Ordinary differential equation

Original article: w:Ordinary differential equation

The trajectory of a projectile launched from a cannon follows a curve determined by an ordinary differential equation that is derived from Newton's second law.

수학(mathematics)에서, 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)은 단일 독립 변수(variable)에만 의존하는 미분 방정식(differential equation, DE)입니다. 다른 DE와 마찬가지로 그 미지수(들)는 하나 (또는 그 이상)의 함수(들)로 구성되고 그들 함수의 도함수(derivatives)를 포함합니다. "보통의(ordinary)"이라는 용어는 하나보다 많은 독립 변수와 관련될 수 있는 부분 미분 방정식(partial differential equations)과 대조하여 사용됩니다.

Differential equations

선형 미분 방정식(linear differential equation)은 미지수 함수와 그 도함수에서 선형 다항식(linear polynomial)으로 정의되는 미분 방정식, 즉 다음과 같은 형식의 방정식(equation)입니다:

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

여기서 $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$와 $b(x)$는 선형이 될 필요가 없는 임의적인 미분-가능 함수(differentiable functions)이고, $y',\ldots ,y^{(n)}$은 변수 x의 미지수 함수 y의 연속 도함수입니다.

보통의 미분 방정식 중에서, 선형 미분 방정식은 몇 가지 이유로 중요한 역할을 합니다. 물리학(physics)과 응용 수학(applied mathematics)에서 만나는 대부분의 기본 함수(elementary functions)와 특수 함수(special functions)는 선형 미분 방정식의 해입니다 (홀로노믹 함수(Holonomic function) 참조). 물리적 현상이 비-선형 방정식으로 모델링될 때, 그것들은 일반적으로 더 쉬운 해를 위해 선형 미분 방정식으로 근사화됩니다. 명시적으로 풀 수 있는 몇 가지 비-선형 ODE는 일반적으로 동등한 선형 ODE로 방정식을 변환함으로써 풀 수 있습니다 (예를 들어, 리카티 방정식(Riccati equation) 참조).

일부 ODE는 알려진 함수와 적분(integrals)의 관점에서 명시적으로 풀 수 있습니다. 그것이 가능하지 않을 때, 해의 테일러 급수(Taylor series)를 계산하는 방정식이 유용할 수 있습니다. 응용 문제에 대해, 보통의 미분 방정식에 대한 수치적 방법이 해의 근사를 제공할 수 있습니다.

Background

보통의 미분 방정식 (ODE)은 수학, 사회 과학과 자연 과학의 많은 맥락에서 발생합니다. 변화에 대한 수학적 설명은 미분과 미분을 사용합니다. 각종 미분, 도함수, 및 함수는, 미분 방정식은 동적으로 변화하는 현상, 진화, 및 변동을 기술한 결과임을 만족하는 방정식을 통해 관련됩니다. 종종, 양은 다른 양의 변화율 (예를 들어, 시간에 관한 변위의 도함수), 또는 양의 그래디언트(gradients)로 정의되며, 이는 그것들이 미분 방정식에 들어가는 방법입니다.

특정 수학 분야는 기하학(geometry)과 해석적 역학(analytical mechanics)을 포함합니다. 과학 분야는 많은 물리학과 천문학 (천문 역학), 기상학 (날씨 모델링), 화학 (반응률), 생물학 (전염병, 유전적 변이), 생태학, 및 인구 모델링 (인구 경쟁), 경제학 (주식 동향, 이자율 및 시장 균형 가격 변동)을 포함합니다.

뉴턴(Newton), 라이프니츠(Leibniz), 베르누이 가족(Bernoulli family), 리카티(Riccati), 클레로(Clairaut), 달랑베르(d'Alembert), 및 오일러(Euler)를 포함하여 많은 수학자들이 미분 방정식을 연구하고 해당 분야에 기여했습니다.

간단한 예제는 뉴턴의 두 번째 운동 법칙입니다 — 힘 F 아래에서 물체의 변위 x와 시간 t 사이의 관계는 다음 미분 방정식에 의해 제공됩니다:

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

이는 일정한 질량 m의 입자의 운동(motion of a particle)을 구속합니다. 일반적으로, F는 시간 t에서 입자의 위치 x(t)의 함수입니다. 미지수 함수 x(t)는 미분 방정식의 양쪽 변에 나타나고, 표기법 F(x(t))에서 표시됩니다.

