Differentiable curve

곡선의 미분 기하학(Differential geometry of curves)은 미분 미적분과 적분 미적분의 방법에 의해 평면(plane)과 유클리드 공간(Euclidean space)에서 매끄러운 곡선(curves)을 다루는 기하학(geometry)의 한 가지입니다.

많은 특정 곡선(specific curves)이 합성 접근법(synthetic approach)을 사용하여 철저히 조사되어 왔습니다. 미분 기하학(Differential geometry)은 또 다른 경로를 취합니다: 곡선은 매개변수화된 형식(parametrized form)으로 표현되고, 곡선의 기하학적 속성과 곡률(curvature)과 호 길이(arc length)와 같은 곡선과 관련된 다양한 수량은 벡터 미적분(vector calculus)을 사용하여 도함수(derivatives)와 적분(integrals)을 통해 표현됩니다. 곡선을 분석하기 위해 사용되는 가장 중요한 도구 중 하나는 곡선의 각 점에서 해당 점 근처의 곡선에 "가장 적합"한 좌표 시스템을 제공하는 움직이는 프레임, 프레네 프레임(Frenet frame)입니다.

곡선의 이론은 표면의 이론(theory of surfaces)과 고차원 일반화보다 훨씬 간단하고 범위가 좁은데, 왜냐하면 유클리드 공간에서 정규 곡선은 본질적인 기하학을 가지지 않기 때문입니다. 임의의 정규 곡선은 호 길이로 매개변수화될 수 있습니다 (자연스러운 매개변수화). 주변 공간에 대해 아무것도 모르는 곡선 위의 이론적 점 입자(theoretical point particle)의 관점에서 보면, 모든 곡선은 같은 것으로 나타납니다. 서로 다른 공간 곡선은 그것들이 구부러지고 비틀리는 방식으로만 구별됩니다. 정량적으로, 이것은 곡선의 곡률(curvature)과 꼬임(torsion)이라고 하는 미분-기하학 불변량에 의해 측정됩니다. 곡선의 기본 정리(fundamental theorem of curves)는 이들 불변에 대한 지식이 곡선을 완전하게 결정한다고 주장합니다.

Definitions

매개변수 $C r$ -곡선 또는 $C r$ -매개변수화는 $r$ -번 연속적으로 미분가능(continuously differentiable)인 다음과 같은 벡터-값 함수(vector-valued function)입니다:

\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}

(즉, $γ$ 의 성분 함수가 연속적으로 미분-가능임), 여기서 $n\in \mathbb {N}$ , $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 이고, $I$ 는 실수의 비-빈 구간(interval)입니다. 매개변수 곡선의 이미지(image)는 $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 입니다. 매개변수 곡선 $γ$ 와 그 이미지 $γ [I]$ 는 구별되어야 하는데 왜냐하면 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 주어진 부분집합이 많은 구별되는 매개변수 곡선의 이미지일 수 있기 때문입니다. $γ (t)$ 에서 매개변수 $t$ 는 시간을 나타내는 것으로 생각될 수 있고, $γ$ 는 공간에서 움직이는 점의 궤적(trajectory)을 나타냅니다. $I$ 가 닫힌 구간 $[a, b]$ 일 때, $γ (a)$ 는 $γ$ 의 시작 점이라고 불리고 $γ (b)$ 는 끝점입니다. 만약 시작점과 끝점이 일치하면 (즉, $γ (a) = γ (b)$ ), $γ$ 는 닫힌 곡선(closed curve) 또는 루프(loop)입니다. $C r$ -루프가 되려면, 함수 $γ$ 는 $r$ -번 연속적으로 미분-가능이어야 하고 $0 \leq k \leq r$ 에 대해 $γ (k) (a) = γ (k) (b)$ 를 만족시켜야 합니다.

매개변수 곡선은 만약 다음이 단사적(injective)이면 단순한(simple) 것입니다:

\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}

그것은 $γ$ 의 각 성분 함수가 해석적 함수(analytic function), 즉, 클래스 $C ω$ 의 것이면 해석적(analytic)입니다.

