Figure 1. This Argand diagram represents the complex number lying on a plane . For each point on the plane, arg is the function which returns the angle
φ
{\displaystyle \varphi }
수학(mathematics) (특히, 복소 해석학(complex analysis) )에서, 복소수 z 의 편각 (argument )는, arg(z )로 나타내며, 양의 실수(real) 축(axis) 과 원점과 z 를 연결하는 직선 사이의 각도(angle) 이며, 그림 1에서
φ
{\displaystyle \varphi }
복소 평면(complex plane) 에서 한 점으로 표시됩니다. 그것은 비-영 복소수(complex number) 에 연산을 수행하는 다중-값 함수(function) 입니다. 단일-값 함수를 정의하기 위해, 편각의 주요 값(principal value) 이 사용됩니다 (때때로 Arg z 로 표시됩니다). 그것은 종종 구간 (−π , π ] 내에 놓이는 편각의 고유한 값으로 선택됩니다.[1] [2]
Definition Figure 2. Two choices for the argument
φ
{\displaystyle \varphi }
복소수 z = x + iy arg(z ) 로 나타내며, 둘의 동등한 방법에서 정의됩니다:
기하학적으로, 복소 평면(complex plane) 에서, 양의 실수 축에서 z 를 표현하는 벡서로의 2D 극 각도(2D polar angle)
φ
{\displaystyle \varphi }
라디안(radian) 에서 각도에 의해 주어지고, 반시계방향에서 측정되면 양수입니다.
대수적으로, 어떤 양의 실수 r 에 대해
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}
φ
{\displaystyle \varphi }
오일러의 공식(Euler's formula) 을 참조하십시오). 양 r 은 z 의 모듈러스 (modulus )z |:
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
이름, 모듈러스에 대해 크기 (magnitude )상 (phase )[3] [1]
두 정의 아래에서, 임의의 비-영 복소수는 많은 가능한 값을 가짐을 알 수 있습니다: 먼저, 기하학적 각도로서, 전체 원의 회전은 그 점을 변경하지 않는다는 것이 분명하므로, 2π 라디안(radian) 의 정수배 (완전한 원)만큼 다른 각도는 오른쪽에서 그림 2에 반영된 것처럼 같습니다. 유사하게, sin cos 주기성(periodicity) 에서, 두 번째 정의는 역시 이 속성을 가집니다. 영의 편각은 보통 정의되지 않은 채 남겨집니다.
Alternative Definition 복소수는 역시 복소 근(complex roots) 의 관점에서 다음처럼 대수적으로 정의될 수 있습니다:
arg
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
⋅
Im
z
/
|
z
|
n
{\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}
이 정의는 아크탄젠트(arctangent) 와 같은 다른 계산하기 어려운 함수에 대한 의존도를 제거할 뿐만 아니라 조각별(piecewise) 정의에 대해 필요성을 제거합니다. 그것의 근(roots) 의 관점에서 정의되기 때문에, 제곱근의 주요 가지(principal branch of square root) 를 자체의 주요 가지로 상속합니다.
|
z
|
{\displaystyle |z|}
z
{\displaystyle z}
정규화(normalization) 는 올바른 값으로 수렴하는 데 필요하지 않지만, 그것은 수렴 속도를 높이고
arg
(
0
)
{\displaystyle \arg(0)}
Principal value Figure 3. The principal value Arg of the blue point at 1 + i is π/4 . The red line here is the branch cut and corresponds to the two red lines in figure 4 seen vertically above each other). 원점을 중심으로 완전히 회전은 복소수를 변경하지 않은 채 남기기 때문에, 원점을 임의의 숫자만큼 돎으로써
φ
{\displaystyle \varphi }
다중-값(multi-valued) (집합-값) 함수
f
(
x
,
y
)
=
arg
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}
잘-정의된(well-defined) 함수가 요구될 때, 주요 값 (principal value )−π rad 자체를 제외한 열린-닫힌 구간(interval) (−π rad, π rad] 에서 (동등하게, −180° 자체를 제외한 −180에서 +180 도(degree) 까지) 값입니다. 이것은 양의 실수 축에서 둘 중 한 방향으로 완전한 원의 절반까지의 각도를 나타냅니다.
일부 저자는 주요 값의 범위를 닫힌-열린 구간 [0, 2π ) 에 있는 것으로 정의합니다.
Notation 주요 값은 때때로 Arg z 에서와 같이 시작 문자를 대문자로 표시하며, 특히 편각의 일반 버전이 역시 고려 중일 때 그렇습니다. 표기법이 다양하므로, arg 와 Arg 는 다른 텍스트에서 상호-교환될 수 있음을 주목하십시오.
편각의 모든 가능한 값의 집합은 Arg 의 관점에서 다음처럼 쓸 수 있습니다:
arg
(
z
)
∈
{
Arg
(
z
)
+
2
π
n
∣
n
∈
Z
}
.
