Differential equation

Visualization of heat transfer in a pump casing, created by solving the heat equation. Heat is being generated internally in the casing and being cooled at the boundary, providing a steady state temperature distribution.

수학에서, 미분 방정식(differential equation)은 하나 이상의 미지수 함수(function)와 그것의 도함수(derivates)를 관련시키는 방정식(equation)입니다.^[1] 응용에서, 함수는 일반적으로 물리량을 나타내고, 도함수는 그것들의 변화율을 나타내고, 미분 방정식은 둘 사이의 관계를 정의합니다. 그러한 관계가 매우 공통적입니다; 그러므로, 미분 방정식은 공학(engineering), 물리학(physics), 경제학(economics), 및 생물학(biology)을 포함한 많은 분야에서 현저한 역할을 합니다.

주로 미분 방정식의 연구는 그것들의 해 (각 방정식을 만족시키는 함수의 집합)와 그것들 해의 속성에 대한 연구로 구성됩니다. 가장 간단한 미분 방정식만 분명한 공식에 의해 풀 수 있습니다; 어쨌든, 주어진 미분 방정식의 해의 일부 속성은 그것들을 명시적으로 계산 없이 결정될 수 있습니다.

종종 해에 대해 닫힌-형식 표현(closed-form expression)이 유효하지 않을 때, 해는 컴퓨터를 사용하여 수치적으로 근사화될 수 있습니다. 동역학적 시스템의 이론(theory of dynamical systems)은 미분 방정식에 의해 설명된 시스템의 정성적(qualitative) 해석에 중점을 두고, 반면에 많은 수치적 방법(numerical methods)은 주어진 정확도의 정도를 갖는 해을 결정하기 위해 개발되어 왔습니다.

History

미분 방정식은 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해 미적분의 발명(invention of calculus)으로 처음 등장했습니다. 1671년 그의 저서 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum의 2장에서,^[2] 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 세 가지 종류의 미분 방정식을 나열했습니다:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

모든 이들 경우에서, $y$ 는 $x$ (또는 $x 1$ 과 $x 2$ )의 미지수 함수이고. $f$ 는 주어진 함수입니다.

그는 무한 급수를 사용하여 이들 예제와 다른 예제를 해결하고 해의 비-고유성을 논의합니다.

야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)는 1695년에 베르누이 미분 방정식(Bernoulli differential equation)을 제안했습니다.^[3] 이것은 다음 형식의 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)입니다:

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

이것에 대해 다음 해 라이프니츠는 그것을 단순화함으로써 해를 얻었습니다.^[4]

역사적으로, 악기(musical instrument)와 같은 진동하는 현의 문제는 Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, 및 Joseph-Louis Lagrange에 의해 연구했습니다.^[5]^[6]^[7]^[8] 1746년에, 달랑베르는 일-차원 파동 방정식(wave equation)을 발견했고, 10년 안에 오일러는 삼-차원 파동 방정식을 발견했습니다.^[9]

오일러-라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation)은 1750년대에 오일러와 라그랑주에 의해 토드크론(tautochrone) 문제의 연구와 관련하여 개발되었습니다. 이것은 가중 입자가 시작하는 점과 독립적인 고정된 시간의 총양에서 고정된 점으로 떨어질 것이라는 곡선을 결정하는 문제입니다. 라그랑주는 1755년에 이 문제를 풀고 그 해를 오일러에게 보냈습니다. 두 사람 모두 라그랑주 방법을 더욱 발전시키고 이를 역학(mechanics)에 적용하여, 라그랑주 역학(Lagrangian mechanics)의 형식화로 이어졌습니다.

1822년에, 푸리에는 Théorie analytique de la chaleur(열의 해석적 이론)에서 열 흐름(heat flow)에 관한 그의 연구를 발표했으며,^[10] 여기에서 그는 뉴턴의 냉각 법칙(Newton's law of cooling), 즉, 인접한 두 분자 사이의 열 흐름은 온도의 극히 작은 차이에 비례한다는 추론을 기반으로 했습니다. 이 책에는 열의 전도성 확산에 대한 푸리에의 열 방정식(heat equation) 제안이 포함되어 있습니다. 이 부분 미분 방정식은 이제 수학적 물리학의 모든 각 학생에게 가르쳐집니다.

