Difference quotient

Original article: w:Difference quotient

For broader coverage of this topic, see Finite difference.

단일-변수 미적분학(calculus)에서, 차이 몫(difference quotient)은 보통 다음 표현에 대한 이름입니다:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

이것은 h가 0으로 접근할 때 극한(limit)을 취했을 때 함수(function) f의 도함수(derivative)를 제공합니다. 표현의 이름은 그것이 그의 인수의 대응하는 값의 차이에 의해 함수의 값의 차이(difference)의 몫(quotient)이라는 사실에서 유래합니다 (이 경우에서 후자는 (x+h)-x=h입니다). 차이 몫은 구간(interval) (이 경우에서, 길이 h의 구간)에 걸쳐 함수의 평균 변화율(average rate of change)의 측정입니다. 차이 몫의 극한 (즉, 도함수)는 따라서 순간(instantaneous) 변화율입니다.

표기법 (및 관점)의 약간의 변화에 의해, 구간 [a, b]에 대해, 다음 차이 몫은

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

구간 [a, b]에 걸쳐 f의 도함수의 평균(mean 또는 average) 값이라고 불립니다. 이 이름은 미분가능 함수(differentiable function) f에 대해, 그것의 도함수 f′이 그 구간 안의 일부 점에서 그것의 평균 값(mean value)에 도달한다고 말하는 평균값 정리(mean value theorem)에 의해 정당화됩니다. 기하학적으로, 이 차이 몫은 좌표 (a, f(a))와 (b, f(b))를 갖는 점을 통과하는 가름선(secant line)의 기울기(slope)를 측정합니다.

차이 몫은 수치 미분화(numerical differentiation)에서 근사로써 사용되지만, 그것들은 이 응용에서 역시 비판의 주제가 되어 왔습니다.

차이 몫은 때때로 역시 (아이작 뉴턴(Isaac Newton) 후에) 뉴턴 몫 또는 (피에르 드 페르마(Pierre de Fermat) 후에) 페르마의 몫이라고 불립니다.

Overview

위에서 논의된 차이 몫의 전형적인 개념은 보다 일반적인 개념의 특별한 경우입니다. 미적분(calculus)과 다른 고등 수학의 매개물은 함수(function)입니다. 그것의 "입력 값"은 그것의 인수이며, 보통 그래프 위에 표현할 수 있는 점 ("P")입니다. 두 점 자체의 차이는 델타(Delta) (ΔP)로 알려져 있으며, 함수 결과의 차이와 같이, 특정 표기법이 공식화의 방향에 의해 결정됩니다:

• 전방 차이:  ΔF(P) = F(P + ΔP) − F(P);
• 중앙 차이:  δF(P) = F(P + ½ΔP) − F(P − ½ΔP);
• 역방향 차이: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

일반적인 기본 설정은, F(P)가 기준일 때, 전진 방향이며, 여기에 차이 (즉, "ΔP")가 그것에 더합니다. 게다가,

• 만약 |ΔP|가 유한 (측정-가능을 의미함)이며, ΔF(P)는 DP와 DF(P)의 특정 명시적 의미와 함께 유한 차이(finite difference)로 알려져 있습니다;
• 만약 |ΔP|가 무한소(infinitesimal) (무한하게 작은 총양—$\iota$—보통 표준 해석학에서 극한으로 표현됨: $\lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!$)이면, ΔF(P)는 dP와 dF(P)의 특정 명시적 의미와 함께 무한소 차이(infinitesimal difference)로 알려져 있습니다 (미적분 그래프에서, 그 점은 거의 배타적으로 "x"로, F(x)를 "y"로 식별됩니다).

점 차이로 나뉜 함수 차이는 "차이 몫"으로 알려져 있습니다:

${\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!$

만약 ΔP가 무한소이면, 차이 몫은 도함수(derivative)이고, 그렇지 않으면, 차이로 나뉜(divided difference) 것입니다.

${\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!$

${\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!$

Defining the point range

ΔP가 무한소 또는 유한 여부에 상관없이, (적어도–도함수의 경우에서–이론적으로) 점 영역이 있으며, 여기서 경계는 P ± (0.5) ΔP입니다 (방향에 의존합니다–ΔF(P), δF(P) 또는 ∇F(P)):

LB = 아래쪽 경계;   UB = 위쪽 경계;

도함수는 그것들 자체 도함수를 숨기는 함수 자체로 여길 수 있습니다. 따라서 각 함수는 미분화(derivation, 또는 differentiation)의 순차적 차수 ("더 높은 순서")의 본거지입니다. 이 속성은 모든 차이 몫으로 일반화될 수 있습니다.

