Differential operator

수학(mathematics)에서, 미분 연산자(differential operator)는 미분화(differentiation) 연산자의 함수로 정의된 연산자(operator)입니다. 그것은, 첫 번째 표기법의 문제로써, 미분화를 하나의 함수를 받아들이고 (컴퓨터 과학에서 고-차 함수의 스타일로) 또 다른 함수를 반환하는 추상 연산으로 고려하는 것에 도움이 됩니다.

이 기사에서는 주로, 대부분 공통 형식인, 선형(linear) 미분 연산자를 고려합니다. 어쨌든, 슈바르치안 도함수(Schwarzian derivative)와 같은, 비-선형 미분 연산자가 역시 존재합니다.

Definition

차수- $m$ 선형 미분 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있는 함수 공간(function space) ${\mathcal {F}}_{1}$ 에서 또 다른 함수 공간 ${\mathcal {F}}_{2}$ 로의 맵 $A$ 입니다:

$A=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$ 여기서 $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ 는 비-음의 정수(integers)의 다중-인덱스(multi-index)이고, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ 이고, 각 $\alpha$ 에 대해, $a_{\alpha }(x)$ 는 n-차원 공간에서 어떤 열린 도메인 위의 함수입니다. 연산자 $D^{\alpha }$ 는 다음으로 해석됩니다:

$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

따라서 함수 $f\in {\mathcal {F}}_{1}$ 에 대해:

$Af=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

두 함수 $D(g,f)$ 위에 작용하는 미분 연산자는 역시 쌍-미분 연산자(bidifferential operator)라고 불립니다.

Notations

가장 공통적인 미분 연산자는 도함수(derivative)를 취하는 동작입니다. 변수 x에 관한 1차 도함수를 취하는 공통적인 표기법은 다음을 포함합니다:

{d \over dx}

,

D

,

D_{x},

and

\partial _{x}

.

더 높은, n차 도함수를 취할 때, 그 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

{d^{n} \over dx^{n}}

,

D^{n}

,

D_{x}^{n}

, or

\partial _{x}^{n}

.

인수(argument) x의 함수 f의 도함수는 때때로 다음 중 하나로 제공됩니다:

[f(x)]'

f'(x).

D 표기법의 사용과 생성은 다음 형식의 미분 연산자를 고려한 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)에 기인합니다:

\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

그는 미분 방정식(differential equations)의 그의 연구에서 이것을 사용했습니다.

가장 자주 볼 수 있는 미분 연산자 중 하나는 다음에 의해 정의되는 라플라스 연산자(Laplacian operator)입니다:

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.

또 다른 미분 연산자는 다음에 의해 정의되는 Θ 연산자 또는 세타 연산자(theta operator)입니다:^[1]

\Theta =z{d \over dz}.

이것은 고유-함수(eigenfunctions)가 z에서 단항식(monomials)이기 때문에 때때로 동차성 연산자(homogeneity operator)라고도 불립니다: $\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots$

n 변수에서 동차성 연산자는 다음에 의해 제공됩니다: $\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$

한 변수에서와 같이, Θ의 고유공간(eigenspaces)은 동차 함수(homogeneous functions)의 공간입니다. (오일러의 동차 함수 정리)

쓰기에서, 공통적인 수학적 관례에 따라, 미분 연산자의 인수는 보통 연산자 자체의 오른쪽에 배치됩니다. 때때로 대안적인 표기법이 사용됩니다: 연산자의 왼쪽 변과 연산자의 오른쪽 변에 함수에 대한 연산자를 적용한 결과와 미분 연산자를 양쪽 변에 함수에 적용했을 때 얻은 차이는 다음과 같이 화살표에 의해 표시됩니다:

f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f

f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g

f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.

그러한 양방향-화살표 표기법은 양자 역학의 확률 흐름(probability current)을 설명하는 데 자주 사용됩니다.

Del

미분 연산자 델(del)은, 역시 나블라(nabla)라고 불리며, 중요한 벡터(vector) 미분 연산자입니다. 그것은 맥스웰의 방정식(Maxwell's equations)의 미분 형식과 같은 곳에서 물리학(physics)에서 자주 나타납니다. 삼-차원 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서, 델은 다음으로 정의됩니다: $\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.$

델은 그래디언트(gradient)를 정의하고, 다양한 대상의 컬(curl), 다이버전스(divergence), 및 라플라스(Laplacian)를 계산하기 위해 사용됩니다.

Adjoint of an operator

선형 미분 연산자 $T$ 가 주어지면 $Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$ 이 연산자의 인접(adjoint)은 다음임을 만족하는 연산자 $T^{*}$ 로 정의됩니다: $\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$ 여기서 표기법 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 은 스칼라 곱(scalar product) 또는 안의 곱(inner product)에 대해 사용됩니다. 이 정의는 따라서 스칼라 곱 (또는 안의 곱)의 정의에 의존합니다.

