Dimension theorem for vector spaces

Original article: w:Dimension theorem for vector spaces

수학(mathematics)에서, 벡터 공간에 대해 차원 정리(dimension theorem for vector spaces)는 벡터 공간(vector space)의 모든 기저(bases)가 같게 많은 원소를 가진다고 말합니다. 이 원소의 숫자는 유한하거나 무한할 수 있고 (후자의 경우에서, 그것의 순서-숫자임), 벡터 공간의 차원(dimension)을 정의합니다.

형식적으로, 벡터 공간에 대해 차원 정리는 다음임을 말합니다:

벡터 공간 V가 주어지면, 임의의 두 기저는 같은 카디널리티를 가집니다.

기저가 선형적으로 독립(linearly independent)적인 생성하는 집합(generating set)이므로, 그 정리는 다음 정리의 결과이며, 이는 역시 유용합니다:

벡터 공간 V에서, 만약 G가 생성하는 집합이고, I가 선형적으로 독립 집합이면, I의 카디널리티는 G의 카디널리티보다 크지 않습니다.

특히, 만약 V가 유한하게 생성(finitely generated)되면, 모든 그것의 기저가 유한하고 같은 숫자의 원소를 가집니다.

일반적인 경우에서 임의의 벡터 공간에 대해 기저의 존재 증명은 조온의 보조-정리(Zorn's lemma)를 필요로 하고 사실상 선택의 공리와 동등하지만, 기저의 카디널리티의 고유성은 엄격하게 약한 것인 극단필터 보조정리(ultrafilter lemma)만 요구합니다 (아래에 주어진 증명은, 어쨌든, 삼분법, 즉, 모든 세는-숫자는 비교-가능이며, 역시 선택의 공리와도 동등한 명제를 가정합니다). 정리는 불변 기저 숫자(invariant basis number)를 가지는 링 R에 대해 임의적인 R-모듈(R-modules)로 일반화될 수 있습니다.

유한하게 생성된 경우에서, 증명은 대수(algebra)의 기본 논증만 사용하고, 선택 공리를 요구하지 않고 그것의 약한 변형도 요구하지 않습니다.

Proof

V를 벡터 공간, {a_i: i ∈ I}를 V의 원소의 선형적으로 독립(linearly independent) 집합으로 놓고, {b_j: j ∈ J}를 생성하는 집합(generating set)으로 놓습니다. 우리는 I의 카디널리티가 J의 카디널리티(cardinality)보다 크지 않음을 입증해야 합니다.

만약 J가 유한하면, 슈타이니츠 교환 보조정리(Steinitz exchange lemma)로부터 결과입니다. (실제로, 슈타이니츠 교환 보조정리(Steinitz exchange lemma)는 I의 모든 각 유한 부분-집합이 J의 것보다 크지 않은 카디널리티를 가지고 있으며, 따라서 I는 J의 것보다 크지 않은 카디널리티를 갖는 유한함을 의미합니다.) 만약 J가 유한하면, 행렬 이론에 기반한 증명도 가능합니다.

J가 무한하다고 가정합니다. 만약 I가 유한이면, 증명할 것이 없습니다. 따라서, 우리는 I도 무한하다고 가정할 수 있습니다. I의 카디널리티가 J의 카디널리티보다 크다고 가정해 봅시다. 우리는 이것이 모순으로 이어진다는 것을 입증해야 합니다.

조온의 보조-정리(Zorn's lemma)에 의해, 모든 각 선형적으로 독립 집합은 최대 선형적으로 독립 집합 K에 포함됩니다. 이 최대성은 K가 V를 스팬하고 따라서 기저가 됨을 의미합니다 (최대성은 V의 모든 각 원소가 K의 원소에 선형적으로 종속되고, 따라서 K의 원소의 선형 조합임을 의미합니다) 요소의 선형 조합입니다. K의 카디널리티가 I의 카디널리티보다 크거나 같기 때문에, 우리는 {a_i: i ∈ I}를 K로 대체할 수 있으며, 즉, 일반성의 손실 없이, {a_i: i ∈ I}가 기저가 됨을 가정할 수 있습니다.

따라서, 모든 각 b_j는 다음 유한 합으로 쓸 수 있습니다: $$b_{j}=\sum _{i\in E_{j}}\lambda _{i,j}a_{i},$$ 여기서 $E_{j}$는 $I$의 유한 부분-집합입니다. J가 무한이기 때문에, ${\textstyle \bigcup _{j\in J}E_{j}}$는 J와 같은 카디널리티를 가집니다. 그러므로 ${\textstyle \bigcup _{j\in J}E_{j}}$는 I의 카디널리티보다 작은 카디널리티를 가집니다. 따라서 어떤 $E_{j}$에도 나타나지 않는 일부 $i_{0}\in I$가 있습니다. 대응하는 $a_{i_{0}}$는 $b_{j}$들의 유한 선형 조합으로 표현될 수 있으며, 이는 차례로 $a_{i_{0}}$를 포함하지 않는 $a_{i}$들의 유한 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. 그러므로 $a_{i_{0}}$는 원하는 모순을 제공하는 다른 $a_{i}$들에 선형적으로 종속입니다.

Kernel extension theorem for vector spaces

이러한 차원 정리의 응용은 때때로 그 자체를 차원 정리라고 불립니다. 다음을 선형 변환(linear transformation)이라고 놓습니다:

T: U → V

그런-다음

dim(range(T)) + dim(ker(T)) = dim(U),

즉, U의 차원은 변환의 치역(range)의 차원에 커널(kernel)의 차원을 더한 것과 같습니다. 더 자세한 논의에 대해 랭크-널러티 정리(rank–nullity theorem)를 참조하십시오.