Differentiation of integrals

Original article: w:Differentiation of integrals

수학(mathematics)에서, 적분의 미분화(differentiation of integrals)의 문제는 어떤 상황 아래에서 점의 작은 이웃(neighbourhood)에 대한 적절한 함수(function)의 평균 값(mean value) 적분(integral)이 해당 점에서 함수의 값에 근접하는지 결정하는 문제입니다. 보다 공식적으로, 측정(measure) μ와 메트릭(metric) d를 갖는 공간 X가 주어지면, 우리는 모든 (또는 적어도 μ-거의 모든) x ∈ X에 대해 다음을 수행하는 함수 f : X → R에 대해 묻습니다:

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)$.

(여기서, 기사의 나머지 부분에서와 같이, B_r(x)은 d-반지름(radius) r과 중심 x를 갖는 X에서 열린 공(open ball)을 나타냅니다.) 이것은 특히 리만 적분(Riemann integral)의 발견적 구성의 관점에서 자연스럽게 묻는 질문이며, 이것에서 f(x)는 x 근처의 f의 값에 대해 "좋은 대표"라는 것이 거의 암시적입니다.

Theorems on the differentiation of integrals

Lebesgue measure

적분의 미분에 대한 한 가지 결과는 1910년에 앙리 르베그(Henri Lebesgue)의해 입증된 것처럼 르베그 미분 정리(Lebesgue differentiation theorem)입니다. n-차원 유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ에 대한 n-차원 르베그 측정(Lebesgue measure) λⁿ을 생각해 보십시오. 그런-다음, 임의의 지역적으로 적분-가능 함수(locally integrable function) f : Rⁿ → R에 대해, 우리는 λⁿ-거의 모든 점 x ∈ Rⁿ에 대해 다음을 가집니다:

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y)=f(x)$.

어쨌든, "나쁜" 점의 측정 영 집합은 함수 f에 따라 달라진다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.

Borel measures on Rⁿ

르베그 측정에 대한 결과는 베스코비치 덮는 정리(Besicovitch covering theorem)를 기반으로 하는 다음 결과의 특별한 경우로 밝혀졌습니다: 만약 μ가 Rⁿ에 대한 임의의 지역적으로 유한(locally finite) 보렐 측정(Borel measure)이고 f : Rⁿ → R이 μ에 관한 국소 적분-가능이면, μ-거의 모든 점 x ∈ Rⁿ에 대해 다음입니다:

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)$.

Gaussian measures

적분의 미분화의 문제는 무한-차원 설정에서 훨씬 더 어렵습니다. 가우스 측정(Gaussian measure) γ를 갖춘 분리-가능(separable) 힐베르트 공간(Hilbert space) (H, ⟨ , ⟩)을 생각해 보십시오. 비탈리 덮는 정리(Vitali covering theorem)에 대한 기사에서 언급했듯이, 비탈리 덮는 정리는 무한-차원 힐베르트 공간에 대한 가우스 측정에 실패합니다. David Preiss (1981년과 1983년)의 두 결과는 우리가 이 설정에서 직면하기를 기대할 수 있는 종류의 어려움을 보여줍니다:

• γ-거의 모든 x ∈ H에 대해 다음이 되도록 분리-가능 힐베르트 공간 H와 보렐 집합 M ⊆ H에 가우스 측정 γ가 있습니다:

$$\lim _{r\to 0}{\frac {\gamma {\big (}M\cap B_{r}(x){\big )}}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}=1.$$

• 다음을 만족하는 분리-가능 힐베르트 공간 H와 함수 f ∈ L¹(H, γ; R)에 대한 가우스 측정 γ가 있습니다:

$$\lim _{r\to 0}\inf \left\{\left.{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{s}(x){\big )}}}\int _{B_{s}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)\right|x\in H,0<s<r\right\}=+\infty .$$

어쨌든, 만약 우리가 γ의 공분산(covariance)을 잘 제어할 수 있으면 약간의 희망이 있습니다. γ의 공분산 연산자를 다음에 의해 제공된 S : H → H로 놓습니다:

$\langle Sx,y\rangle =\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \gamma (z),$

또는, H의 일부 셀-수-있는(countable) 직교-정규 기저(orthonormal basis) (e_i)_i∈N에 대해,

$Sx=\sum _{i\in \mathbf {N} }\sigma _{i}^{2}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.$

1981년에, Preiss와 Jaroslav Tišer는 다음을 만족하는 상수 0 < q < 1가 존재하면

$\sigma _{i+1}^{2}\leq q\sigma _{i}^{2},$

모든 f ∈ L¹(H, γ; R)에 대해, 다음임을 보였습니다:

${\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{\gamma }}f(x),$

여기서 수렴은 γ에 관한 측정에서 수렴(convergence in measure)입니다. 1988년에, Tišer는 만약 일부 α > 5 ⁄ 2에 대해 다음이면,

$\sigma _{i+1}^{2}\leq {\frac {\sigma _{i}^{2}}{i^{\alpha }}}$

γ-거의 모든 x와 모든 f ∈ L^p(H, γ; R), p > 1에 대해, 다음임을 보였습니다:

${\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{}}f(x)$.

2007년 당시, 모든 f ∈ L¹(H, γ; R)에 대해, γ-거의 모든 x ∈ H에 대해 다음이 되도록 분리-가능 힐베르트 공간 H에 무한-차원 가우스 측정 γ가 존재하는지 여부는 여전히 열린 문제였습니다:

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)=f(x)$.

어쨌든, σ_i가 매우 빠르게 감소해야 하기 때문에, 그러한 측정이 존재하지 않는 것으로 추측됩니다.

See also

• Differentiation under the integral sign

References

• Preiss, David; Tišer, Jaroslav (1982). "Differentiation of measures on Hilbert spaces". Measure theory, Oberwolfach 1981 (Oberwolfach, 1981). Lecture Notes in Mathematics. Vol. 945. Berlin: Springer. pp. 194–207. doi:10.1007/BFb0096675. MR 0675283.
• Tišer, Jaroslav (1988). "Differentiation theorem for Gaussian measures on Hilbert space" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 308 (2): 655–666. doi:10.2307/2001096. JSTOR 2001096. MR 0951621.