Cube root

수학(mathematics)에서, 숫자 $x$ 의 세제곱근(cube root)은 $y 3 = x$ 를 만족하는 숫자 $y$ 입니다. 모든 비-영 실수(real number)는 정확히 하나의 실수 세제곱근과 복소수 켤레(complex conjugate)의 쌍 세제곱근을 가지고, 모든 비-영 복소수(complex number)는 셋의 구별되는 복소수 세제곱근을 가집니다. 예를 들어, $8$ 의 실수 세제곱근은 $23 = 8$ 이기 때문에 ${\sqrt[{3}]{8}}$ 로 표시되는 2이고, 반면에 8의 다른 세제곱근은 $-1+i{\sqrt {3}}$ 과 $-1-i{\sqrt {3}}$ 입니다. $-27 i$ 의 셋의 세제곱근은

3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.

일부 문맥에서, 특히 그의 세제곱근이 취해지는 숫자가 실수일 때, 세제곱근 중에 하나 (이 특별한 경우에서 실수 하나)는 제곱근 기호(radical sign) ${\sqrt[{3}]{~^{~}}}$ 로 표시되는, 주요 세제곱근(principal cube root)이라고 불립니다. 세제곱이 만약 오직 실수를 고려하지만, 역시 복소수를 고려하지 않으면 삼차 함수(cube function)의 역 함수(inverse function)입니다: 비록 우리가 항상 $\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x$ 을 가질지라도, 한 숫자의 세제곱의 세제곱근은 항상 이 숫자는 아닙니다. 예를 들어, $-1+i{\sqrt {3}}$ 는 $8$ 의 세제곱근이지만 (즉, $(-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8$ ), $-1+i{\sqrt {3}}\neq 2={\sqrt[{3}]{(-1+i{\sqrt {3}})^{3}}}$ 입니다.

Formal definition

숫자 x의 세제곱근은 다음 방정식을 만족시키는 숫자 y입니다:

y^{3}=x.\

Properties

Real numbers

임의의 실수 x에 대해, y³ = x를 만족하는 하나의 실수 y가 있습니다. 세제곱 함수(cube function)는 증가하므로, 둘의 다른 입력에 대해 같은 결과를 제공하지 않고, 모든 실수를 덮습니다. 다시 말해서, 그것은 전단사, 또는 일-대-일입니다. 그런-다음 우리가 모든 실수의 고유한 세제곱근을 정의할 수 있습니다. 만약 이 정의가 사용되면, 음수의 세제곱근은 음수입니다.

만약 x와 y가 복소수(complex)로 허용되면, (만약 x가 비-영이면) 셋의 해가 있고 따라서 x는 셋의 제곱근을 가집니다. 실수는 하나의 실수 세제곱근과 복소 켤레(complex conjugate) 쌍을 형성하는 둘의 세제곱근을 가집니다. 예를 들어, 1의 세제곱근은 다음입니다:

1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.

이들 근 중 마지막 둘은 임의의 실수 또는 복소수의 모든 근 사이의 관계로 이어집니다. 만약 숫자가 특정 실수 또는 복소수의 하나의 세제곱근이면, 다른 두 개의 세제곱근은 해당 세제곱근에 1의 두 개의 복소수 세제곱근 중 하나를 곱함으로써 구할 수 있습니다.

Complex numbers

복소수에 대해, 주요 세제곱근은 보통 가장 큰 실수 부분(real part)을 갖는 세제곱근, 또는, 동등하게, 그것의 편각(argument)이 최소 절댓값(absolute value)을 갖는 세제곱근으로 정의됩니다. 그것은 다음 공식에 의해 자연 로그(natural logarithm)의 주요 값과 관련이 있습니다:

x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).

만약 우리가 x를 다음으로 쓰면,

x=r\exp(i\theta )\,

여기서 r은 비-음의 실수이고 θ는 다음 범위에 있으며,

-\pi <\theta \leq \pi

,

주요 복소 세제곱근은 다음입니다:

{\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).