Definitions

따라오는 것에서, y를 종속 변수(dependent variable)이고 x를 독립 변수(independent variable)이고 y = f(x)는 x의 미지수 함수라고 놓습니다. 미분화에 대한 표기법(notation for differentiation)은 작성자에 따라 다르고 당면한 임무에 가장 유용한 표기법이 무엇인지에 따라 달라집니다. 이러한 맥락에서, 라이프니츠 표기법(Leibniz's notation) (dy/dx, d²y/dx², …, dⁿy/dxⁿ)은 미분과 적분에 대해 더 유용하고, 반면에 라그랑주 표기법(Lagrange's notation)이 고차 도함수를 간결하게 표현하는 데 더 유용하고, 뉴턴의 표기법(Newton's notation) $({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})$은 종종 물리학에서 시간에 관한 낮은 차수의 도함수를 나타내는 데 사용됩니다.

General definition

See also: Order of differential equation

x, y의 함수이고 y의 도함수 F가 주어지면, 다음 형식의 방정식은

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

차수 n의 명시적 보통의 미분 방정식(explicit ordinary differential equation of order n)이라고 불립니다.

보다 일반적으로, 차수 n의 암시적(implicit) 보통의 미분 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$

추가적인 분류가 있습니다:

Autonomous

미분이 만약 변수 x에 의존하지 않으면 익명(autonomous)입니다.

Linear

미분 방정식이 만약 $F$가 y의 도함수의 선형 조합으로 쓸 수 있으면; 즉 그것이 다음으로 쓸 수 있으면 "선형(linear)"입니다:

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

여기서 a _i (x)와 r (x)는 x의 연속 함수입니다. 함수 r(x)는 추가 분류로 이어지는 소스 항(source term)이라고 불립니다.

Homogeneous

선형 미분 방정식은 r(x) = 0이면 "동차(homogeneous)입니다. 이 경우에서, 항상 "자명한 해" y = 0가 있습니다.

Nonhomogeneous (or inhomogeneous)

선형 미분 방정식이 r(x) ≠ 0이면 비-동차(nonhomogeneous)입니다.

Non-linear

선형이 아닌 미분 방정식.

System of ODEs

Main article: System of differential equations

다수의 결합된 미분 방정식이 방정식의 시스템을 형성합니다. 만약 y가 그 원소가 함수인 벡터; y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)]이고, F는 y와 그 도함수의 벡터-값 함수(vector-valued function)이면, 다음은

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

차수 n이고 차원 m의 보통의 미분 방정식의 명시적 시스템입니다. 열 벡터(column vector) 형식에서:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

이것들이 반드시 선형일 필요는 없습니다. 암시적(implicit) 아날로그는 다음과 같습니다:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

여기서 0 = (0, 0, ..., 0)는 영 벡터(zero vector)입니다. 행렬 형식에서

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$ 형식의 시스템에 대해, 일부 출처는 역시 이를 암시적 ODE [시스템]이라고 부르기 위해 야코비 행렬(Jacobian matrix) ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$가 비-특이(non-singular)일 것을 요구하기도 합니다; 이 야코비 비-특이성 조건을 만족시키는 암시적 ODE 시스템은 명시적 ODE 시스템으로 변환될 수 있습니다. 같은 출처에서, 특이 야코비를 갖는 암시적 ODE 시스템은 미분 대수적 방정식(differential algebraic equations, DAE)이라고 이름-짓습니다. 이러한 구분은 단순히 용어의 차이가 아닙니다; DAE는 근본적으로 다른 특성을 가지고 일반적으로 (비-특이) ODE 시스템보다 풀이에 더 관여합니다. 아마도 추가 도함수에 대해, 헤세 행렬(Hessian matrix) 등도 이 스킴에 따라 비-특이 행렬로 고려되지만, 1보다 큰 차수의 임의의 ODE는 1차의 ODE의 시스템으로 재작성될 수 있다는 점에 유의해야 하며, 이는 이 분류법에 대해 모든 차수에서 포괄적이 되기에 충분한 야코비 특이점 기준을 만듭니다.

