Distance between two straight lines

평면(plane)에서 두 직선(straight lines) 사이의 거리(distance)는 직선 위에 놓인 두 점 사이의 최소 거리입니다. 교차하는 직선의 경우에서, 그들 사이의 거리는 0이며, 반면에 두 평행(parallel) 직선의 경우에서, 거리는 한 직선 위의 임의의 점(point)으로부터 나머지 직선까지 수직(perpendicular) 거리입니다.

Formula and proof

직선이 평행이기 때문에, 그들 사이의 수직 거리는 상수이므로, 거리를 측정하기 위해 선택된 점은 문제가 되지 않습니다. 다음으로 두 비-수직 평행 직선이 주어지면:

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

두 직선 사이의 거리는 다음 수직 직선과 이들 직선의 두 교차 점 사이의 거리입니다:

y=-x/m\,.

이 거리는 교차 점의 좌표를 얻기 위해 다음 선형 시스템을 먼저 해결함으로써 찾아질 수 있습니다:

{\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}

및

{\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,\end{cases}}

.

선형 시스템에 대한 해는 다음 점들입니다:

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,

및

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.

점 사이의 거리는 다음입니다:

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,

이것은 다음으로 줄어듭니다:

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.

직선이 다음으로 주어질 때:

ax+by+c_{1}=0\,

ax+by+c_{2}=0,\,

그들 사이의 거리는 다음으로 표현될 수 있습니다:

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Abstand In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (German)
Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Diesterweg, 1988, ISBN 3-425-05301-9, p. 298 (German)