이것은 극 좌표(polar coordinates)에서, 우리는 반지름의 세제곱근을 취하고 세제곱근을 정의하기 위해 극 각도를 삼으로 나눈다는 것을 의미합니다. 이 정의와 함께, 음수의 주요 세제곱근은 복소수이고, 예를 들어 ³√−8은 −2가 아니라, 오히려 1 + i√3이 될 것입니다.

이 어려움은 역시 세제곱근을 다중값 함수(multivalued function)로 고려함으로써 해결될 수 있습니다: 만약 우리가 원래 복소수 x를 세 가지 동등 형식으로 작성하면, 즉,

x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}

이들 세 형식의 주요 복소 세제곱근은 그런-다음 각각 다음입니다:

{\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}

x = 0이 아닌 한, 비록 x의 세 가지 표현이 동등하더라도, 이들 세 개의 복소수는 구별됩니다. 예를 들어, ³√−8은 그때에 −2, 1 + i√3, 또는 1 − i√3으로 계산될 수 있습니다.

이것은 모노드로미(monodromy)의 개념과 관련이 있습니다: 만약 연속성(continuity)에 의해 영 주위의 닫힌 경로를 따라 함수 세제곱근을 따른다면, 한 차례 후에 세제곱근의 값이 $e^{2i\pi /3}$ 에 의해 곱해집니다 (또는 나뉩니다).

Impossibility of compass-and-straightedge construction

세제곱근은 그것의 측정이 주어진 각의 3분의 1인 각을 찾는 문제 (각도 삼등분(angle trisection))와 그것의 부피가 주어진 가장자리를 갖는 정육면체의 부피의 두 배인 정육면체의 가장자리를 찾는 문제 (정육면체를 두 배(doubling the cube))에서 발생합니다. 1837년 피에르 완젤(Pierre Wantzel)은 컴퍼스-와-직선자 구성(compass-and-straightedge construction)으로 이들 둘 중 어느 것도 할 수 없음을 증명했습니다.

Numerical methods

뉴턴의 방법(Newton's method)은 세제곱근을 계산하기 위해 사용될 수 있는 반복 방법(iterative method)입니다. 실수 부동-점(floating-point) 숫자에 대해, 이 방법은 a의 세제곱근의 더 나은 근삿값을 연속적으로 생성하기 위해 다음 반복 알고리듬으로 축소됩니다:

x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).

그 방법은 각 반복에서 다음을 만족하는 선택된 셋의 인수를 단순히 평균화하는 것입니다.

x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a

.

핼리의 방법(Halley's method)은 비록 반복당 더 많은 연산을 갖지만 각 반복마다 더 빠르게 수렴하는 알고리듬으로 이것을 개선합니다:

x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).

이것은 삼차적으로 수렴(converges cubically)하므로, 두 번의 반복은 뉴턴 방법의 세 번의 반복만큼 많은 연산을 수행합니다. 뉴턴의 방법의 각 반복은 $1 / 3 a$ 가 미리 계산된다고 가정하면, 둘의 곱셈, 하나의 덧셈과 하나의 나눗셈을 요구하므로, 셋의 반복과 사전계산은 일곱의 곱셈, 셋의 덧셈, 및 셋의 나눗셈을 요구합니다.

핼리의 방법의 각 반복은 셋의 곱셈, 셋의 덧셈, 및 하나의 나눗셈을 요구하므로,^[1] 두 번의 반복은 여섯의 곱셈, 엿서의 덧셈, 및 둘의 나눗셈을 요구합니다. 따라서 핼리의 방법은 만약 하나의 나눗셈이 셋의 덧셈보다 더 비용이 들면 더 빠를 가능성을 가집니다.