ODE 시스템의 행동은 위상 초상화(phase portrait)를 사용하여 시각화될 수 있습니다.

Solutions

다음 미분 방정식이 주어졌을 때,

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0$

함수 u: I ⊂ R → R는, 여기서 I는 구간이며, 만약 u가 I 위에 n-번 미분-가능이고 다음이면 F에 대해 해(solution) 또는 적분 곡선(integral curve)이라고 불립니다:

$F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

두 개의 해 u: J ⊂ R → R 및 v: I ⊂ R → R가 주어지면, u는 만약 I ⊂ J이고 다음이면 v의 확장(extension)이라고 불립니다:

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

확장을 가지지 않는 해는 최대 해(maximal solution)라고 불립니다. 모든 R 위에 정의된 해는 전역적 해(global solution)라고 불리니다.

n-차 방정식의 일반 해(general solution)는 n개의 임의적인 독립 적분의 상수(constants of integration)를 포함하는 해입니다. 특정 해(particular solution)는 상수를 특정 값으로 설정함으로써 일반 해에서 유도되며, 종종 설정된 '초기 조건 또는 경계 조건'을 충족하도록 선택됩니다. 특이 해(singular solution)는 일반 해에서 임의적인 상수에 명확한 값을 할당함으로써 얻을 수 없는 해입니다.

선형 ODE의 맥락에서, 용어 특정 해(particular solution)는 역시 ODE의 임의의 해 (초기 조건을 충족할 필요는 없음)를 참조할 수 있으며, 이는 이후 동차(homogeneous) 해 (동차 ODE의 일반 해)에 더해지며, 이는 이후 원래 ODE의 일반 해를 형성입니다. 이것은 이 기사에서 추측 방법(guessing method) 섹션에서 사용하는 용어이고, 미정 계수의 방법(method of undetermined coefficients)과 매개변수의 변동(variation of parameters)을 논할 때 자주 사용됩니다.

Solutions of finite duration

비-선형 자율 ODE에 대해, 일부 조건 아래에서 유한 지속 시간의 해를 개발할 수 있으며, 그 자체의 동역학에서, 시스템이 종료 시간에 값 영에 도달하고 그 이후에는 영원히 영에 머물게 될 것임을 의미합니다. 이들 유한-기간 해는 전체 실수 직선에서 해석적 함수가 될 수 없고, 그것들이 종료 시간에서 비-라이프니츠 함수가 되기 때문에, 그것들은 라이프니츠 미분 방정식의 해의 고유성 정리에 포함되지 않습니다.

예제, 방정식:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1$

유한 기간 해를 허용합니다:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}$

Theories

Singular solutions

보통의 미분 방정식과 부분 미분 방정식(partial differential equations)의 특이 해(singular solutions)의 이론은 라이프니츠 시대부터 연구의 대상이었지만, 19세기 중반이 되어서야 특별한 관심을 받게 되었습니다. 그 주제에 대한 가치는 있지만 거의 알려지지 않은 연구는 Houtain (1854)의 연구입니다. Darboux (1873년부터)는 이론에서 선두 주자였고, 이들 해의 기하학적 해석에서 그는 다양한 연구자, 특히 Casorati와 Cayley에 의한 연구된 분야를 열었습니다. 후자는 1900년경에 받아들여진 1차 미분 방정식의 특이 해의 이론 (1872) 때문입니다.

Reduction to quadratures

미분 방정식을 다루는 원시적인 시도는 구적법(quadratures)으로 축소하는 것을 염두에 두었습니다. n차 일반 방정식을 푸는 방법을 찾는 것이 18세기 대수학자들의 희망이었듯이, 임의의 미분 방정식을 적분하는 일반적인 방법을 찾는 것이 해석가들의 희망이었습니다. 어쨌든, Gauss (1799)는 복소 미분 방정식에는 복소수가 필요함을 보여주었습니다. 따라서, 해석가들은 함수의 연구를 대체하기 시작하여, 새롭고 비옥한 분야를 열었습니다. Cauchy는 이 견해의 중요성을 인식한 최초의 사람이었습니다. 그 후, 실제 문제는 더 이상 알려진 함수 또는 적분을 통해 해가 가능한지 여부가 아니라 주어진 미분 방정식이 독립 변수 또는 변수들의 함수 정의에 충분한지 여부, 및, 만약 그렇다면, 특징적인 속성은 무엇인지였습니다.

