Measure (mathematics)

Original article: w:Measure (mathematics)

For the coalgebraic concept, see Measuring coalgebra.

Not to be confused with Metric (mathematics).

Informally, a measure has the property of being monotone in the sense that if $A$ is a subset of $B,$ the measure of $A$ is less than or equal to the measure of $B.$ Furthermore, the measure of the empty set is required to be 0.

수학(mathematics)에서, 측정(measure)의 개념은 기하학적 측정(geometrical measures) (길이(length), 넓이(area), 부피(volume))과 사건의 질량(mass)과 확률(probability)과 같은 다른 일반적인 개념의 일반화와 공식화입니다. 이들 겉보기에 구별되는 개념은 많은 유사성을 가지고 종종 단일 수학적 맥락에서 함께 취급될 수 있습니다. 측정은 확률 이론(probability theory), 적분 이론(integration theory)의 토대이고, 전하(electrical charge)와 같이 음수 값(negative values)을 가정하도록 일반화될 수 있습니다. 측정의 광범위한 일반화 (예를 들어 스펙트럼 측정(spectral measures)과 투영-값 측정(projection-valued measures))는 일반적으로 양자 물리학(quantum physics)과 물리학에서 널리 사용됩니다.

이 개념 뒤에 있는 직관은 아르키메데스(Archimedes)가 원의 넓이를 계산하려고 시도했을 때 고대 그리스로 거슬러 올라갑니다. 그러나 측정 이론이 수학의 한 가지가 된 것은 19세기 말과 20세기 초에 이르러서였습니다. 현대 측정 이론의 토대는 다른 것 중에서 에밀 보렐(Émile Borel), 앙리 르베그(Henri Lebesgue), 니콜라이 루진(Nikolai Luzin), 요한 라돈(Johann Radon), 콘스탄티노스 카라테오도리(Constantin Carathéodory), 및 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)의 연구에 있습니다.

Definition

Countable additivity of a measure $\mu$: The measure of a countable disjoint union is the same as the sum of all measures of each subset.

$X$를 집합으로 놓고 $\Sigma$를 $X$에 걸쳐 $\sigma$-대수로 놓습니다. $\Sigma$에서 확장된 실수 직선(extended real number line)으로의 집합 함수(set function) $\mu$는 만약 그것이 다음 속성을 만족시키면 측정(measure)이라고 불립니다:

• 비-음수성(Non-negativity): $\Sigma$에서 모든 $E$에 대해, $\mu (E)\geq 0$를 가집니다.
• 널 빈 집합(Null empty set): $\mu (\varnothing )=0.$
• 셀-수-있는 덧셈성(Countable additivity) (또는 $\sigma$-덧셈성): $\Sigma$에서 쌍별 서로소 집합(disjoint sets)의 모든 셀-수-있는(countable) 모음 $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$에 대해,$$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

만약 적어도 하나의 집합 $E$가 유한 측정을 가지면, $\mu (\varnothing )=0$이라는 요구 사항은 자동적으로 충족됩니다. 실제로, 셀-수-있는 덧셈성에 의해, $$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$ 그리고 따라서 $\mu (\varnothing )=0.$

만약 비-음수성의 조건은 생략되지만 이들 조건의 두 번째와 세 번째가 충족되고, $\mu$는 $\pm \infty$ 값 중 많아야 하나를 취하면, $\mu$는 부호화된 측정(signed measure)이라고 불립니다.

쌍 $(X,\Sigma )$은 측정-가능 공간(measurable space)이라고 불리고, $\Sigma$의 구성원은 측정-가능 집합(measurable sets)이라고 불립니다.

세-쌍 $(X,\Sigma ,\mu )$는 측정 공간(measure space)이라고 불립니다. 확률 측청(probability measure)은 전체 측정 일 – 즉, $\mu (X)=1$을 갖는 측정입니다. 확률 공간(probability space)은 확률 측정을 갖는 측정 공간입니다.