Example

고전 역학(classical mechanics)에서, 물체의 움직임은 시간 값이 변함에 따라 그것들의 위치와 속도로 설명됩니다. 뉴턴의 법칙(Newton's laws)은 이들 변수를 시간의 함수로서 물체의 미지수 위치에 대한 미분 방정식으로 (물체에 작용하는 위치 속도, 가속도, 및 다양한 힘이 주어졌을 때) 동역학적으로 표현되도록 허용합니다.

일부 경우에서, 이 미분 방정식 (운동의 방정식이라고 불림)은 명시적으로 풀 수 있습니다.

미분 방정식을 사용하여 실제 문제를 모델링하는 예제는 중력과 공기 저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것입니다. 지면을 향한 공의 가속도는 중력으로 인한 가속에서 공기 저항으로 인한 감속을 뺀 값입니다. 중력은 상수로 고려되고, 공기 저항은 공의 속도에 비례하는 것으로 모델링될 수 있습니다. 이것은 공의 가속도는, 이는 공의 속도의 도함수이며, 속도에 따라 달라집니다 (그리고 속도는 시간에 따라 달라집니다). 시간의 함수로 속도를 찾는 것은 미분 방정식을 풀고 그 타당성을 확인하는 것과 관련됩니다.

Types

미분 방정식은 여러 유형으로 나눌 수 있습니다. 방정식 자체의 속성을 설명하는 것 외에도, 미분 방정식의 이들 클래스는 해에 대한 접근 방법을 선택하는 데 도움이 될 수 있습니다. 공통적으로 사용되는 구분은 방정식이 보통인지 부분인지, 선형인지 비-선형인지, 및 동종인지 이종인지를 포함합니다. 이 목록은 완전하지 않습니다; 특정 문맥에서 매우 유용할 수 있는 많은 다른 속성과 미분 방정식의 하위-클래스가 있습니다.

Ordinary differential equations

보통의 미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)은 하나의 실수 또는 복소수 변수 $x$ 의 미지수 함수, 그것의 도함수, 및 $x$ 의 일부 주어진 함수를 포함하는 방정식입니다. 미지수 함수는 일반적으로 변수 (종종 $y$ 로 표시됨)에 의해 나타내며, 이는, 따라서, $x$ 에 의존합니다. 따라서 $x$ 는 종종 방정식의 독립 변수(independent variable)라고 불립니다. "보통(ordinary)"이라는 용어는 부분 미분 방정식(partial differential equation)이라는 용어와 대조적으로 사용되며, 이는 둘 이상의 독립 변수와 관련될 수 있습니다.

선형 미분 방정식(Linear differential equations)은 미지수 함수와 그것의 도함수에서 선형(linear)인 미분 방정식입니다. 그것들의 이론은 잘 발달되어 있고, 많은 경우에 그것들의 해를 적분(integrals)의 관점에서 표현할 수 있습니다.

물리학(physics)에서 만나는 대부분의 ODE는 선형입니다. 그러므로, 대부분의 특수 함수(special functions)는 선형 미분 방정식의 해로 정의될 수 있습니다 (홀로노믹 함수(Holonomic function)를 참조하십시오).

미분방정식의 해는, 일반적으로, 닫힌-형식 표현(closed-form expression)에 의해 표현될 수 없기 때문에, 컴퓨터에서 미분방정식을 푸는 데는 수치적 방법(numerical methods)이 공통적으로 사용됩니다.

Partial differential equations

부분 미분 방정식(partial differential equation, PDE)은 미지수 다변수 함수(multivariable functions)와 그것의 부분 도함수(partial derivatives)를 포함하는 미분 방정식입니다. (이것은 단일 변수의 함수와 그것의 도함수를 다루는 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations)과 대조됩니다.) PDE는 여러 변수의 함수를 포함하는 문제를 형식화하기 위해 사용되고, 닫힌 형식으로 풀거나, 관련 컴퓨터 모델(computer model)을 만들기 위해 사용됩니다.

PDE는 소리, 열, 정전기, 전기-동역학, 유체 흐름, 탄성, 또는 양자 역학과 같은 자연에서 다양한 현상을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 이들 겉보기에 구별되는 물리적 현상은 PDE의 관점에서 유사하게 형식화될 수 있으며, 보통의 미분 방정식이 종종 일-차원 동역학적 시스템(dynamical systems)을 모델링하는 것처럼, 부분 미분 방정식은 종종 다차원 시스템(multidimensional systems)을 모델링합니다. 확률적 부분 미분 방정식(Stochastic partial differential equations)은 무작위성(randomness)을 모델링하는 데 부분 미분 방정식을 일반화합니다.

