Operator (mathematics)

수학(mathematics)에서, 연산자(operator)는 일반적으로 공간(space)의 원소를 (아마도 같은 공간, 때때로 같은 공간으로 요구된) 또 공간의 원소를 생성하기 위해 작용하는 매핑(mapping) 또는 함수(function)입니다. 연산자의 일반적인 정의는 없지만, 그 용어는 종종 도메인(domain)이 함수의 집합이거나 다른 구조화된 대상일 때 함수의 위치에서 사용됩니다. 역시, 연산자의 도메인은 종종 명시적으로 특성화되기 어렵고 (예를 들어 적분 연산자(integral operator)의 경우), 관련된 대상으로 확장될 수 있습니다 (함수에 작용하는 연산자는 그것의 해가 방정식을 만족하는 함수인 미분 방정식(differential equation)에도 작용할 수 있습니다). 다른 예제에 대해 Operator (physics)를 참조하십시오.

(어떤 의미에서) 가장 기본적인 연산자는 벡터 공간(vector space)에 작용하는 선형 맵(linear map)입니다. 어쨌든, "선형 맵" 대신 "선형 연산자"를 사용할 때, 수학자들은 종종 함수(function)의 벡터 공간 위에 작용을 의미하며, 이것은 역시 연속성(continuity)과 같은 다른 속성을 보존합니다. 예를 들어, 미분(differentiation)과 부정 적분(indefinite integration)은 선형 연산자입니다; 그것들로부터 만들어진 연산자는 미분 연산자(differential operator), 적분 연산자(integral operator), 또는 적분-미분 연산자(integro-differential operator)라고 불립니다.

연산자(operator)는 역시 수학적 연산(mathematical operation)의 기호를 나타내는 데 사용됩니다. 이것은 컴퓨터 프로그래밍(computer programming)의 "연산자"의 의미와 관련이 있습니다; operator (computer programming)를 참조하십시오.

Linear operators

가장 공통적인 유형의 연산자는 선형 연산자입니다. U와 V를 필드 K에 걸쳐 벡터 공간이라고 놓습니다. 매핑(mapping) A: U → V는 만약 U에서 모든 x, y에 대해 및 K에서 모든 α, β에 대해 다음이면 선형입니다: $A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}$

이것은 선형 연산자를 덧셈과 스칼라 곱셈 연산의 전 또는 후에 적용하는지 여부가 중요하지 않다는 의미에서 선형 연산자가 벡터 공간 연산을 보존한다는 것을 의미합니다. 보다 기술적으로 말하면, 선형 연산자는 벡터 공간 사이의 사상(morphism)입니다.

유한-차원 경우에서, 선형 연산자는 다음 방법에서 행렬(matrices)에 의해 표현될 수 있습니다. $K$ 를 필드로 놓고, $U$ 와 $V$ 를 $K$ 에 걸쳐 유한-차원 벡터 공간으로 놓습니다. 우리가 $U$ 에서 기저 $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ 를 선택하고 $V$ 에서 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ 를 선택한다고 놓습니다. 그런-다음 $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ 를 $U$ 에서 임의적인 벡터로 놓고 (아인슈타인 관례(Einstein convention)를 가정), $A:U\to V$ 를 선형 연산자로 놓습니다. 그런-다음 다음입니다: $A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.$

그런-다음 $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ 는 고정된 기저에서 연산자 $A$ 의 행렬입니다. $a_{i}^{j}$ 는 $x$ 의 선택에 의존하지 않고, $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$ 이면 $A\mathbf {x} =\mathbf {y}$ 입니다. 따라서 고정된 기저에서 n-×-m 행렬은 $U$ 에서 $V$ 로의 선형 연산자에 전단사 대응에 있습니다.

유한-차원 벡터 공간 사이의 연산자와 직접적으로 관련된 중요한 개념은 랭크(rank), 행렬식(determinant), 역 연산자(inverse operator), 및 고유공간(eigenspace)의 개념입니다.

선형 연산자는 역시 무한-차원 경우에서 큰 역할을 합니다. 랭크와 행렬식의 개념은 무한-차원 행렬로 확장될 수 없습니다. 이것이 무한-차원 경우에서 선형 연산자 (및 일반적으로 연산자)를 연구할 때 매우 다른 기술이 사용되는 이유입니다. 무한-차원 경우에서 선형 연산자의 연구는 함수형 해석학(functional analysis)으로 알려져 있습니다 (다양한 종류의 함수가 무한-차원 벡터 공간의 흥미로운 예제를 형성하기 때문에 그렇게 불립니다).

실수의 수열(sequence)의 공간, 또는 더 일반적으로 임의의 벡터 공간에서 벡터의 수열은 자체적으로 무한-차원 벡터 공간을 형성합니다. 가장 중요한 경우는 실수 또는 복소수의 수열이고, 선형 부분공간과 함께 이들 공간은 수열 공간(sequence space)으로 알려져 있습니다. 이들 공간의 연산자는 수열 변환(sequence transformation)으로 알려져 있습니다.

바나흐 공간(Banach space)에 걸쳐 경계진 선형 연산자는 표준 연산자 노름에 관한 바나흐 대수(Banach algebra)를 형성합니다. 바나흐 대수의 이론은 고유공간의 이론을 우아하게 일반화하는 매우 일반적인 스펙트럼(spectra)의 개념을 개발합니다.