토폴로지적 공간(topological spaces)이기도 한 측정 공간에 대해, 다양한 호환성 조건이 측정과 토폴로지에 대해 배치될 수 있습니다. 실제로 해석학(analysis)에서 (및 많은 경우에서 역시 확률 이론(probability theory)에서도) 충족되는 대부분의 측정은 라돈 측정(Radon measures)입니다. 라돈 측정은 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 연속 함수(continuous functions)의 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간(locally convex topological vector space)에 대한 선형 함수형의 관점에서 대안적인 정의를 가집니다. 이 접근 방식은 부르바키(Bourbaki) (2004)와 다른 여러 출처에 의해 채택되었습니다. 자세한 내용에 대해, 라돈 측정(Radon measures)에 대한 기사를 참조하십시오.

Instances

Main category: Measures (measure theory)

여기에는 몇 가지 중요한 측정이 나열되어 있습니다.

• 세는-것 측정(counting measure)은 $\mu (S)$ = $S$에서 원소의 개수에 의해 정의됩니다.
• $\mathbb {R}$ 위에 르베그 측정(Lebesgue measure)은 $\mu ([0,1])=1$를 만족하는 $\mathbb {R}$에서 구간(intervals)을 포함하는 σ-대수 위에 완비(complete) 평행이동-불변(translation-invariant) 측정입니다; 이들 속성을 갖는 모든 각 다른 측정은 르베그 측정을 확장합니다.
• 원형 각도(angle) 측정은 회전(rotation) 아래에 불변이고, 쌍곡형 각도(hyperbolic angle) 측정은 조임 매핑(squeeze mapping) 아래에서 불변입니다.
• 지역적으로 컴팩트(locally compact) 토폴로지적 그룹(topological group)에 대해 하르 측정(Haar measure)은 르베그 측정 (및 역시 세는-것 측정과 원형 각도 측정)의 일반화이고 유사한 고유성 속성을 가집니다.
• 하우스도르프 측정(Hausdorff measure)은 비-정수 차원을 갖는 집합, 특히, 프랙탈 집합으로 르베그 측정의 일반화입니다.
• 모든 각 확률 공간(probability space)은 전체 공간 위에 값 1을 취하는 측정을 발생합니다 (및 따라서 단위 구간(unit interval) [0, 1]에서 모든 값을 취합니다). 그러한 측정은 확률 측정(probability measure)이라고 불립니다. 역시 확률 공리(probability axioms)를 참조하십시오.
• 디랙 측정(Dirac measure) δ_a (cf. 디랙 델타 함수(Dirac delta function))은 δ_a(S) = χ_S(a)에 의해 제공되며, 여기서 χ_S는 $S$의 지시 함수(indicator function)입니다. 집합의 측정은 그것이 점 $a$를 포함하면 1이고 그렇지 않으면 0입니다.

다양한 이론에서 사용되는 다른 '이름-붙은' 측정은 다음을 포함합니다: 보렐 측정(Borel measure), 조르당 측정(Jordan measure), 에르고딕 측정(ergodic measure), 가우스 측정(Gaussian measure), 베르 측정(Baire measure), 라돈 측정(Radon measure), 영 측정(Young measure), 및 로엡 측정(Loeb measure).

물리학에서 측정의 예는 질량의 공간 분포 (예를 들어, 중력 퍼텐셜(gravity potential) 참조), 또는 보존(conserved)되거나 보존되지 않은 다른 비-음의 광범위한 속성(extensive property)입니다 (이들 목록에 대해 보존 법칙(conservation law)을 참조하십시오). 음수 값은 부호화된 측정으로 이어지며, 아래의 "일반화"를 참조하십시오.

• 리우빌 측정(Liouville measure)은, 단순 매니폴드 위에 자연 부피의 형식으로도 알려져 있으며, 고전 통계학과 해밀턴 역학에서 유용합니다.
• 깁스 측정(Gibbs measure)은 종종 정식의 앙상블(canonical ensemble)이라는 이름 아래에서, 통계 역학에서 널리 사용됩니다.

Basic properties

$\mu$를 하나의 측정이라고 놓습니다.