Fuchsian theory

Main article: Frobenius method

Fuchs에 의한 두 회고록은 참신한 접근 방식에 영감을 주었고, 이후 Thomé와 Frobenius에 의해 자세히 설명되었습니다. Collet은 1869년부터 저명한 공헌자였습니다. 비-선형 시스템을 적분하기 위한 그의 방법은 1868년에 Bertrand에게 전달되었습니다. Clebsch (1873)는 그의 아벨 적분(Abelian integrals)의 이론과 평행 직선을 따라 이론을 공격했습니다. 후자는 합리적 변환 아래에서 변하지 않는 토대적인 곡선의 속성에 따라 분류될 수 있으므로, Clebsch는 합리적인 일-대-일 변환 아래에서 해당하는 표면 f = 0의 불변 속성에 따라 미분 방정식에 의해 정의된 초월 함수를 분류할 것을 제안했습니다.

Lie's theory

1870년부터, Sophus Lie의 연구는 미분 방정식 이론을 더 나은 토대 위에 놓았습니다. 그는 리 그룹(Lie groups)을 사용하여 이전 수학자들의 적분 이론이 공통 소스로 참조될 수 있고, 같은 무한소 변환(infinitesimal transformations)을 허용하는 보통의 미분 방정식이 유사한 적분 어려움을 나타냄을 보여주었습니다. 그는 역시 접촉의 변형(transformations of contact)이라는 주제를 강조했습니다.

미분 방정식의 리의 그룹 이론은 다음과 같이 인증되어 왔습니다, 즉: (1) 미분 방정식을 푸는 데 알려진 많은 임시 방법을 통합하고, (2) 해를 찾기 위한 강력하고 새로운 방법을 제공합니다. 그 이론은 보통의 미분 방정식과 부분 미분 방정식 모두에 적용됩니다.

일반 해 접근 방식은 미분 방정식의 대칭 속성, 해에서 해로의 연속적인 무한소 변환 (리 이론)을 사용합니다. 연속 그룹 이론, 리 대수, 및 미분 기하학은 적분 방정식을 생성하는 데 선형과 비-선형 (부분) 미분 방정식의 구조를 이해하고, 랙스 쌍(Lax pairs), 재귀 연산자, 베크룬트 변환(Bäcklund transform)을 찾고, 최종적으로 DE에 대한 정확한 해석적 해를 찾는 데 사용됩니다.

대칭 방법은 수학, 물리학, 공학, 및 기타 분야에서 발생하는 미분 방정식에 적용되어 왔습니다.

Sturm–Liouville theory

Main article: Sturm–Liouville theory

스튀름–리우빌 이론은 특별한 유형의 2차 선형 보통의 미분 방정식의 이론입니다. 그것들의 해는 2차 동차 선형 방정식(homogeneous linear equations)을 통해 정의된 선형 연산자의 고윳값(eigenvalues)과 해당하는 고유함수(eigenfunctions)를 기반으로 합니다. 그 문제는 스튀름–리우빌 문제 (SLP)로 식별되고 J.C.F. Sturm과 J. Liouville의 이름을 따서 지었으며, 그들은 1800년대 중반에 그것들을 연구했습니다. SLP는 무한한 숫자의 고윳값을 가지고, 해당하는 고유함수는 직교 확장을 가능하게 하는 완비, 직교 집합을 형성합니다. 이것은 응용 수학, 물리학, 및 공학의 핵심 아이디어입니다. SLP는 특정 부분 미분 방정식의 해석에도 유용합니다.