두 방법 모두와 함께 $x 0$ 의 나쁜 초기 근삿값은 매우 나쁜 알고리듬 성능을 제공할 수 있고, 좋은 초기 근삿값을 찾는 것은 다소 까다롭습니다. 일부 구현은 부동-점 숫자의 지수 비트를 조작합니다; 즉, 그것들은 지수를 3으로 나눔으로써 초기 근삿값에 도달합니다.^[1]

역시 n번째 근 방법을 기반으로 하는 이 일반화된 연속 분수(generalized continued fraction)가 역시 유용합니다:

만약 x가 a의 세제곱근에 대한 좋은 첫 번째 근삿값이고 y = a − x³이면, 다음입니다:

{\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}

=x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.

두 번째 방정식은 첫 번째에서 분수의 각 쌍을 단일 분수로 결합하고, 따라서 수렴 속도를 두 배로 높입니다.

Appearance in solutions of third and fourth degree equations

삼차의 다항 방정식(polynomial equation) (미지수의 가장 높은 거듭제곱이 3임을 의미)인 삼차 방정식(Cubic equation)은 항상 세제곱근과 제곱근의 관점에서 그것들의 셋의 해로 풀릴 수 있습니다 (그러나, 오직 제곱근의 관점에서 더 간단한 표현이 만약 그것들 중 적어도 하나가 유리수(rational number)이면 모든 셋에 대해 존재합니다). 만약 해의 둘이 복소수이면, 모든 셋의 해 표현은 실수의 실수 세제곱근을 포함하고, 반면에 만약 모든 셋의 해가 실수이면 그것들은 복소수의 복소 세제곱근의 관점에서 표현될 수 있습니다.

사차 방정식(quartic equation)은 역시 세제곱근과 제곱근의 관점에서 해결될 수 있습니다.

History

세제곱근의 계산은 기원전 1800년만큼 일찍이 바빌로니아 수학자까지 거슬러 올라갈 수 있습니다.^[2] 기원전 4세기에 플라톤(Plato)은 주어진 정육면체(cube)의 부피의 2배를 갖는 정육면체의 가장자리의 컴퍼스-과-직선자 구성(compass-and-straightedge construction)을 요구하는 정육면체를 두 배(doubling the cube)의 문제를 제기했습니다; 이것은 현재 불가능하다고 알려진 길이 ³√2의 구성을 요구했습니다.

세제곱근을 추출하는 방법은 기원전 2세기경에 편찬되고 기원 3세기에 유 휘(Liu Hui)에 의해 논평된 중국 수학 텍스트, The Nine Chapters on the Mathematical Art에 나타납니다.^[3] 그리스 수학자 알렉산드리아의 히어로(Hero of Alexandria)는 기원 1세기에 세제곱근을 계산하는 방법을 고안했습니다. 그의 공식은 에우토키오스에 의한 아르키메데스(Archimedes)에 대한 논평에서 다시 언급했습니다.^[4] 499년에 인도 수학과 인도 천문학의 고전 시대에서 수학자이자 천문학자, 아리아바타(Aryabhata)는 Aryabhatiya (섹션 2.5)에서 많은 자릿수를 갖는 숫자의 세제곱근을 찾는 방법을 제시했습니다.^[5]

References

^ ^a ^b "In Search of a Fast Cube Root". metamerist.com. 2008. Archived from the original on 2013-12-27.
^ Saggs, H. W. F. (1989). Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press. p. 227. ISBN 978-0-300-05031-8.
^ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. p. 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
^ Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena. 19 (42). Trinity College Dublin: 64–67. JSTOR 23037103.
^ Aryabhatiya Archived 15 August 2011 at Archive.today Marathi: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9

External links

Cube root calculator reduces any number to simplest radical form
Computing the Cube Root, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. Includes C source code.
Weisstein, Eric W. "Cube Root". MathWorld.

[metamerist-1] "In Search of a Fast Cube Root". metamerist.com. 2008. Archived from the original on 2013-12-27.

[cbgr-2] Saggs, H. W. F. (1989). Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press. p. 227. ISBN 978-0-300-05031-8.

[oxf-3] Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. p. 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

[4] Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena. 19 (42). Trinity College Dublin: 64–67. JSTOR 23037103.

[5] Aryabhatiya Archived 15 August 2011 at Archive.today Marathi: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9

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