Distance from a point to a line

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 점에서 직선까지 거리(distance from a point to a line)는 주어진 점(point)에서 무한한 똑바른 직선(straight line) 위의 임의의 점까지 가장-짧은 거리(distance)입니다. 그것은 직선에 대한 점의 수직(perpendicular) 거리, 점을 직선 위의 가장 가까운 점에 연결하는 선분(line segment)의 길이입니다. 그것을 계산하는 공식은 여러-가지 방법으로 유도되고 표현될 수 있습니다.

점에서 직선까지 거리를 아는 것은 다양한 상황—예를 들어, 도로에 도달하는 가장-짧은 거리를 찾는 것, 그래프 위의 분산된-것을 정량화하는 것, 등에서 유용할 수 있습니다. 데밍 회귀(Deming regression)에서, 선형 곡선 피팅의 하나의 유형, 만약 종속 및 독립 변수는 같은 분산을 가지면, 이것은 직교 회귀(orthogonal regression)를 결과로써 생기는데, 그것에서 적합의 불완전성의 정도는 회귀 직선으로부터 점의 수직 거리로 각 데이터 점에 대해 측정됩니다.

Cartesian coordinates

Line defined by an equation

방정식 ax + by + c = 0로 주어진 평면에서 직선의 경우에서, 여기서 a, b 및 c는 a와 b가 모두 영은 아닌 실수(real) 상수이며, 직선에서 점 (x₀,y₀)까지 거리는 다음입니다:^[1]^[2]^: p.14

\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

(x₀,y₀)에 가장-가까운 이 직선 위의 점은 다음 좌표를 가집니다:^[3]

x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.

수평 및 수직 직선

직선의 일반 방정식 ax + by + c = 0에서, 만약 c가 영이 아니면 a와 b는 절대 모두 0이 될 수 없습니다.그렇지 않으면, 방정식은 직선을 정의하지 않습니다. 만약 a = 0 및 b $\neq$ 0이면, 직선은 수평이고 방정식 y = −c/b를 가집니다. (x₀, y₀)에서 이 직선까지 거리는 수직 선분을 따라 측정되는데, 길이 |y₀ - (-c/b)| = |by₀ + c| / |b|는 공식과 일치합니다. 마찬가지로, 수직선 (b = 0)에 대해, 같은 점과 직선 사이의 거리는, 수평 선분을 따라 측정되므로, |ax₀ + c| / |a|입니다.

Line defined by two points

만약 직선이 두 점 P₁=(x₁,y₁) 및 P₂=(x₂,y₂)를 통과하면, 직선으로부터 (x₀,y₀)의 거리는 다음입니다:

\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.

이 표현의 분모는 P₁과 P₂ 사이의 거리입니다. 분자는 세 점, (x₀,y₀), P₁ 및 P₂에서 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이의 두 배입니다. Area of a triangle § Using coordinates를 참조하십시오. 그 표현은 ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$ 와 동등하며, 이것은 삼각형의 넓이에 대해 표준 공식을 다시-정렬함으로써 얻어질 수 있습니다: ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$ , 여기서 b는 변의 길이이고, h는 대-꼭짓점으로부터 수직 높이입니다.

Proofs

An algebraic proof

이 증명은 만약 직선이 수직 또는 수평 둘 다가 아니면, 유효합니다. 즉, 우리는 직선의 방정식에서 a와 b가 모두 영이 아니라고 가정합니다.

방정식 ax + by + c = 0를 가진 직선은 기울기 –a/b를 가지므로, 그것에 직교하는 임의의 직선은 기울기 b/a (음의 역수)를 가질 것입니다. (m, n)을 직선 ax + by + c = 0 및 점 (x₀, y₀)을 통과하는 그것과 직각인 직선의 교점으로 놓습니다. 이들 두 점을 통과하는 직선은 원래 직선과 수직이므로,

{\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.

따라서, $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$ 및 이 방정식을 제곱함으로써 우리는 다음을 얻습니다:

a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).

이제 다음을 생각해 보십시오,

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})

이것은 위의 제곱된 방정식을 사용한 결과입니다. 그러나 우리는 역시 다음을 가집니다:

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

왜냐하면 (m, n)은 ax + by + c = 0 위에 있기 때문입니다. 따라서,

(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}

및 우리는 이들 두 점에 의해 선분의 길이를 얻습니다:

d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

^[4]

A geometric proof

이 증명은 직선이, 만약 수평 또는 수직가 아니면, 단지 유효합니다.^[5]

좌표(x₀, y₀)를 가진 점 P에서 방정식 Ax + By + C = 0를 가진 직선에 수직으로 떨어뜨립니다. 수선의 발을 R로 놓습니다. P를 통과하는 수직 직선을 그리고 주어진 직선과 교점을 S로 놓습니다. 직선 위의 임의의 점 T에서, 그의 변이 주어진 직선과 길이 |B|의 가로 변 위에 빗변 TU를 가진 수평 및 수직 선분인 직각 삼각형 TVU를 그리십시오 (다이어그램을 참조하십시오). ΔTVU의 수직 변은 길이 |A|를 가질 것인데 왜냐하면 직선은 기울기 –A/B를 가지기 때문입니다.

∆PRS와 ∆TVU는 닮은 삼각형(similar triangles)인데, 왜냐하면 그들은 둘 다 직각 삼각형이고 ∠PSR ≅ ∠TUV이기 때문으로써, 두 각은 평행 직선 PS 및 UV (둘 다 수직 직선입니다)에 대한 횡단의 해당하는 각도이기 때문입니다.^[6] 이들 삼각형의 대응하는 변은 같은 비율에 있으므로,

{\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.