Non-linear differential equations

비-선형 미분 방정식(non-linear differential equation)은 미지수 함수와 그것의 도함수에서 선형 방정식(linear equation)이 아닌 미분 방정식입니다 (함수의 인수에서 선형성이나 비-선형성은 여기서는 고려되지 않습니다). 비선형 미분 방정식을 정확하게 푸는 방법은 거의 없습니다; 알려진 것들은 전형적으로 특정 대칭(symmetries)을 가지는 방정식에 의존합니다. 비선형 미분 방정식은 혼돈(chaos)의 특징, 확장된 시간 구간에 걸쳐 매우 복잡한 행동을 나타낼 수 있습니다. 비선형 미분 방정식에 대해 해의 존재, 고유성, 및 확장-가능성의 토대적인 질문과 비선형 PDE에 대해 초기 및 경계 값 문제의 올바른-자세는 어려운 문제이고 특수한 경우에서 그것들의 해결 방법은 수학적 이론에서 상당한 발전으로 고려됩니다. (참고. 나비에-스토크스 존재와 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness)). 어쨌든, 만약 미분 방정식이 의미 있는 물리적 과정을 올바르게 형식화된 표현이면, 해가 있을 것으로 기대합니다.^[11]

선형 미분 방정식은 종종 비선형 방정식에 대한 근사화(approximations)로 나타납니다. 이들 근사화는 제한된 조건 아래에서만 유효합니다. 예를 들어, 조화 진동자 방정식은 작은 진폭 진동에 유효한 비선형 진자 방정식에 대한 근사입니다 (아래 참조).

Equation order

미분 방정식은 가장 높은 도함수(highest derivatives)를 갖는 항에 의해 결정되는 그것들의 차수에 의해 설명됩니다. 일-차 도함수만 포함하는 방정식은 일-차 미분 방정식(first-order differential equation)이고, 이차 도함수(second derivative)를 포함하는 방정식은 이차 미분 방정식(second-order differential equation)이고, 이런 식으로 계속됩니다.^[12]^[13] 자연 현상을 설명하는 미분 방정식은 거의 항상 그것들에서 일-차 및 이-차 도함수만 가지지만, 사차 부분 미분 방정식인 박막 방정식(thin film equation)과 같은 몇 가지 예외가 있습니다.

Examples

첫 번째 그룹의 예제에서, u는 x의 미지수 함수이고, c와 ω는 알려진 것으로 가장되는 상수입니다. 보통의 미분 방정식과 부분 미분 방정식의 두 가지 광범위한 분류는 선형(linear) 미분 방정식과 비선형 미분 방정식, 및 동종 미분 방정식(homogeneous differential equations)과 이종 미분 방정식을 구별하는 것으로 구성됩니다.

이종 일-차 선형 상수 계수 보통의 미분 방정식:
${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$
동종 이-차 선형 보통의 미분 방정식:
${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$
조화 진동자(harmonic oscillator)를 설명하는 동종 이-차 선형 상수 계수 보통의 미분 방정식:
${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$
이종 일-차 비선형 보통의 미분 방정식:
${\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.$
길이 L의 진자(pendulum)의 운동을 설명하는 이-차 비선형 (사인 함수로 인한) 보통의 미분 방정식:
$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

다음 예제 그룹에서, 미지수 함수 u는 두 변수 x와 t 또는 x와 y에 따라 달라집니다.

동종 일차 선형 부분 미분 방정식:
${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$
타원 유형의 동종 이-차 선형 상수 계수 부분 미분 방정식, 라플라스 방정식(Laplace equation):
${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$
동종 삼-차 비선형 부분 미분 방정식:
${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Existence of solutions

미분 방정식을 푸는 것은 대수적 방정식(algebraic equations)을 푸는 것과 같지 않습니다. 그것들의 해는 종종 불분명할 뿐만 아니라, 해가 고유한지 또는 전혀 존재하는지 여부도 주목할만한 관심 대상입니다.