이 수열화는 해당하는 경계 분할을 요구하므로, 점 범위를 더 작은, 같은-크기의 섹션으로 나누는 것이 실용적이며, 각 섹션은 중간 점 (P_i)로 표시됩니다. 여기서 LB = P₀ 및 UB = P_ń, n번째 점, 차수/순서와 같습니다:

  LB =  P0  = P0 + 0Δ1P     = Pń − (Ń-0)Δ1P;
        P1  = P0 + 1Δ1P     = Pń − (Ń-1)Δ1P;
        P2  = P0 + 2Δ1P     = Pń − (Ń-2)Δ1P;
        P3  = P0 + 3Δ1P     = Pń − (Ń-3)Δ1P;
            ↓      ↓        ↓       ↓
       Pń-3 = P0 + (Ń-3)Δ1P = Pń − 3Δ1P;
       Pń-2 = P0 + (Ń-2)Δ1P = Pń − 2Δ1P;
       Pń-1 = P0 + (Ń-1)Δ1P = Pń − 1Δ1P;
  UB = Pń-0 = P0 + (Ń-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

  ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1;

  ΔB = UB − LB = Pń − P0 = ΔńP = ŃΔ1P.

The primary difference quotient (Ń = 1)

${\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!$

As a derivative

도함수로 차이 몫은 P₀가 본질적으로 P₁ = P₂ = ... = P_ń와 같기 때문에 (차이가 무한소이기 때문), 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)과 도함수 표현이 P와 P₀ 또는 P_ń를 구별하지 않는다는 점을 지적하는 것 외에는 설명이 필요하지 않습니다:

${\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!$

다른 도함수 표기법(other derivative notations)이 있지만, 이것들은 가장 인식된, 표준 명칭입니다.

As a divided difference

나뉜 차이는, 어쨌든, LB와 UB를 포함하는 사이의 평균 도함수와 같기 때문에 추가적인 설명을 요구합니다.

${\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}$

이 해석에서, P_ã는 추출된 함수, P의 평균 값 (중간-범위이지만, 보통 정확히 중앙 점은 아님)을 나타내며, 그것이 추출된 평균하는 함수에 따라 특정 평가를 나타냅니다. 보다 공식적으로, P_ã는 미적분학의 평균값 정리(mean value theorem)에서 찾아지며, 이것은 다음을 말합니다:

[LB,UB]에서 연속이고 (LB,UB)에서 미분-가능인 함수에 대해, 구간 [LB,UB]의 끝점을 연결하는 가름선이 P_ã에서의 접선과 평행한 것을 만족하는 구간 (LB,UB)에 어떤 P_ã가 존재합니다.

본질적으로, P_ã는 LB와 UB 사이의 P의 값을 나타냅니다–따라서,

$P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!$

이것은 평균값 결과를 나뉜 차이와 연결합니다:

${\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}$

참다운 정의에 따라, LB/P₀와 UB/P_ń 사이에 명백한 차이가 있기 때문에, 라이프니츠와 도함수 표현은 함수 인수의 분리(divarication)를 요구합니다.

Higher-order difference quotients

Second order

${\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}$

Third order

${\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}$

Ńth order

${\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}$

Applying the divided difference

나뉜 차이의 전형적인 적용은 유한 적분의 표시에 있으며, 이것은 유한 차이에 지나지 않습니다:

${\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}$

평균값, 도함수 표현 형식이 고전적 적분 표기법과 같은 정보의 모두를 제공한다고 주어지면, 평균값 형식은 오직 표준 아스키(ASCII) 텍스트를 지원/수용하는 작성 장소 또는 (타원 적분에서 평균 반지름을 찾을 때와 같은) 오직 평균 도함수를 요구하는 경우에서 처럼 선호되는 표현 일수 있습니다. 이것은 특히 기술적으로 (예를 들어) 0과 $\pi \,\!$ 또는 $2\pi \,\!$를 경계로 가지는 정적분에 대해 참이며, 0과 ${\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}$으로 경계를 가지는 것과 같은 발견된 나뉜 차이를 가집니다 (따라서 덜 평균하는 노력을 요구합니다):

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F[0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}$

이것은 역시 반복된 및 다중 적분(multiple integral) (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL)를 다룰 때 특히 유용하게 됩니다:

${\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}$

따라서,

$F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!$

및

$F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!$

See also

• Divided differences
• Fermat theory
• Newton polynomial
• Rectangle method
• Quotient rule
• Symmetric difference quotient

External links

• Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 The Difference Quotient
• University of Birmingham: Dirk Hermans—Divided Differences
• Mathworld:
  • Divided Difference
  • Mean-Value Theorem
• University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics
• Interactive simulator on difference quotient to explain the derivative