Monotonicity

만약 $E_{1}$과 $E_{2}$가 $E_{1}\subseteq E_{2}$를 갖는 측정-가능 집합이면, $$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).$$

Measure of countable unions and intersections

Subadditivity

$\Sigma$에서 측정-가능 집합 $E_{n}$ (반드시 서로소일 필요는 없음)의 임의의 셀-수-있는(countable) 수열(sequence) $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$에 대해: $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$$

Continuity from below

만약 $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$가 ($E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots$라는 의미에서) 증가하는 것인 측정-가능 집합이면, 집합 $E_{n}$의 합집합(union)은 측정-가능이고 다음입니다: $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

Continuity from above

만약 $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$가 ($E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots$라는 의미에서) 감소하는 것인 측정-가능 집합이면, 집합 $E_{n}$의 교집합(intersection)은 측정-가능입니다; 게다가, 만약 $E_{n}$의 적어도 하나가 유한 측정을 가지면 $$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

이 속성은 $E_{n}$의 적어도 하나가 유한 측정을 가진다는 가정 없이 거짓입니다. 예를 들어, 각 $n\in \mathbb {N}$에 대해, $E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}$라고 놓으면, 모두는 무한 르베그 측정을 가지지만, 교집합은 빈 집합입니다.

Other properties

Completeness

Main article: Complete measure

측정-가능 집합 $X$는 $\mu (X)=0$이면 널 집합(null set)입니다. 널 집합의 부분-집합은 무시-가능 집합(negligible set)이라고 불립니다. 무시-가능 집합이 측정-가능일 필요는 없지만, 모든 각 측정-가능 무시-가능 집합은 자동적으로 널 집합입니다. 측정이 만약 모든 각 무시-가능 집합이 측정-가능이면 완비(complete)라고 불립니다.

측정은 측정-가능 집합 $X$와 무시-가능 집합만큼 다른 부분-집합 $Y$의 σ-대수, 즉, $X$와 $Y$의 대칭 차이(symmetric difference)가 널 집합에 포함됨을 만족함을 고려함으로써 완비 측정으로 확장될 수 있습니다. 우리는 $\mu (Y)$를 $\mu (X)$와 같게 정의합니다.

μ{x : f(x) ≥ t} = μ{x : f(x) > t} (a.e.)

만약 $f:X\to [0,+\infty ]$가 $(\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))$-측정가능이면, 거의 모든(almost all) $t\in X$에 대해, $$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$$ 이 속성은 르베그 측정(Lebesgue integral)과 연결에서 사용됩니다.

Proof

$F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$와 $G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}$ 둘 다는 $t$의 단조적으로 비-증가하는 함수이므로, 그것들 둘 다는 많아야 셀-수-있게 많은 불연속을 가지고 따라서 그것들은 르베그 측정에 상대적으로 거의 모든 곳에서 연속입니다. 만약 $t<0$이면 희망했던 것처럼 $F(t)=G(t)$가 되도록 $\{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\}$입니다.

만약 $t$가 $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$를 만족하면 단조성(monotonicity)은 원했던 것처럼 $F(t)=G(t)$가 되도록 $$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty$$임을 의미합니다. 만약 모든 $t$에 대해 $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$이면 끝난 것이므로, 그렇지 않다고 가정합니다. 그런-다음 $F$가 $t$의 왼쪽에서 무한 (오직 $t_{0}\geq 0$일 때 발생할 수 있음)이고 오른쪽에서 유한임을 만족하는 고유한 $t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )$가 있습니다. 위와 같이 주장하여, $t<t_{0}$일 때 $\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty$입니다. 유사하게, 만약 $t_{0}\geq 0$이고 $F\left(t_{0}\right)=+\infty$이면 $F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right)$입니다.