만약 점 S가 좌표 (x₀,m)를 가지면, |PS| = |y₀ - m|이고 P에서 직선까지 거리는 다음입니다:

|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.

S는 직선 위에 있으므로, 우리는 m의 값을 찾을 수 있습니다:

m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},

그리고 마참내 다음을 획득합니다:^[7]

|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.

이 증명의 변형은 P에 V를 놓고 $D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$ 임을 얻기 위해 두 방법으로 삼각형 ΔUVT의 넓이를 계산하며, 여기서 D는 P에서 ∆UVT의 빗변으로 그려진 ∆UVT의 고도입니다. 거리 공식은 그런-다음 P의 좌표와 표시된 공식을 얻기 위한 직선의 방정식의 계수에 관한 $|{\overline {TU}}|$ , $|{\overline {VU}}|$ , 및 $|{\overline {VT}}|$ 을 표현하기 위해 사용됩니다.^{[citation needed]}

A vector projection proof

P를 좌표 (x₀, y₀)를 가진 점으로 놓고 주어진 직선은 방정식 ax + by + c = 0을 가진 것으로 놓습니다. 또한, Q = (x₁, y₁)를 이 직선 위의 임의의 점 및 ${\vec {n}}$ 을 점 Q에서 시작하는 벡터 (a, b)로 놓습니다. 벡터 ${\vec {n}}$ 은 직선에 수직이고, 점 P에서 직선까지 거리 d는 ${\vec {n}}$ 위의 ${\overrightarrow {QP}}$ 의 직교 투영의 길이와 같습니다. 이 투영의 길이는 다음으로 제공됩니다:

d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}.

이제,

{\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})

이므로,

{\overrightarrow {QP}}\cdot {\vec {n}}=a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})

이고

\|{\vec {n}}\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},

따라서

d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Q는 직선 위의 점이므로, $c=-ax_{1}-by_{1}$ 이고, 따라서,^[8]

d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Another formula

점과 직선 사이의 가장-짧은 거리를 찾기 위해 또 다른 표현을 생성할 수 있습니다. 이 파생은 직선이 수직 또는 수평이 아닌 것을 역시 요구합니다.

점 P는 좌표 ( $x_{0},y_{0}$ )로 주어집니다. 직선의 방정식은 $y=mx+k$ 로 제공됩니다. 점 P를 통과하는 그 직선의 법선의 방정식은 $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$ 로 제공됩니다.

이들 두 직선이 교차하는 점은 점 P에서 원래 직선 위의 가장-가까운 점입니다. 그러므로:

mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.

우리는 이 방정식을 x에 대해 풀 수 있습니다:

x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.

교차의 점의 y-좌표는 x의 이 값을 원래 직선의 방정식에 대입함으로써 구할 수 있습니다:

y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.

두 점 사이의 거리를 찾는 방정식을 사용하면, $d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}$ 이므로, 우리는 직선과 점 사이의 가장-짧은 거리를 찾는 공식은 다음임을 추론할 수 있습니다:

d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.

방정식 ax + by + c = 0을 가진 직선에 대해, m = -a/b 및 k = - c/b임을 다시-기억해 내십시오. 작은 대수적 단순화는 이것을 표준 표현으로 감소시킵니다.^[9]

Vector formulation

직선의 방정식은 벡터(vector) 형식으로 제공될 수 있습니다:

{\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {n}}

여기서 ${\vec {a}}$ 는 직선 위의 한 점의 위치이고, ${\vec {n}}$ 은 직선의 방향에서 단위 벡터(unit vector)입니다. 그런-다음 스칼라 t가 변하므로, ${\vec {x}}$ 는 직선의 자취(locus)를 제공합니다.

이 직선에 대한 임의의 점 ${\vec {p}}$ 의 거리는 다음으로 제공됩니다:

\operatorname {distance} ({\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {n}},{\vec {p}})=\|({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}\|.

이 공식은 다음으로 구할 수 있습니다: ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ 는 ${\vec {p}}$ 에서 직선 위의 점 ${\vec {a}}$ 까지 벡터입니다. 그런-다음 $({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}$ 은 직선 위로 투영된 길이이고, 그래서

(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}

는 직선 위로 ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ 의 투영(projection)인 벡터입니다. 따라서

({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}

은 그 직선에 수직인 ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ 의 성분입니다. 점에서 직선까지 거리는, 그런-다음, 단지 벡터(norm)의 노름입니다.^[10] 이 보다 일반적인 공식은 이-차원에 제한되지 않습니다.

Another vector formulation

만약 벡터가 직교-정규(orthonormal)이고 직선 (l )이 점 A를 지나고 방향 벡터(direction vector) ${\vec {u}}$ 를 가지면, 점 P와 직선 (l) 사이의 거리는 다음입니다:

d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}

여기서 ${\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}$ 는 벡터 ${\overrightarrow {\mathrm {AP} }}$ 및 ${\vec {u}}$ 의 교차 곱(cross product)이고 $\|{\vec {u}}\|$ 는 ${\vec {u}}$ 의 벡터 노름입니다.

교차 곱은 오직 차원 3과 7에서 존재하는 것에 주목하십시오.

Notes

^ Larson & Hostetler 2007, p. 452
^ Spain 2007
^ Larson & Hostetler 2007, p. 522
^ Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
^ Ballantine & Jerbert 1952 do not mention this restriction in their article
^ If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
^ Ballantine & Jerbert 1952
^ Anton 1994, pp. 138-9
^ Larson & Hostetler 2007, p. 522
^ Sunday, Dan. "Lines and Distance of a Point to a Line". softSurfer. Retrieved 6 December 2013.

References

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), "Distance from a line or plane to a point", American Mathematical Monthly, 59: 242–243, doi:10.2307/2306514
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7