곡선 $γ$ 는 모든 각 $t \in I$ 에 대해, 다음이 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 선형적으로 독립(linearly independent) 부분집합이면 차수 $m$ 의 정규입니다 (여기서 $m \leq r$ ):

\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}

특히, 매개변수 $C 1$ -곡선 $γ$ 이 정규(regular)인 것과 임의의 $t \in I$ 에 대해 $γ' (t) \neq 0$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

Re-parametrization and equivalence relation

매개변수 곡선의 이미지가 주어지면, 매개변수 곡선의 여러 다른 매개변수화가 있습니다. 미분 기하학은 특정 재매개변수화 아래에서 불변인 매개변수 곡선의 속성을 설명하는 것을 목표로 합니다. 모든 매개변수 곡선의 집합에 대한 적절한 동치 관계(equivalence relation)가 정의되어야 합니다. 매개변수 곡선의 미분-기하학 속성 (예를 들어, 길이, 프레네 프레임, 및 일반화된 곡률)은 재매개변수화 아래에서 불변이고 따라서 동치 클래스(equivalence class) 자체의 속성입니다. 동치 클래스는 $C r$ -곡선이라고 불리고 곡선의 미분 기하학에서 연구되는 중심 대상입니다.

두 개의 매개변수 $C r$ -곡선, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ 과 $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ 는 동등한(equivalent) 것이라고 말하는 것과 다음을 만족하는 전단사(bijective) $C r$ -맵 $φ : I 1 \to I 2$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다:

\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0

그리고

\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).

$γ 2$ 는 그때에 $γ 1$ 의 재-매개변수화(re-parametrization)라고 말합니다.

재-매개변수화는 $C r$ 클래스의 모든 매개변수 $C r$ -곡선의 집합에 대한 동치 관계를 정의합니다. 이 관계의 동치 클래스는 단순히 $C r$ -곡선입니다.

방향화된 매개변수 $C r$ -곡선의 더 미세한(finer) 동치 관계는 $φ' (t) > 0$ 을 만족시키기 위해 $φ$ 를 요구함으로써 정의될 수 있습니다.

동등한 매개변수 $C r$ -곡선은 같은 이미지를 가지고, 동등한 방향화된 매개변수 $C r$ -곡선은 같은 방향에서 이미지를 가로지릅니다.

Length and natural parametrization

매개변수 $C 1$ -곡선 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ 의 길이 $l$ 은 다음과 같이 정의됩니다:

l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.

매개변수 곡선의 길이는 재매개변수 아래에서 불변이고 따라서 매개변수 곡선의 미분-기하학 속성입니다.

각 정규 매개변수 $C r$ -곡선 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ 에 대해, 여기서 $r \geq 1$ 이며, 그 함수는 다음과 같이 정의됩니다:

\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.

${\overline {\gamma }}(s)=\gamma (t(s))$ 라고 쓰면, 여기서 $t(s)$ 는 $s(t)$ 의 역함수입니다. 이것은 호-길이 매개변수화(arc-length parametrization), 자연스러운 매개변수화(natural parametrization), 단위-속력 매개변수화(unit-speed parametrization)라고 불리는 $\gamma$ 의 재-매개변수화 ${\overline {\gamma }}$ 입니다. 매개변수 $s(t)$ 는 $\gamma$ 의 자연스러운 매개변수(natural parameter)라고 합니다.

이 매개변수화는 선호되는데 왜냐하면 자연스러운 매개변수 $s(t)$ 는 다음이 되도록 단위 속력에서 $\gamma$ 의 이미지를 횡단하기 때문입니다:

\forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.

실제로, 매개변수 곡선의 자연스러운 매개변수화를 계산하는 것은 종종 매우 어렵지만, 이론적인 논증에 대해 유용합니다.

주어진 매개변수 곡선 $\gamma$ 에 대해, 자연스러운 매개변수화는 매개변수의 이동(shift)까지 고유합니다.

다음 양은

E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}

때때로 곡선의 에너지(energy) 또는 동작(action)이라고 불립니다; 이 이름은 측지선(geodesic) 방정식이 이 동작에 대해 운동의 오일러-라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equations)이기 때문에 정당화됩니다.

Frenet frame

프레네 프레임은 각 점 $\gamma (t)$ 에서 지역적으로 곡선을 설명하기 위해 사용되는 $n$ 직교-정규(orthonormal) 벡터 $e_{i}(t)$ 의 움직이는 참조 프레임(moving reference frame)입니다. 그것은 유클리드 좌표와 같은 전역적 참조 시스템을 사용하는 것보다 지역적 참조 시스템의 관점에서 지역적 속성 (예를 들어, 곡률, 꼬임)을 설명하는 것이 훨씬 쉽고 자연스럽기 때문에 곡선의 미분 기하학적 처리에서 주요 도구입니다.