$t>t_{0}$에 대해, $t_{n}$를 $t$에 수렴하는 단조적으로 비-감소하는 수열로 놓습니다. $\Sigma$의 구성원의 단조적으로 비-증가하는 수열 $\{x\in X:f(x)>t_{n}\}$은 적어도 하나의 유한하게 $\mu$-측정가능 구성 요소를 가지고, $$\{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}$$입니다. 위로부터 연속성은 $$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}$$임을 보장합니다. 오른쪽 변 $\lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)$은 그때에 $t$가 $F$의 연속성의 한 점이면 $F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$와 같습니다. $F$가 거의 모든 곳에서 연속이기 때문에, 이것이 증명을 완료합니다.

Additivity

측정은 셀-수-있게 덧셈임을 요구합니다. 어쨌든, 그 조건은 다음과 같이 강화될 수 있습니다. 임의의 집합 $I$와 임의의 비-음수 집합에 대해 $r_{i},i\in I$에 대해 다음과 같이 정의합니다: $$\sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\aleph _{0},J\subseteq I\right\rbrace .$$ 즉, 우리는 $r_{i}$의 합을 그것들의 유한하게 많은 모든 합의 상한이라고 정의합니다.

$\Sigma$ 위에 측정 $\mu$는 임의의 $\lambda <\kappa$와 임의의 서로소 집합 $X_{\alpha },\alpha <\lambda$ 가족에 대해 다음을 유지하면 $\kappa$-덧셈입니다:$$\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma$$ $$\mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).$$ 두 번째 조건은 널 집합의 아이디얼(ideal)이 $\kappa$-완비라는 명제와 동등함을 주목하십시오.

Sigma-finite measures

Main article: Sigma-finite measure

측정-가능 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$은 $\mu (X)$가 유한 실수이면 유한입니다 ($\infty$가 아닙니다). 비-영 유한 측정은 임의의 유한 측정 $\mu$가 확률 측정 ${\frac {1}{\mu (X)}}\mu$와 유사하다는 의미에서 확률 측정(probability measures)과 유사합니다. 측정 $\mu$는 $X$가 측정-가능한 유한 측정의 집합의 셀-수-있는 합집합으로 분해될 수 있으면 σ-유한(σ-finite)이라고 불립니다. 유사하게, 측정 공간에서 집합은 그것이 유한 측정 내의 집합의 셀-수-있는 합집합이면 σ-유한 측정(σ-finite measure)을 가진다고 말합니다.

예를 들어, 표준 르베그 측정(Lebesgue measure)을 갖는 실수(real numbers)는 σ-유한이지만 유한하지 않습니다. 모든 정수(integers) $k$에 대해 닫힌 구간(closed intervals) $[k,k+1]$을 생각해 보십시오; 셀-수-있게 많은 그러한 구간이 있으며, 각각은 측정 1을 가지고, 그것들의 합집합은 전체 실수 직선입니다. 대안적으로, 각 유한 실수 집합에 그 집합에서 점의 개수를 할당하는 셈 측정(counting measure)을 갖는 실수를 생각해 보십니다. 이 측정 공간은 σ-유한은 아닌데, 왜냐하면 유한 측정을 갖는 모든 각 집합이 유한하게 많은 점만 포함하고, 그것이 전체 실수 직선을 덮기 위한 셀-수-없게 많은 그러한 집합이 필요하기 때문입니다. σ-유한 측정 공간은 몇 가지 매우 편리한 속성을 가집니다; σ-유한성은 토폴로지적 공간의 린델뢰프 속성(Lindelöf property)과 관련하여 비교될 수 있습니다. 그것들은 역시 측정 공간이 '셀-수-없는 측정'을 가질 수 있다는 아이디어의 모호한 일반화로 생각될 수 있습니다.

Strictly localizable measures

Main article: Decomposable measure

Semifinite measures

$X$를 집합으로 놓고, ${\cal {A}}$를 $X$ 위에 시그마-대수로 놓고, $\mu$를 ${\cal {A}}$ 위에 측정으로 놓습니다. 우리는 모든 $A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \}$에 대해, $A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \}$임을 의미하기 위한 반-유한(semifinite)이라고 말합니다.