Formal adjoint in one variable

실수 구간 $(a, b)$ 위에 제곱-적분가능 함수(square-integrable functions)의 함수형 공간에서, 스칼라 곱은 다음에 의해 정의됩니다: $\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,$

여기서 f(x) 위의 직선은 f(x)의 복소 켤레(complex conjugate)를 나타냅니다. 만약 f 또는 g가 $x\to a$ 와 $x\to b$ 로 사라지는 조건을 더 추가하면, 다음에 의해 T의 인접을 정의할 수도 있습니다: $T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].$ 이 수식은 스칼라 곱의 정의에 명시적으로 의존하지 않습니다. 그것은 따라서 때때로 인접 연산자의 정의로 선택됩니다. $T^{*}$ 가 이 공식에 따라 정의될 때, 그것은 T의 형식적 인접(formal adjoint)이라고 불립니다.

(형식적으로) 자기-인접(self-adjoint) 연산자는 자신의 (형식적) 인접과 같은 연산자입니다.

Several variables

만약 Ω가 Rⁿ에서 도메인이고, P가 Ω 위에 미분 연산자이면, P의 인접은 모든 매끄러운 L² 함수 f, g에 대해 유사한 방식으로 이중성에 의해 L²(Ω)에서 정의됩니다:

\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}

매끄러운 함수가 L²에서 조밀하기 때문에, 이것은 L²의 조밀한 부분집합 위에 인접을 정의합니다: P^*은 조밀하게 정의된 연산자(densely defined operator)입니다.

Example

스튀름–리우빌(Sturm–Liouville) 연산자는 형식적 자기-인접 연산자의 잘-알려진 예제입니다. 이차 선형 미분 연산자 L은 다음 형식에서 쓸 수 있습니다:

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.

이 속성은 위의 형식적 인접 정의를 사용하여 입증될 수 있습니다:

{\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}

이 연산자는 이 연산자의 고유함수 (고유벡터와 유사함)가 고려되는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)의 핵심입니다.

Properties of differential operators

미분화는 선형(linear)입니다, 즉.

D(f+g)=(Df)+(Dg),

D(af)=a(Df),

여기서 f와 g는 함수이고, a는 상수입니다.

함수 계수를 갖는 D에서 임의의 다항식(polynomial)은 역시 미분 연산자입니다. 우리는 다음 규칙에 따라 미분 연산자를 합성(compose)할 수도 있습니다.

(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).

그런 다음 약간의 주의가 필요합니다: 먼저 연산자 D₂에서 임의의 함수 계수는 D₁ 적용이 필요한 만큼 여러 번 미분-가능(differentiable)해야 합니다. 그러한 연산자의 링(ring)을 얻기 위해, 우리는 사용된 계수의 모든 차수의 도함수를 가정해야 합니다. 둘째, 이 링은 교환적(commutative)이지 않을 것입니다: 연산자 gD는 일반적으로 Dg와 같지 않습니다. 예를 들어, 우리는 양자 역학(quantum mechanics)에서 다음 기본적인 관계를 가지고 있습니다:

Dx-xD=1.

상수 계수(constant coefficients)를 갖는 D에서 다항식인 연산자의 부분링은, 대조적으로, 교환적입니다. 그것은 또 다른 방법으로 특징지을 수 있습니다: 그것은 평행이동-불변 연산자로 구성됩니다.

미분 연산자도 이동 정리(shift theorem)를 따릅니다.

Several variables

같은 구성은 교환하는 연산자를 발생시키는 다른 변수에 관한 미분화, 부분 도함수(partial derivatives)와 함께 수행될 수 있습니다 (이차 도함수의 대칭을 참조하십시오).

Ring of polynomial differential operators

Ring of univariate polynomial differential operators

만약 R이 링이면, $R\langle D,X\rangle$ 를 변수 D와 X에서 R에 걸쳐 비-교환 다항식 링(non-commutative polynomial ring)으로 놓고, I를 DX − XD − 1에 의해 생성된 양-측 아이디얼(ideal)이라고 놓습니다. 그런 다음 R에 걸쳐 일변수 다항식 미분 연산자의 링은 몫 링(quotient ring) $R\langle D,X\rangle /I$ 입니다. 이것은 비-교환 단순 링(simple ring)입니다. 모든 각 원소는 $X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I$ 형식의 단항식의 R-선형 조합으로 고유한 방법에서 작성될 수 있습니다. 그것은 다항식의 유클리드 나눗셈의 아날로그를 지원합니다.

(표준 유도에 대해) $R[X]$ 에 걸쳐 미분 모듈은 $R\langle D,X\rangle /I$ 에 걸쳐 모듈(modules)로 식별될 수 있습니다.