일-차 초기 값 문제에 대해, 페아노 존재 정리(Peano existence theorem)는 해가 존재하는 상황의 한 집합을 제공합니다. xy-평면에서 임의의 점 $(a,b)$ 가 주어지면, $Z=[l,m]\times [n,p]$ 이고 $(a,b)$ 가 $Z$ 의 내부에 있는 직사각형 영역 $Z$ 를 정의합니다. 만약 우리가 미분 방정식 ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ 와 $x=a$ 일 때 $y=b$ 라는 조건이 주어지면, $g(x,y)$ 와 ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$ 가 모두 $Z$ 위에 조건이면 이 문제데 대한 지역적 하나의 해가 있습니다. 이 해는 $a$ 에 중심을 둔 일부 구간 위에 존재합니다. 그 해는 고유하지 않을 수 있습니다. (다른 결과에 대해 보통의 미분 방정식(Ordinary differential equation)을 참조하십시오.)

어쨌든, 이것은 일-차 초기 값 문제(initial value problems)에만 도움이 됩니다. 우리는 n-차 선형 초기 값 문제가 있다고 가정합니다:

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

다음임을 만족합니다:

{\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}

임의의 비-영 $f_{n}(x)$ 에 대해, 만약 $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ 와 $g$ 가 $x_{0}$ 를 포함하는 일부 구간 위에 연속이면, $y$ 는 고유하고 존재합니다.^[14]

Related concepts

지연 미분 방정식(delay differential equation, DDE)은 보통 시간(time)이라고 불리는 단일 변수의 함수에 대한 방정식으로, 특정 시간에서 함수 도함수가 이전 시간에서 함수 값의 관점에서 제공됩니다.
적분-미분 방정식(integro-differential equation, IDE)은 미분 방정식과 적분 방정식(integral equation)의 측면을 결합한 방정식입니다.
확률적 미분방정식(stochastic differential equation, SDE)은 미지수 양이 확률적 과정(stochastic process)이고 그 방정식이 일부 알려진 확률적 과정, 예를 들어, 확산 방정식의 경우에서 위너 과정(Wiener process)을 포함하는 방정식입니다.
확률적 부분 미분 방정식(stochastic partial differential equation, SPDE)은 양자 필드 이론(quantum field theory)과 통계적 역학(statistical mechanics)에 응용을 갖는 시간-공간 노이즈 과정을 포함하도록 SDE를 일반화하는 방정식입니다.
초메트릭 유사-미분 방정식(pseudo-differential equation)은 초메트릭 공간(ultrametric space)에서 p-진수 숫자(p-adic numbers)를 포함하는 방정식입니다. 초메트릭 유사-미분 방정식을 포함하는 수학적 모델은 미분 연산자(differential operators) 대신 유사-미분 연산자(pseudo-differential operators)를 사용합니다.
미분 대수적 방정식(differential algebraic equation, DAE)은 암시적 형식에서 주어진 미분과 대수적 항으로 구성하는 미분 방정식입니다.

Connection to difference equations

미분 방정식의 이론은 미분 방정식(difference equations)의 이론과 밀접한 관련이 있으며, 여기서 좌표는 이산 값만을 가정하고 그 관계는 미지수 함수 또는 함수들의 값과 인접 좌표에서 값을 포함합니다. 미분 방정식의 수치적 해를 계산하거나 미분 방정식의 속성을 연구하는 많은 방법은 대응하는 차이 방정식의 해에 의한 미분 방정식의 해의 근사를 포함합니다.

Applications

미분 방정식의 연구는 순수(pure)와 응용 수학(applied mathematics), 물리학(physics), 및 공학(engineering)에서 광범위한 분야입니다. 이들 모든 분야는 다양한 유형의 미분 방정식의 속성과 관련이 있습니다. 순수 수학은 해의 존재와 고유성에 초점을 맞추고, 반면에 응용 수학은 해를 근사화하는 방법의 엄격한 정당화를 강조합니다. 미분 방정식은 천체 운동에서 다리 설계, 뉴런 사이의 상호 작용에 이르기까지 거의 모든 각 물리적, 기술적, 또는 생물학적 과정을 모델링하는 데 중요한 역할을 합니다. 실-생활 문제를 해결하기 위해 사용되는 것과 같은 미분 방정식은 반드시 직접 해결할 수 있는 것은 아닙니다. 즉, 닫힌-형식(closed form) 해를 가지지 않습니다. 대신, 해는 수치적 방법(numerical methods)을 사용하여 근사화될 수 있습니다.