반-유한 측정은 시그마-유한 측정을 임의적인 측정은 아니지만 시그마-유한을 유지하는 측정 이론의 일부 큰 정리가 반-유한 측정을 유지하기 위해 약간의 수정으로 확장될 수 있다는 그러한 방법에서 일반화합니다.

Basic examples

• 모든 각 시그마-유한 측정은 반-유한입니다.
• ${\cal {A}}={\cal {P}}(X)$을 가정하고, $f:X\to [0,+\infty ]$라고 놓고 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)$임을 가정합니다.
  • $\mu$가 시그마-유한인 것과 모든 $x\in X$에 대해 $f(x)<+\infty$이고 $f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})$가 셀-수-있는 것은 필요충분 조건임을 가집니다. $\mu$가 반-유한인 것과 모든 $x\in X$에 대해 $f(x)<+\infty$인 것은 필요충분 조건임을 가집니다.
  • ($\mu$가 ${\cal {P}}(X)$ 위에 셈 측정이 되도록) 위의 $f=X\times \{1\}$를 취하면, ${\cal {P}}(X)$ 위에 셈 측정이 다음임을 알고 있습니다:
    • 시그마-유한인 것과 $X$가 셀-수-있는 것은 필요충분 조건입니다; 그리고
    • 반-유한입니다 ($X$가 셀-수-있는 것인지 여부와 상관 없습니다). (따라서, 셈 측정은, 임의적인 셀-수-없는 집합 $X$의 거듭제곱 집합 ${\cal {P}}(X)$ 위에, 시그마-유한이 아닌 반-유한 측정의 예제를 제공합니다.)
• $d$를 $X$ 위에 완비, 분리-가능 메트릭으로 놓고, ${\cal {B}}$를 $d$에 의해 유도된 보렐 시그마-대수라고 놓고, $s\in \mathbb {R} _{>0}$라고 놓습니다. 그런-다음 하우스도르프 측정(Hausdorff measure) ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$은 반-유한입니다.
• $d$를 $X$ 위에 완비, 분리-가능 메트릭으로 놓고, ${\cal {B}}$를 $d$에 의해 유도된 보렐 시그마-대수라고 놓고, $s\in \mathbb {R} _{>0}$라고 놓습니다. 그런-다음 패킹 측정(packing measure) ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$은 반-유한입니다.

Involved example

영 측정은 시그마-유한이고 따라서 반-유한입니다. 게다가, 영 측정은 $\mu$보다 분명하게 작거나 같습니다. 이들 두 속성을 갖는 가장 큰 측정이 있음을 보일 수 있습니다:

Theorem (semifinite part) — ${\cal {A}}$ 위에 임의의 측정 $\mu$에 대해, $\mu$보다 작거나 같은 ${\cal {A}}$ 위에 반-유한 측정 중에서 가장 큰 원소 $\mu _{\text{sf}}$가 존재합니다.

우리는 위의 정리에서 정의된 반-유한 측정 $\mu _{\text{sf}}$을 의미하기 위해 $\mu$의 반-유한 부분을 말합니다. 일부 저자는 반-유한 부분에 대해 정의로 취할 수 있는 멋지고, 명시적인 공식을 제공합니다:

• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$
• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.$
• $\mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.$

$\mu _{\text{sf}}$가 반-유한이기 때문에, $\mu =\mu _{\text{sf}}$이면 $\mu$가 반-유한임을 따릅니다. $\mu$가 반-유한이면 $\mu =\mu _{\text{sf}}$라는 것도 분명합니다.

Non-examples

영 측정이 아닌 모든 각 $0-\infty$ 측정(measure)은 반-유한이 아닙니다. (여기서, 우리는 그것이 치역이 $\{0,+\infty \}$ 안에 놓이는 측정을 의미하기 위해 $0-\infty$ 측정(measure)을 말합니다: $(\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).$) 아래에서는 영 측정이 아닌 $0-\infty$ 측정의 예를 제공합니다.