차수 $n$ 의 정규인 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 $C n + 1$ -곡선이 주어졌을 때, 곡선에 대해 프레네 프레임은 프레네 벡터(Frenet vectors)라고 불리는 다음 직교-정규 벡터의 집합입니다:

\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)

그것들은 다음과 같은 그람–슈미트 직교화 알고리듬(Gram–Schmidt orthogonalization algorithm)을 사용하여 $\gamma (t)$ 의 도함수로부터 구성됩니다:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)\end{aligned}}

실수-값 함수 $\chi _{i}(t)$ 는 일반화된 곡률이라고 불리고 다음과 같이 정의됩니다:

\chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}

프레네 프레임과 일반화된 곡률은 재매개변수화 아래에서 불변이고 따라서 곡선의 미분 기하학적 속성입니다. $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 곡선에 대해, $\chi _{1}(t)$ 는 곡률이고 $\chi _{2}(t)$ 는 꼬임입니다.

Bertrand curve

버트런드 곡선(Bertrand curve)은 이들 두 곡선에 대한 주요 법선 벡터(principal normal vectors)가 각 해당하는 점에서 동일함을 만족하는 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 두 번째 곤선이 있는 추가적인 속성을 갖는 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 정규 곡선입니다. 다시 말해서, 만약 $γ 1 (t)$ 와 $γ 2 (t)$ 가 임의의 $t$ 에 대해, 2개의 주요 법선 $N 1 (t), N 2 (t)$ 가 같음을 만족하는 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 두 곡선이면, $γ 1$ 과 $γ 2$ 는 버트런드 곡선이고, $γ 2$ 는 $γ 1$ 의 버트런드 한패라고 불립니다. 우리는 어떤 상수 $r$ 에 대해 $γ 2 (t) = γ 1 (t) + r N 1 (t)$ 라고 쓸 수 있습니다.^[1]

쿠넬(Kühnel)의 "Differential Geometry Curves – Surfaces – Manifolds"에서 문제 25에 따르면, 같은 2차원 평면에 있지 않은 두 버트런드 곡선이 선형 관계 $a κ (t) + b τ (t) = 1$ 의 존재로 특징지어지는 것도 참이며, 여기서 $κ (t)$ 와 $τ (t)$ 는 $γ 1 (t)$ 의 곡률과 꼬임이고 $a$ 와 $b$ 는 $a \neq 0$ 인 실수 상수입니다.^[2] 게다가, 곡선의 버트런드 쌍의 꼬임(torsions)의 곱은 상수입니다.^[3] 만약 $γ 1$ 이 둘 이상의 버트런드 한패를 가지면, 그것은 무한하게 많이 가집니다. 이것은 $γ 1$ 이 원형 나선일 때만 발생합니다.^[1]

Special Frenet vectors and generalized curvatures

처음 3개의 프레네 벡터와 일반화된 곡률은 3차원 공간에서 시각화될 수 있습니다. 그것들은 추가적인 이름과 그것들에 부착된 더 많은 의미론적 정보를 가집니다.

Tangent vector

만약 곡선 $γ$ 가 입장의 경로를 나타내면, 주어진 점 $P$ 에서 입자의 순간 속도(velocity)는 $P$ 에서 곡선에 대한 접선 벡터(tangent vector)라고 불리는 벡터(vector)로 표현됩니다. 수학적으로, 매개변수화된 $C 1$ 곡선 $γ = γ (t)$ 가 주어지면, 매개변수의 모든 각 값 $t = t 0$ 에 대해 , 다음 벡터는

\gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}

점 $P = γ (t 0)$ 에서 접선 벡터입니다. 일반적으로 말하면, 접선 벡터는 영(zero)일 수 있습니다. 접선 벡터의 크기는

\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|

시간 $t 0$ 에서 속력입니다.

첫 번째 프레네 벡터 $e 1 (t)$ 는 $γ$ 의 각 정규 점에서 정의된 같은 방향에서 단위 접선 벡터입니다:

\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.

만약 $t = s$ 가 자연스러운 매개변수이면, 접선 벡터는 단위 길이를 가집니다. 공식은 다음과 같이 단순화됩니다:

\mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)

.

단위 접선 벡터는 증가하는 매개변수 값에 따라 곡선의 방향 또는 앞쪽 방향을 결정합니다. 곡선으로 취한 단위 접선 벡터는 원래 곡선의 구형 이미지(spherical image)를 추적합니다.

Normal vector or curvature vector

곡선 법선 벡터(normal vector)는, 때때로 곡률 벡터(curvature vector)라고 불리며, 직선인 것으로부터 곡선의 일탈(deviance)을 나타냅니다. 그것은 다음과 같이 정의됩니다:

{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).

그것의 정규화된 형식, 단위 법선 벡터는 두 번째 프레네 벡터 $e 2 (t)$ 이고 다음과 같이 정의됩니다:

\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.