Existence and uniqueness of solutions

지역적 및 전역적 둘 다에서 ODE와 관련된 초기 값 문제(initial value problems)에 대한 해의 존재와 고유성을 수립하는 몇 가지 정리가 있습니다. 두 가지 주요 정리는 다음과 같습니다:

Theorem	Assumption	Conclusion
페아노 존재 정리	F 연속	지역적 존재만
피카르-린델뢰프 정리	F 립시츠 연속	지역적 존재와 고유성

기본 형태에서 이들 두 가지 정리는 지역적 결과만 보장하지만, 후자는 예를 들어 그뢴발의 부등식(Grönwall's inequality)의 조건이 충족되면 전역적 결과를 제공하기 위해 확장될 수 있습니다.

역시, 위의 립시츠의 것과 같은 고유성 정리는 (비-선형) 대수적 부분만으로 여러 해를 가질 수 있는 DAE 시스템에 적용되지 않습니다.

Local existence and uniqueness theorem simplified

정리는 다음과 같이 간단하게 말할 수 있습니다. 방정식과 초기 값 문제에 대해: $$y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$$ 만약 F 및 ∂F/∂y가 x-y 평면에서 닫힌 사각형에서 연속이면, $$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$$ 여기서 a와 b는 실수 (기호적으로: a, b ∈ R)이고 ×는 데카르트 곱(Cartesian product)이고, 대괄호는 닫힌 구간(closed intervals)을 나타내며, 위의 방정식에 대한 그 해와 초기 값 문제를 찾을 수 있는 일부 h ∈ R에 대한 다음 구간이 있습니다: $$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$$ 즉, 해가 있고 그것은 고유합니다. F가 선형이어야 한다는 제한이 없기 때문에, 이것은 F(x, y) 형식을 취하는 비-선형 방정식에 적용하고, 그것은 역시 방정식의 시스템에 적용될 수 있습니다.

Global uniqueness and maximum domain of solution

피카르-린델뢰프 정리의 가설이 만족될 때, 지역적 존재와 고유성이 전역적 결과로 확장될 수 있습니다. 더 정확하게:

각 초기 조건 (x₀, y₀)에 대해, 이 초기 조건을 만족시키는 임의의 해가 도메인$I_{\max }$에서 이 초기 조건을 만족시키는 해의 제한(restriction)임을 만족하는 고유한 최대 (무한 가능) 다음과 같은 열린 구간이 존재합니다:

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }$

$x_{\pm }\neq \pm \infty$인 경우에서, 정확하게 두 가지 가능성이 있습니다:

• 유한 시간에서 폭발: $\limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty$
• 도메인의 영역을 떠남: $\lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}$

여기서 Ω는 F가 정의되는 열린 집합이고, $\partial {\bar {\Omega }}$는 경계입니다.

해의 최대 도메인은 다음임에 주목하십시오:

• (고유성을 가지기 위한) 항상 구간입니다.
• $\mathbb {R}$보다 작을 수 있습니다.
• (x₀, y₀)의 특정 선택에 따라 달라질 수 있습니다.

Example.

$y'=y^{2}$

이것은 F(x, y) = y²를 의미하며, 이는 C¹이고 따라서 지역적으로 립시츠 연속이며, 피카르-린델뢰프 정리를 만족시킵니다.

그러한 간단한 설정에서 조차도, 해의 최대 도메인은 해가 다음과 같기 때문에 모두 $\mathbb {R}$일 수 없습니다:

$y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

이는 다음과 같은 최대 도메인을 가집니다:

${\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}$

이것은 최대 구간이 초기 조건에 따라 달라질 수 있음을 분명하게 보여줍니다. y의 도메인은 $\mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0})$로 취할 수 있지만, 이것은 구간이 아닌 도메인이 되므로, 초기 조건과 반대 쪽은 초기 조건과 단절되고, 따라서 그것에 의해 고유하게 결정되지 않습니다.

최대 도메인은 다음이기 때문에 $\mathbb {R}$이 아닙니다:

$\lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,$

이는 위의 정리에 따라 가능한 두 가지 경우 중 하나입니다.

Reduction of order

미분 방정식은 방정식의 차수가 줄어들 수 있으면 더 쉽게 풀 수 있습니다.