• $X$를 비-빈인 것, ${\cal {A}}$를 $X$ 위에 $\sigma$-대수, $f:X\to \{0,+\infty \}$를 영 함수가 아닌 것으로 놓고, $\mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}$라고 놓습니다. $\mu$는 측정임을 알 수 있습니다.
  • $\mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.$
    • $X=\{0\},$ ${\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},$ $\mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.$
• $X$를 셀-수-없는 것, ${\cal {A}}$를 $X$ 위에 $\sigma$-대수, ${\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}$를 ${\cal {A}}$의 셀-수-있는 원소라고 놓고, $\mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}$라고 놓습니다. $\mu$는 측정임을 알 수 있습니다.

Involved non-example

반-유한이 아닌 측정은 특정 집합으로 제한될 때 매우 거칩니다. 모든 각 측정은, 하나의 의미에서, 한번 그것의 $0-\infty$ 부분 (거친 부분)이 빼앗기면 반-유한입니다.

— A. Mukherjea and K. Pothoven, Real and Functional Analysis, Part A: Real Analysis (1985)

Theorem (Luther decomposition) — ${\cal {A}}$ 위에 임의의 측정 $\mu$에 대해, ${\cal {A}}$ 위에 일부 반-유한 측정 $\nu$에 대해 $\mu =\nu +\xi$임을 만족하는 ${\cal {A}}$ 위에 $0-\infty$ 측정 $\xi$가 존재합니다. 사실, 그러한 측정 $\xi$ 중에서, there exists a 최소 측정 $\mu _{0-\infty }$이 존재합니다. 역시, $\mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }$를 가집니다.

우리는 위의 정리에서 정의된 측정 $\mu _{0-\infty }$을 의미하기 위해 $\mu$의 $\mathbf {0-\infty }$ 부분을 말합니다. 다음은 $\mu _{0-\infty }$에 대해 명시적 공식입니다: $\mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$

Results regarding semifinite measures

• $\mathbb {F}$를 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$로 놓고 $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$라고 놓습니다. 그런-다음 $\mu$는 반-유한인 것과 $T$가 단사인 것은 필요충분 조건입니다. (이 결과는 $L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )$의 이중 공간(dual space)의 연구에서 중요합니다.)
• $\mathbb {F}$를 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$로 놓고, ${\cal {T}}$를 $L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu )$ 위의 측정에서 수렴의 토폴로지로 놓습니다. 그런-다음 $\mu$가 반-유한인 것과 ${\cal {T}}$가 하우스도르프인 것은 필요충분 조건입니다.
• (존슨) $X$를 집합, ${\cal {A}}$를 $X$ 위의 시그마-대수, $\mu$를 ${\cal {A}}$ 위의 측정, $Y$를 집합, ${\cal {B}}$를 $Y$ 위에 시그마-대수, $\nu$를 ${\cal {B}}$ 위에 측정으로 놓습니다. 만약 $\mu ,\nu$가 둘 다 $0-\infty$ 측정이 아니면, $\mu$와 $\nu$ 둘 다가 반-유한인 것과 모든 $A\in {\cal {A}}$와 $B\in {\cal {B}}$에 대해 $(\mu \times _{\text{cld}}\nu )$$(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$인 것은 필요충분 조건입니다. (여기서, $\mu \times _{\text{cld}}\nu$는 Berberian '65에서 정리 39.1에서 정의된 측정입니다.)

Localizable measures

지역화-가능한 측정은 반-유한 측정의 특수한 경우이고 시그마-유한 측정의 일반화입니다.

$X$를 집합, ${\cal {A}}$를 $X$ 위에 시그마-대수라고 놓고, $\mu$를 ${\cal {A}}$ 위에 측정이라고 놓습니다.

• $\mathbb {F}$를 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$라고 놓고, $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$라고 놓습니다. 그런-다음 $\mu$는 지역화-가능인 것과 $T$가 전단사인 것은 필요충분 조건입니다 ($L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )$가 $L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}$"인 것"과 필요충분 조건입니다).

s-finite measures

Main article: s-finite measure

하나의 측정이 만약 그것이 경계진 측정의 셀-수-있는 합이면 s-유한이라고 말합니다. S-유한 측정은 시그마-유한 측정보다 더 일반적이고 확률적 프로세스(stochastic processes)의 이론에서 응용을 가집니다.