Bounded operators

U와 V를 같은 순서화된 필드 (예를 들어, $\mathbb {R}$ )에 걸쳐 두 벡터 공간으로 놓고, 그것들은 노름(norm)을 갖췄다고 놓습니다. 그런-다음 U에서 V로의 선형 연산자는 U에서 모든 x에 대해 다음을 만족하는 C > 0가 존재하면 경계진 것이라고 불립니다: $\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}$

경계진 연산자는 벡터 공간을 형성합니다. 이 벡터 공간 위에 우리는 U와 V의 노름과 호환되는 노름을 도입할 수 있습니다: $\|A\|=\inf\{C:\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}\}.$

U에서 자체로의 연산자의 경우에서 다음임을 보일 수 있습니다: $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|.$

이 속성을 갖는 임의의 단위 노름된 대수(normed algebra)는 바나흐 대수(Banach algebra)라고 불립니다. 스펙트럼 이론(spectral theory)을 그러한 대수으로 일반화하는 것이 가능합니다. 일부 추가적인 구조를 갖는 바나흐 대수(Banach algebras)인 C*-대수(C*-algebra)는 양자 역학(quantum mechanics)에서 중요한 역할을 합니다.

Examples

Geometry

기하학(geometry)에서, 벡터 공간(vector space) 위에 추가 구조가 때때로 연구됩니다. 그러한 벡터 공간을 자체로 전단적으로 매핑하는 연산자는 이들 연구에서 매우 유용하며, 그것들은 자연스럽게 합성에 의해 그룹(group)을 형성합니다.

예를 들어, 벡터 공간의 구조를 보존하는 전단사 연산자는 정확하게 역-가능(invertible) 선형 연산자(linear operator)입니다. 그것들은 합성 아래에서 일반 선형 그룹(general linear group)을 형성합니다. 그것들은 연산자의 추가 아래에서 벡터 공간을 형성하지 않습니다. 예를 들어 id와 −id 둘 다는 역-가능 (전단사)이지만, 그것들의 합, 0은 그렇지 않습니다.

그러한 공간 위에 유클리드 메트릭을 보존하는 연산자는 등거리-변환 그룹(isometry group)을 형성하고, 원점을 고정하는 연산자는 직교 그룹(orthogonal group)으로 알려진 부분그룹을 형성합니다. 벡터 튜플의 방향도 보존하는 직교 그룹에서 연산자는 특수 직교 그룹(special orthogonal group), 또는 회전의 그룹을 형성합니다.

Probability theory

연산자는 역시 기대(expectation), 분산(variance), 및 공분산(covariance)과 같은 확률 이론에서 관련되어 있습니다. 실제로, 모든 각 공분산은 기본적으로 점 곱입니다; 모든 각 분산은 벡터와 자체의 점 곱이고, 따라서 이차 노름입니다; 모든 각 표준 편차는 노름 (이차 노름의 제곱근)입니다; 이 점 곱에 해당하는 코사인은 피어슨 상관 계수(Pearson correlation coefficient)입니다; 기댓값은 기본적으로 적분 연산자입니다 (공간에서 가중된 모양을 측정하기 위해 사용됨).

Calculus

함수형 해석학(functional analysis)의 관점에서, 미적분학(calculus)은 두 선형 연산자: 미분 연산자(differential operator) ${\frac {d}{dt}}$ 와 볼테라 연산자(Volterra operator) $\int _{0}^{t}$ 의 연구입니다.

Fourier series and Fourier transform

푸리에 변환은 응용 수학, 특히 물리학과 신호 처리에 유용합니다. 그것은 또 다른 적분 연산자입니다; 그것은 주로 한 (시간) 도메인 위의 함수를 또 다른 (주파수) 도메인 위의 함수로 효과적인 역-가능(invertible) 방법에서 변환하기 때문에 유용합니다. 역변환 연산자가 있으므로, 정보가 손실되지 않습니다. 주기 함수(periodic function)의 간단한 경우에서, 이 결과는 임의의 연속 주기 함수가 일련의 사인 파동(sine wave)과 코사인 파동의 합으로 표시될 수 있다는 정리를 기반으로 합니다: $f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}$

튜플 (a₀, a₁, b₁, a₂, b₂, …)은 실제로 무한-차원 벡터 공간 ℓ²의 원소이고, 따라서 푸리에 급수는 선형 연산자입니다.

일반적인 함수 R → C를 다룰 때, 변환은 다음 적분(integral) 형식을 취합니다: $f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.$

Laplace transform

라플라스 변환은 또 다른 적분 연산자이고 미분 방정식을 푸는 과정을 단순화하는 데 관련됩니다.

f = f(s)가 주어지면, 그것은 다음에 의해 정의됩니다: $F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Fundamental operators on scalar and vector fields

세 가지 연산자는 벡터 미적분학(vector calculus)의 핵심입니다:

Grad (그래디언트(gradient)), (연산자 기호 $\nabla$ )는 스칼라 필드에서 모든 각 점에서 해당 필드의 가장 큰 변화율 방향을 가리키고 그것의 노름이 가장 큰 변화율의 절댓값을 측정하는 벡터를 할당합니다.
Div (다이버전스(divergence)), (연산자 기호 $\nabla \cdot$ )는 주어진 점에서 벡터 필드의 발산 또는 수렴을 측정하는 벡터 연산자입니다.
컬(Curl), (연산자 기호 $\nabla \times$ )는 주어진 점에 대한 벡터 필드의 컬링 (둘러싸기, 회전) 추세를 측정하는 벡터 연산자입니다.

물리학, 공학, 및 텐서 공간에 대한 벡터 미적분 연산자의 확장으로, grad, div 및 curl 연산자는 종종 벡터 미적분뿐만 아니라 텐서 미적분(tensor calculus)과도 결합됩니다.^[1]

References

^ H.M. Schey (2005). Div Grad Curl and All that. New York: W W Norton. ISBN 0-393-92516-1.

[Vector_and_Tensor_Operators-1] H.M. Schey (2005). Div Grad Curl and All that. New York: W W Norton. ISBN 0-393-92516-1.

[1]