Reduction to a first-order system

차수 n의 임의의 명시적 미분 방정식은,

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

i = 1, 2, ..., n에 대해 다음과 같은 미지수 함수의 새로운 가족을 정의함으로써 n개의 일-차 미분 방정식의 시스템으로 쓸 수 있습니다:

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

그런-다음 일-차 결합된 미분 방정식의 n-차원 시스템은 다음과 같습니다:

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}$

보다 간결하게 벡터 표기법에서:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )$

여기서

$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).$

Summary of exact solutions

일부 미분 방정식은 정확하고 닫힌 형식으로 작성될 수 있는 해를 가집니다. 몇 가지 중요한 클래스가 여기에 제공됩니다.

아래 테이블에서, P(x), Q(x), P(y), Q(y), 및 M(x,y), N(x,y)는 x, y의 적분가능(integrable) 함수입니다; b와 c는 주어진 실수 상수입니다; C₁, C₂, ...는 임의적인 상수 (일반적으로 복소수)입니다. 미분 방정식은 적분을 통해 해로 이어지는 동등한 형식과 대안적인 형식에 있습니다.

적분 해에서, λ와 ε는 적분의 더미 변수 (합에서 인덱스의 연속체 아날로그)이고, 표기법 ∫^x F(λ) dλ는 단지 λ에 관한 F(λ)를 적분하고, 그런-다음 적분 후 상수를 추가 없이 λ = x로 대체합니다 (명시적으로 명시됨).

Separable equations

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, separable in x and y (general case, see below for special cases) ${\begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\P_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by P2Q1).	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,d\lambda =C$
First-order, separable in x ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(x)\\dy&=F(x)\,dx\end{aligned}}$	Direct integration.	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,d\lambda +C$
First-order, autonomous, separable in y ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=F(y)\\dy&=F(y)\,dx\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by F).	$x=\int ^{y}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+C$
First-order, separable in x and y ${\begin{aligned}P(y){\frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0\\P(y)\,dy+Q(x)\,dx&=0\end{aligned}}$	Integrate throughout.	$\int ^{y}P(\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}Q(\lambda )\,d\lambda =C$

General first-order equations

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, homogeneous ${\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)$	Set y = ux, then solve by separation of variables in u and x.	$\ln(Cx)=\int ^{y/x}{\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
First-order, separable ${\begin{aligned}yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {dy}{dx}}&=0\\yM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy&=0\end{aligned}}$	Separation of variables (divide by xy).	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ If N = M, the solution is xy = C.
Exact differential, first-order ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ where ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$	Integrate throughout.	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\&=\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ where $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}M(\lambda ,y)\,d\lambda$$ and $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}N(x,\lambda )\,d\lambda$$
Inexact differential, first-order ${\begin{aligned}M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0\\M(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx&=0\end{aligned}}$ where ${\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\frac {\partial N}{\partial x}}$	Integration factor μ(x, y) satisfying ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial x}}$	If μ(x, y) can be found in a suitable way, then ${\begin{aligned}F(x,y)=&\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda +\int ^{y}Y(\lambda )\,d\lambda \\=&\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda +\int ^{x}X(\lambda )\,d\lambda =C\end{aligned}}$ where $$Y(y)=N(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}\int ^{x}\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)\,d\lambda$$ and $$X(x)=M(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}\int ^{y}\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )\,d\lambda$$

General second-order equations

Differential equation	Solution method	General solution
Second-order, autonomous ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)$	Multiply both sides of equation by 2dy/dx, substitute $2{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$, then integrate twice.	$x=\pm \int ^{y}{\frac {d\lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\varepsilon )\,d\varepsilon +C_{1}}}}+C_{2}$