점 $t$ 에서의 접선 벡터와 법선 벡터는 점 $t$ 에서 진동 평면(osculating plane)을 정의합니다.

$ē 2 (t) \propto e' 1 (t)$ 임을 알 수 있습니다. 그러므로,

\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.

Curvature

첫 번째 일반화된 곡률 $χ 1 (t)$ 는 곡률이라고 하고 진동 평면에 관한 직선인 것으로부터 $γ$ 의 일탈을 측정합니다. 그것은 다음과 같이 정의됩니다:

\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}

그리고 점 $t$ 에서 $γ$ 의 곡률(curvature)이라고 불립니다. 그것은 다음임을 보일 수 있습니다:

\kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.

곡률의 역수(reciprocal)는

{\frac {1}{\kappa (t)}}

곡률의 반지름(radius of curvature)이라고 불립니다.

반지름 $r$ 을 갖는 원은 다음의 상수 곡률을 가집니다

\kappa (t)={\frac {1}{r}}

반면에 직선은 0의 곡률을 가집니다.

Binormal vector

단위 쌍법선 벡터는 세 번째 프레네 벡터 $e 3 (t)$ 입니다. 그것은 $t$ 에서 단위 접선 벡터와 법선 벡터에 항상 직교합니다. 그것은 다음과 같이 정의됩니다:

\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)

3-차원 공간에서, 그 방정식은 다음으로 단수화됩니다:

\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)

또는 다음으로

\mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),

두 기호 중 하나가 발생할 수 있다는 것은 오른-손잡이 나선과 왼손-잡이 나선의 예제를 통해 설명됩니다.

Torsion

두 번째 일반화된 곡률 $χ 2 (t)$ 는 꼬임(torsion)이라고 불리고 평면 곡선(plane curve)인 것으로부터 $γ$ 의 일탈을 측정합니다. 다시 말해서, 꼬임이 영이면, 곡선은 완전히 같은 진동 평면에 있습니다 (모든 각 점 $t$ 에 대해 진동 평면이 하나만 있습니다). 그것은 다음과 같이 정의됩니다:

\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}

그리고 점 $t$ 에서 $γ$ 의 꼬임(torsion)이라고 불립니다.

Aberrancy

세 번째 도함수(third derivative)는 곡선의 비-원형성(non-circularity)의 메트릭, aberrancy을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.^[4]^[5]^[6]

Main theorem of curve theory

$n - 1$ 함수가 주어졌을 때:

\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1

그런-다음 (유클리드 그룹을 사용하는 변환까지) 고유한 $C n + 1$ -곡선 $γ$ 가 존재하며, 이는 차수 n의 정규이고 다음 속성을 가집니다:

{\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}

여기서 다음 집합은

\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)

곡선에 대해 프레네 프레임입니다.

$I$ 에서 시작 $t 0$ , $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 시작 점 $p 0$ , 및 다음을 갖는 초기 양의 직교 프레네 프레임 ${e 1, ..., e n - 1}$ 을 추가적으로 제공함으로써

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}

유클리드 변환은 고유한 곡선 $γ$ 를 얻기 위해 제거됩니다.

Frenet–Serret formulas

프레네–세레 공식은 일차의 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations)의 집합입니다. 그 해는 일반화된 곡률 함수 $χ i$ 로 지정된 곡선을 설명하는 프레네 벡터의 집합입니다.

2 dimensions

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}

3 dimensions

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}

$n$ dimensions (general formula)

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}

References

^ ^a ^b do Carmo, Manfredo P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (revised & updated 2nd ed.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. pp. 27–28. ISBN 978-0-486-80699-0.
^ Kühnel, Wolfgang (2005). Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds. Providence: AMS. p. 53. ISBN 0-8218-3988-8.
^ Weisstein, Eric W. "Bertrand Curves". mathworld.wolfram.com.
^ Schot, Stephen (November 1978). "Aberrancy: Geometry of the Third Derivative". Mathematics Magazine. 5. 51 (5): 259–275. doi:10.2307/2690245. JSTOR 2690245.
^ Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007). "Measures of Aberrancy". Real Analysis Exchange. 32 (1). Michigan State University Press: 233. doi:10.14321/realanalexch.32.1.0233. ISSN 0147-1937.
^ Gordon, Russell A. (2004). "The aberrancy of plane curves". The Mathematical Gazette. 89 (516). Cambridge University Press (CUP): 424–436. doi:10.1017/s0025557200178271. ISSN 0025-5572. S2CID 118533002.

Differentiable curve

Definitions

Re-parametrization and equivalence relation

Length and natural parametrization