물리학(physics)과 화학(chemistry)의 많은 토대적인 법칙은 미분 방정식으로 공식화될 수 있습니다. 생물학(biology)과 경제학(economics)에서 미분 방정식은 복잡한 시스템의 행동을 모델링(modeling)하기 위해 사용됩니다. 미분 방정식의 수학적 이론은 처음에 방정식이 유래되고 그 결과가 응용을 찾은 과학과 함께 발전했습니다. 어쨌든, 때때로 완전히 다른 과학 분야에서 기원하는 다양한 문제는 동일한 미분 방정식을 유발할 수 있습니다. 이런 일이 발생할 때마다, 방정식 이면의 수학적 이론은 다양한 현상 이면의 통합하는 원리로 볼 수 있습니다. 한 예제로서, 대기 중의 빛과 소리의 전파와 연못 표면의 파도 전파를 생각해 보십시오. 그들 모두는 같은 이차 부분 미분 방정식(partial differential equation), 파동 방정식(wave equation)으로 설명될 수 있으며, 이를 통해 빛과 소리를 물 속의 친숙한 파동처럼 파동의 형식으로 생각할 수 있습니다. 조제프 푸리에(Joseph Fourier)에 의해 발전되었던 이론, 열 전도는 또 다른 이차 부분 미분 방정식, 열 방정식(heat equation)에 의해 지배됩니다. 그것은 많은 확산(diffusion) 과정이 다르게 보이지만, 같은 방정식에 의해 설명된다는 것이 밝혀졌습니다; 예를 들어, 금융 분야에서 블랙-숄즈(Black–Scholes) 방정식은 열 방정식과 관련이 있습니다.

다양한 과학 분야에서 이름을 받은 미분 방정식의 숫자는 주제의 중요성을 증명합니다. 이름-지은 미분 방정식의 목록(List of named differential equations)을 참조하십시오.

Software

일부 CAS 소프트웨어는 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 이들 CAS 소프트웨어와 그것들의 명령은 언급할 가치가 있습니다:

Maple:^[15] dsolve
Mathematica:^[16] DSolve[]
Maxima:^[17] ode2(equation, y, x)
SageMath:^[18] desolve()
SymPy:^[19] sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
Xcas:^[20] desolve(y'=k*y,y)

References

^ Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
^ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
^ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
^ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
^ Frasier, Craig (July 1983). "Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 9 (1).
^ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "The Vibrating String Controversy". Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.
^ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Archived 2020-02-09 at the Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
^ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
^ Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
^ Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (in French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.
^ Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 3.
^ Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
^ Order and degree of a differential equation Archived 2016-04-01 at the Wayback Machine, accessed Dec 2015.
^ Zill, Dennis G. (2001). A First Course in Differential Equations (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
^ "dsolve - Maple Programming Help". www.maplesoft.com. Retrieved 2020-05-09.
^ "DSolve - Wolfram Language Documentation". www.wolfram.com. Retrieved 2020-06-28.
^ Schelter, William F. Gaertner, Boris (ed.). "Differential Equations - Symbolic Solutions". The Computer Algebra Program Maxima - a Tutorial (in Maxima documentation on SourceForge). Archived from the original on 2022-10-04.
^ "Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0". doc.sagemath.org. Retrieved 2020-05-09.
^ "ODE". SymPy 1.11 documentation. 2022-08-22. Archived from the original on 2022-09-26.
^ "Symbolic algebra and Mathematics with Xcas" (PDF).

External links

Media related to Differential equations at Wikimedia Commons
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[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[2] Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[3] Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum

[4] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Frasier, Craig (July 1983). "Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 9 (1).

[6] Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "The Vibrating String Controversy". Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.

[7] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Archived 2020-02-09 at the Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[8] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)

[Speiser-9] Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[10] Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (in French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.

[11] Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 3.

[12] Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html

[13] Order and degree of a differential equation Archived 2016-04-01 at the Wayback Machine, accessed Dec 2015.

[14] Zill, Dennis G. (2001). A First Course in Differential Equations (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.

[15] "dsolve - Maple Programming Help". www.maplesoft.com. Retrieved 2020-05-09.

[16] "DSolve - Wolfram Language Documentation". www.wolfram.com. Retrieved 2020-06-28.

[17] Schelter, William F. Gaertner, Boris (ed.). "Differential Equations - Symbolic Solutions". The Computer Algebra Program Maxima - a Tutorial (in Maxima documentation on SourceForge). Archived from the original on 2022-10-04.

[18] "Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0". doc.sagemath.org. Retrieved 2020-05-09.

[19] "ODE". SymPy 1.11 documentation. 2022-08-22. Archived from the original on 2022-09-26.

[20] "Symbolic algebra and Mathematics with Xcas" (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]