Linear to the nth order equations

Differential equation	Solution method	General solution
First-order, linear, inhomogeneous, function coefficients ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$	Integrating factor: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }.$	Armour formula: $y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda +C\right]$
Second-order, linear, inhomogeneous, function coefficients ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){\frac {dy}{dx}}+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=q(x)$	Integrating factor: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}\left(\int ^{\xi }e^{\int ^{\lambda }P(\varepsilon )\,d\varepsilon }Q(\lambda )\,d\lambda \right)d\xi +C_{1}x+C_{2}\right]$
Second-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)$	Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions $e^{\alpha _{j}x}$. Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.	$y=y_{c}+y_{p}$ If b2 > 4c, then $y_{c}=C_{1}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}+C_{2}e^{-{\frac {x}{2}}\,\left(b-{\sqrt {b^{2}-4c}}\right)}$ If b2 = 4c, then $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}$ If b2 < 4c, then $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)+C_{2}\cos \left(x\,{\frac {\sqrt {4c-b^{2}}}{2}}\right)\right]$
nth-order, linear, inhomogeneous, constant coefficients $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)$	Complementary function yc: assume yc = eαx, substitute and solve polynomial in α, to find the linearly independent functions $e^{\alpha _{j}x}$. Particular integral yp: in general the method of variation of parameters, though for very simple r(x) inspection may work.	$y=y_{c}+y_{p}$ Since αj are the solutions of the polynomial of degree n: ${\textstyle \prod _{j=1}^{n}(\alpha -\alpha _{j})=0}$, then: for αj all different, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$$ for each root αj repeated kj times, $$y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{j,\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}$$ for some αj complex, then setting α = χj + iγj, and using Euler's formula, allows some terms in the previous results to be written in the form $$C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\varphi _{j})$$ where ϕj is an arbitrary constant (phase shift).

The guessing method

ODE를 풀기 위한 모든 다른 방법이 실패하거나, DE에 대한 해가 어떻게 생겼는지에 대한 직관이 있는 경우에서, 때때로 단순히 해를 추측하고 그것이 올바른지 검증함으로써 DE를 풀 수 있습니다. 이 방법을 사용하기 위해, 단순히 미분 방정식의 해를 추측하고, 그런-다음 해를 미분 방정식에 대입하여 방정식을 만족하는지 검증합니다. 만약 그것이 만족한다면, DE에 대한 특정 해를 가지고 있고, 그렇지 않으면 다시 시작하여 또 다른 추측을 시도합니다. 예를 들어, DE에 대한 해가 형식: $y=Ae^{\alpha t}$를 가진다고 추측할 수 있는데 왜냐하면 이것이 물리적으로 정현파 방식으로 동작하는 매우 공통적인 해이기 때문입니다.

비-동차인 일-차 ODE의 경우에서, 먼저 DE의 동차 부분, 그렇지 않으면 특성 방정식으로 알려진 부분에 대한 DE 해를 찾고, 그런-다음 추측을 통해 전체 비-동차 방정식에 대한 해를 찾을 필요가 있습니다. 마지막으로, 이들 두 해를 함께 더하여 ODE에 대한 전체 해, 즉, 다음을 얻습니다:

${\text{total solution}}={\text{homogeneous solution}}+{\text{particular solution}}$

Software for ODE solving

• Maxima, an open-source computer algebra system.
• COPASI, a free (Artistic License 2.0) software package for the integration and analysis of ODEs.
• MATLAB, a technical computing application (MATrix LABoratory)
• GNU Octave, a high-level language, primarily intended for numerical computations.
• Scilab, an open source application for numerical computation.
• Maple, a proprietary application for symbolic calculations.
• Mathematica, a proprietary application primarily intended for symbolic calculations.
• SymPy, a Python package that can solve ODEs symbolically
• Julia (programming language), a high-level language primarily intended for numerical computations.
• SageMath, an open-source application that uses a Python-like syntax with a wide range of capabilities spanning several branches of mathematics.
• SciPy, a Python package that includes an ODE integration module.
• Chebfun, an open-source package, written in MATLAB, for computing with functions to 15-digit accuracy.
• GNU R, an open source computational environment primarily intended for statistics, which includes packages for ODE solving.

See also

• Boundary value problem
• Examples of differential equations
• Laplace transform applied to differential equations
• List of dynamical systems and differential equations topics
• Matrix differential equation
• Method of undetermined coefficients
• Recurrence relation

References

• Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Physics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716
• Tipler, Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Introduction à l'automatique (PDF) (in French)
• Dresner, Lawrence (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 978-0750305303
• Ascher, Uri; Petzold, Linda (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Bibliography

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• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

External links

• "Differential equation, ordinary", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, containing a list of ordinary differential equations with their solutions.
• Online Notes / Differential Equations by Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics.
• A primer on analytical solution of differential equations from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems lecture notes by Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC.
• Modeling with ODEs using Scilab A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.
• Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha