예를 들어, 모든 U-작은 카테고리의 카테고리는 그것들의 대상 집합과 그것들의 사상 집합이 U에 있는 모든 카테고리의 카테고리입니다. 그런-다음 집합 이론의 보통의 논증은 모든 카테고리의 카테고리에 적용할 수 있고, 우리는 우연히 적절한 수업에 대해 이야기하는 것에 대한 걱정을 할 필요가 없습니다. 그로텐디크 우주는 극단적으로 크기 때문에, 이것은 거의 모든 응용에서 충분합니다.

종종 그로텐디크 우주로 연구할 때, 수학자들은 우주의 공리(Axiom of Universes)를 가정합니다: "임의의 집합 x에 대해, x ∈U를 만족하는 우주 U가 존재합니다." 이 공리의 요점은 우리가 만나는 임의의 집합이 어떤 U에 대해 U-작은 것이므로, 일반적인 그로텐디크 우주에서 수행되는 임의의 논증은 적용될 수 있다는 것입니다. 이 공리는 강력하게 접근할 수 없는 세는-숫자의 존재와 밀접하게 관련되어 있습니다.

In type theory

일부 유형 이론, 특히 종속 유형(dependent types)을 갖는 시스템에서, 유형 자체는 항(terms)으로 여길 수 있습니다. 원소로 유형을 가지는 우주 (종종 ${\mathcal {U}}$ 로 표시됨)라는 유형이 있습니다. 지라드의 역설(Girard's paradox) (유형 이론에 대해 러셀의 역설(Russell's paradox)의 아날로그)과 같은 역설을 피하기 위해, 유형 이론은 종종 그러한 우주의 셀-수-있는 무한(countably infinite) 계층 구조를 갖추고 있으며, 각 우주는 다음 우주의 항입니다.

우리가 유형 이론에서 고려할 수 있는 우주에는 적어도 두 가지 종류: 러셀-스타일 우주 (버트런드 러셀(Bertrand Russell)의 이름을 따서 지음)와 타르스키-스타일 우주 (알프레트 타르스키(Alfred Tarski)의 이름을 따서 지음)가 있습니다.^[2]^[3]^[4] 러셀-스타일 우주는 그것의 항이 유형인 유형입니다.^[2] 타르스키-스타일 우주는 우리에게 그것의 항을 유형으로 여기는 것을 허용하는 해석 연산과 함께 유형입니다.^[2]

Notes

^ Mac Lane 1998, p. 22
^ ^a ^b ^c "Universe in Homotopy Type Theory" in nLab
^ Zhaohui Luo, "Notes on Universes in Type Theory", 2012.
^ Per Martin-Löf, Intuitionistic Type Theory, Bibliopolis, 1984, pp. 88 and 91.

References

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

External links

"Universe", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Universal Set". MathWorld.

[1] Mac Lane 1998, p. 22

[nLab-2] "Universe in Homotopy Type Theory" in nLab

[3] Zhaohui Luo, "Notes on Universes in Type Theory", 2012.

[4] Per Martin-Löf, Intuitionistic Type Theory, Bibliopolis, 1984, pp. 88 and 91.

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