Non-measurable sets

Main article: Non-measurable set

만약 선택 공리(axiom of choice)가 참이라고 가정되면, 유클리드 공간(Euclidean space)의 모든 부분-집합이 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable)인 것은 아님을 입증할 수 있습니다; 그러한 집합의 예제는 비탈리 집합(Vitali set), 및 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox)과 바나흐-타르스키 역설(Banach–Tarski paradox)에 의해 가정된 비-측정가능 집합을 포함합니다.

Generalizations

특정 목적을 위해, 비-음의 실수 또는 무한대로 제한되지 않는 "측정"을 갖는 것이 유용합니다. 예를 들어, (부호화된) 실수에서 값을 갖는 셀-수-있는 덧셈 집합 함수(set function)는 부호화된 측정(signed measure)이라고 불리지만, 복소수(complex numbers)에서 값을 갖는 그러한 함수는 복소수 측정(complex measure)이라고 불립니다. 어쨌든, 복소수 측정은 반드시 유한 변동이고, 따라서 복소수 측정은 유한 부호화된 측정(finite signed measures)을 포함하지만, 예를 들어, 르베그 측정(Lebesgue measure)을 포함하지 않습니다.

바나흐 공간(Banach spaces)에서 값을 취하는 측정은 광범위하게 연구되어 왔습니다. 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 자체-인접 투영의 집합에서 값을 취하는 측정은 투영-값 측정(projection-valued measure)이라고 불립니다; 이것들은 스펙트럼 정리(spectral theorem)에 대해 함수형 해석학(functional analysis)에 사용됩니다. 일반화에서 비-음의 값을 취하는 보통의 측정을 구별할 필요가 있을 때, 양의 측정(positive measure)이라는 용어가 사용됩니다. 양수 측정은 정뿔형 조합(conical combination) 아래에서 닫혀 있지만 일반 선형 조합(linear combination)이 아니지만, 부호화된 측정은 양수 측정의 선형 클로저입니다.

또 다른 일반화는 역시 컨텐츠(content)라고도 알려져 있는 유한하게 덧셈 측정(finitely additive measure)입니다. 이것은 셀-수-있는(countable) 덧셈성을 요구하는 대신 오직 유한(finite) 덧셈성을 요구한다는 점을 제외하고 측정과 같습니다. 역사적으로, 이 정의가 먼저 사용되었습니다. 일반적으로, 유한하게 덧셈 측정은 바나흐 극한(Banach limits), $L^{\infty }$의 이중과 스톤–체흐 컴팩트화(Stone–Čech compactification)와 같은 개념과 연결되어 있습니다. 모든 이것들은 어떤 방식으로든 선택 공리(axiom of choice)와 연결되어 있습니다. 컨텐츠는 기하학적 측정 이론(geometric measure theory)의 특정 기법 문제에 유용합니다; 이것이 바나흐 측정(Banach measures) 이론입니다.

전하(charge)는 양방향으로 일반화한 것입니다: 그것은 유한하게 덧셈의, 부호화된 측정입니다. (참고. 경계진 전하에 대한 정보에 대해 ba 공간(ba space) 참조, 여기서 전하가 치역을 R의 경계진 부분-집합을 의미하기 위해 경계진(bounded) 것이라고 말합니다.)

See also

• Abelian von Neumann algebra
• Almost everywhere
• Carathéodory's extension theorem
• Content (measure theory)
• Fubini's theorem
• Fatou's lemma
• Fuzzy measure theory
• Geometric measure theory
• Hausdorff measure
• Inner measure
• Lebesgue integration
• Lebesgue measure
• Lorentz space
• Lifting theory
• Measurable cardinal
• Measurable function
• Minkowski content
• Outer measure
• Product measure
• Pushforward measure
• Regular measure
• Vector measure
• Valuation (measure theory)
• Volume form

External links

• "Measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Tutorial: Measure Theory for Dummies