{\displaystyle \arg(z)\in \{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}
마찬기지로
Arg
(
z
)
=
{
arg
(
z
)
−
2
π
n
∣
n
∈
Z
∧
−
π
<
arg
(
z
)
−
2
π
n
≤
π
}
.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\{\arg(z)-2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \land -\pi <\arg(z)-2\pi n\leq \pi \}.}
Computing from the real and imaginary part 만약 하나의 복소수가 그것의 실수와 허수 부분의 관점에서 알려져 있으면, 주요 값 Arg 를 계산하는 함수는 두-인수 아크탄젠트 함수 atan2 라고 불립니다:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
atan2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}
atan2 함수 (역시 arctan2 또는 다른 동의어로 불림)는 많은 프로그래밍 언어의 수학 라이브러리에서 사용할 수 있고, 보통 (−π, π] 범위의 값을 반환합니다.[1]
많은 텍스트는 y /x arctan 는 기울기를 각도로 변환하므로, 그 값이 arctan(y /x ) 에 의해 제공된다고 말합니다. 이것은 오직 x > 0−π /2 와 π /2x x > 0x < 0x y > 0y < 0
Arg
(
x
+
i
y
)
=
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
,
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
,
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
,
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
,
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
,
undefined
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
4개의 겹치는 반-평면을 갖는 간결한 표현은 다음과 같습니다:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
,
π
2
−
arctan
(
x
y
)
if
y
>
0
,
−
π
2
−
arctan
(
x
y
)
if
y
<
0
,
arctan
(
y
x
)
±
π
if
x
<
0
,
undefined
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)&{\text{if }}y<0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\pm \pi &{\text{if }}x<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
Arg 가 구간 [0, 2π) 에 놓이는 것으로 정의된 변형에 대해, 그 값이 음수이면 위의 값에 2π 를 더함으로써 구할 수 있습니다.
대안적으로, 주요 값은 탄젠트 절반-각도 공식(tangent half-angle formula) 을 사용하여 균등 방법에서 계산될 수 있으며, 그 함수는 복소 평면에 걸쳐 정의되지만 원점은 제외합니다:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
2
arctan
(
y
x
2
+
y
2
+
x
)
if
x
>
0
or
y
≠
0
,
π
if
x
<
0
and
y
=
0
,
undefined
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}\displaystyle 2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
이것은 유리 함수에 의한 원의 매개변수화 (음의 x -축 제외)를 기반으로 합니다. 이 버전의 Arg 는 부동 점(floating point) 계산 사용에 충분히 안정적이지 않지만 (왜냐하면 그것은 x < 0, y = 0기호적 계산(symbolic calculation) 에서 사용될 수 있습니다.
오버플로를 피하는 마지막 공식의 변형은 때때로 높은 정밀도 계산에서 사용됩니다:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
2
arctan
(
x
2
+
y
2
−
x
y
)
if
y
≠
0
,
0
if
x
>
0
and
y
=
0
,
π
if
x
<
0
and
y
=
0
,
undefined
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}\displaystyle 2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right)&{\text{if }}y\neq 0,\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
Identities 주요 값 Arg 를 정의하는 데 주요 동기 중 하나는 모듈러스-편각 형식에서 복소수를 작성할 수 있다는 것입니다. 따라서 임의의 복소수 z 에 대해,
z
=
|
z
|
e
i
Arg
z
.
{\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}
이것은 오직 z 가 비-영이면 실제로 유효하지만, z = 0Arg(0) 가 정의되지 않은 것이 아니라 불확정 형식(indeterminate form) 으로 고려하면 유효한 것으로 고려될 수 있습니다.
몇 가지 추가 항등식이 따릅니다. 만약 z 1 z 2
Arg
(
z
1
z
2
)
≡
Arg
(
z
1
)
+
Arg
(
z
2
)
(
mod
(
−
π
,
π
]
)
,
Arg
(
z
1
z
2
)
≡
Arg
(
z
1
)
−
Arg
(
z
2
)
(
mod
(
−
π
,
π
]
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.\end{aligned}}}
만약 z ≠ 0n 이 임의의 정수이면,[1]
Arg
(
z
n
)
≡
n
Arg
(
z
)
(
mod
(
−
π
,
π
]
)
.
{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.}
Example
Arg
(
−
1
−
i
i
)
=
Arg
(
−
1
−
i
)
−
Arg
(
i
)
=
−
3
π
4
−
π
2
=
−
5
π
4
{\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}
Using the complex logarithm
z
=
|
z
|
e
i
Arg
(
z
)
{\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}
Arg
(
z
)
=
−
i
ln
z
|
z
|
{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}}
복소 로그(complex logarithm) 를 사용할 수 있을 때 유용합니다.
Extended Argument 숫자 z 의 확장된 편각은 (
arg
¯
(
z
)
{\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
π
{\displaystyle \pi }
[4]
arg
¯
(
z
)
=
arg
(
z
)
+
2
k
π
,
∀
k
∈
Z
{\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }
References Bibliography
Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1 Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4 Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8 Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics ]. Mathematics . Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X
External links
![{\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e49ba8ba7c2a27b1363776607d5df9e641e679a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1416b1e08800bab305112f9f803e61a41b5215)
![{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8a7bc2b9dc759bff261653847d6000bde5b20f)