Ring of multivariate polynomial differential operators

만약 R이 링이면, $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$ 를 변수 $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$ 에서 R에 걸쳐 비-교환 다항식 링이라고 놓고, I를 모든 $1\leq i,j\leq n$ 에 대해, 다음 원소에 의해 생성된 양-측 아이디얼이라고 놓습니다:

(D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}

여기서 $\delta$ 는 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. 그런-다음 R에 걸쳐 다변수 다항식 미분 연산자의 링은 몫 링 $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I$ 입니다.

이것은 비-교환 단순 링(simple ring)입니다. 모든 각 원소는 $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}$ 형식의 단항식의 R-선형 조합으로 고유한 방법에서 쓸 수 있습니다.

Coordinate-independent description

미분 기하학(differential geometry)과 대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 두 벡터 다발(vector bundles) 사이의 미분 연산자의 좌표-독립적 설명을 가지는 것이 종종 편리합니다. E와 F를 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) M에 걸쳐 두 개의 벡터 다발이라고 놓습니다. 섹션(sections) P : Γ(E) → Γ(F)의 R-선형 매핑은 만약 그것이 제트 다발(jet bundle) J^k(E)을 통해 인수화되면 k-차 선형 미분 연산자라고 말합니다. 다시 말해서, 다음을 만족하는

P=i_{P}\circ j^{k}

다음 벡터 다발의 선형 매핑이 존재합니다:

i_{P}:J^{k}(E)\to F

여기서 j^k: Γ(E) → Γ(J^k(E))는 E의 임의의 섹션 k-제트(k-jet)와 관련된 연장입니다.

이것은 E의 주어진 섹션(section) s에 대해, 점 x ∈ M에서 P(s)의 값이 x에서 s의 k-차 무한소 동작에 의해 완전하게 결정된다는 것을 의미합니다. 특히, 이것은 P(s)(x)가 미분 연산자가 지역적이라고 말함으로써 표현되는 x에서 s의 배아(germ)에 의해 결정된다는 것을 의미합니다. 토대적인 결과는 그 전환도 참이라는 것을 보여주는 페트레 정리(Peetre theorem)입니다: 임의의 (선형) 지역적 연산자는 미분입니다.

Relation to commutative algebra

동등하지만, 선형 미분 연산자의 순수하게 대수적 설명은 다음과 같습니다: R-선형 맵 P는, 만약 k + 1 매끄러운 함수 $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ 에 대해 다음을 가지면 k-차 선형 미분 연산자입니다:

[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.

여기서 괄호 $[f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ 는 다음 교환자로 정의됩니다:

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).

선형 미분 연산자의 이러한 특성화는 그것들이 교환 대수(commutative algebra)에 걸쳐 모듈(modules) 사이의 특정 매핑임을 보여주며, 그 개념을 교환 대수(commutative algebra)의 일부로 보는 것을 허용합니다.

Examples

물리 과학에 대한 응용에서, 라플라스 연산자(Laplace operator)와 같은 연산자는 부분 미분 방정식(partial differential equations)을 설정하고 푸는 데 중요한 역할을 합니다.
미분 토폴로지(differential topology)에서, 외부 도함수(exterior derivative) 연산자와 리 도함수(Lie derivative) 연산자는 본질적인 의미를 갖습니다.
추상 대수학(abstract algebra)에서, 유도(derivation)의 개념은 미적분의 사용을 요구하지 않는 미분 연산자의 일반화를 허용합니다. 자주 그러한 일반화는 대수적 기하학(algebraic geometry)과 교환 대수(commutative algebra)에서 사용됩니다. Jet (mathematics)도 참조하십시오.
복소 변수(complex variable) z = x + i y의 정칙 함수(holomorphic functions) 개발에서, 때때로 복소 함수는 두 개의 실수 변수 x와 y의 함수로 고려됩니다. 부분 미분 연산자인 비르팅거 도함수(Wirtinger derivatives)를 사용합니다: ${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$ 이 접근 방식은 여러 복소 변수(several complex variables)의 함수와 모터 변수(motor variable)의 함수를 연구하는 데에도 사용됩니다.

History

미분 연산자를 독립된 것으로 작성하는 개념적 단계는 1800년 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)에 기인합니다.^[2]

References

^ E. W. Weisstein. "Theta Operator". Retrieved 2009-06-12.
^ James Gasser (editor), A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole (2000), p. 169; Google Books.

External links

Media related to Differential operators at Wikimedia Commons
"Differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] E. W. Weisstein. "Theta Operator". Retrieved 2009-06-12.

[2] James Gasser (editor), A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole (2000), p. 169; Google Books.

[1]

[2]

Definition

Notations

Del

Adjoint of an operator

Formal adjoint in one variable

Several variables

Example

Properties of differential operators

Several variables

Ring of polynomial differential operators

Ring of univariate polynomial differential operators

Ring of multivariate polynomial differential operators

Coordinate-independent description

Relation to commutative algebra

Examples

History

See also

References

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