Elementary arithmetic

기본 산술은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 및 나눗셈(division)의 연산을 포함하는 산술(arithmetic)의 단순화된 부분입니다. 그것은 기본 함수 산술(elementary function arithmetic)과 혼동되어서는 안됩니다.

기본 산술은 자연수(natural numbers)와 그것들을 나타내는 기호 (자릿수(digits))로 시작합니다. 이들 숫자의 쌍을 네 가지 기본 연산과 조합하는 과정은 전통적으로 곱셈과 나눗셈을 지원하는 곱셈 테이블(multiplication table)의 내용을 포함하여 작은 숫자 값에 대해 기억된 결과에 의존합니다.

기본 산술은 역시 분수(fractions)와 음수(negative numbers)를 포함하며, 이것은 숫자 직선(number line) 위에 표현될 수 있습니다.

The digits

자릿수는 숫자를 나타내기 위해 사용되는 전체 기호의 집합입니다. 특정 숫자 시스템에서, 단일 자릿수는 비록 같은 숫자-표시 시스템(numeral system)에서 그 기호가 문화권마다 다를 수 있을지라도 임의의 다른 자릿수와 다른 총양을 나타냅니다.

현대 사용법에서, [[Arabic numerals|아라비아 숫자-표시가 가장 공통적인 기호의 집합이고, 이들 자릿수의 가장 자주 사용되는 형식은 서양식입니다. 각 단일 자릿수는 만약 독립형 숫자로 사용되면 다음 총양과 일치합니다:

0, 영(zero). 세려는 대상이 없을 때 사용합니다. 예를 들어, "여기에 막대기가 없습니다"를 말하는 다른 방법은 "여기에 막대기가 0개 있습니다"라고 말하는 것입니다.

1, 일(one). 단일 항목에 적용됩니다. 예를 들어, 여기에 하나의 막대기가 있습니다: I

2, 이(two). 항목의 쌍에 적용됩니다. 예를 들어, 여기세 둘의 막대기가 있습니다: I I

3, 삼(three). 셋의 항목에 적용됩니다. 여기세 셋의 막대기가 있습니다: I I I

4, 사(four). 넷의 항목에 적용됩니다. 여기에 넷의 막대기가 있습니다: I I I I

5, 오(five). 다섯의 항목에 적용됩니다. 여기에 다섯의 막대기가 있습니다: I I I I I

6, 육(six). 여섯의 항목에 적용됩니다. 여기에 여섯의 막대기가 있습니다: I I I I I I

7, 칠(seven). 일곱의 항목에 적용됩니다. 여기에 일곱의 막대기가 있습니다: I I I I I I I

8, 팔(eight). 여덟의 항목에 적용됩니다. 여기에 여덟의 막대기가 있습니다: I I I I I I I I

9, 구(nine). 아홉의 항목에 적용됩니다. 여기에 아홉의 막대기가 있습니다: I I I I I I I I I

임의의 숫자-표시 시스템은 하나보다 많은 자릿수를 포함하는 모든 숫자의 값을 정의하며, 가장 자주 인접한 자릿수에 대해 값의 덧셈에 의해 정의됩니다. 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)은 임의의 숫자-표시에 대해 값을 결정하기 위한 위치적 표기법(positional notation)을 포함합니다. 이러한 유형의 시스템에서, 추가적인 자릿수에 대해 값에서 증가는 기수(radix) 값과의 하나 이상의 곱셈을 포함하고 결과는 인접한 자릿수의 값에 더합니다. 아라비아 숫자와 함께, 기수 값 십은 숫자 "21"에 대해 이십-일 (2×10 + 1와 같음)의 값을 생성합니다. 각 추가적인 자릿수에 대해 기수 값과의 추가적인 곱셈이 발생하므로, 숫자-표시 "201"은 이-백-과-일 (2×100 + 0×10 + 1와 같음)의 값을 나타냅니다.

기본 학습의 수준은 전형적으로 최대 일곱 자릿수를 갖는 아라비아 숫자-표시를 사용하여 개별 정수(whole numbers)의 값을 이해하고, 각각 최대 넷의 자릿수를 갖는 아라비아 숫자-표시를 사용하여 넷의 기본 연산을 수행하는 것입니다.

Addition

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

두 숫자가 함께 더해질 때, 그 결과는 합(sum)이라고 불립니다. 함께 더해질 두 숫자는 피합수(addends)라고 불립니다.

Adding two natural numbers

당신이 둘의 가방을 가졌다고 가정합니다. 하나의 가방에는 다섯의 사과가 들어 있고 다른 가방에는 셋의 사과가 들어 있습니다. 세 번째 빈 가방을 잡고, 첫 번째와 두 번째 가방에서 모든 사과를 세 번째 가방으로 옮깁니다. 세 번째 가방에는 이제 여덟의 사과가 들어 있습니다. 이것은 셋의 사과와 다섯의 사과의 조합이 여덟의 사과임을 보여줍니다; 또는 더 일반적으로: "삼 더하기 오는 팔" 또는 "삼 더하기 오는 팔과 같음", 또는 "팔은 삼과 오의 합"입니다. 숫자는 추상적이고, 다섯 가지의 그룹에 세 가지의 그룹을 더하면 여덟 가지의 그룹이 생성될 것입니다. 덧셈은 재그룹화입니다: 개별적으로 세어지는 두 집합의 대상은 단일 그룹에 넣어지고 함께 세어집니다: 새 그룹의 개수는 두 원래 그룹의 개별 개수의 "합"입니다.

이 조합(combining)의 연산은 덧셈의 수학적 연산이 가질 수 있는 몇 가지 가능한 의미 중 하나일 뿐입니다. 덧셈의 다른 의미는 다음을 포함합니다:

비교(comparing) ("철수는 5 사과를 가지고 있습니다. 영희가 철수보다 3 더 많은 사과를 가지고 있습니다. 영희는 몇 개의 사과를 가지고 있습니다?"),
합류(joining) ("철수는 5 사과를 가지고 있습니다. 영희가 그에게 3 더 사과를 주었습니다. 철수는 이제 몇 개의 사과를 가지고 있습니다?"),
측정(measuring) ("철수의 책상은 3 피트 (0.91 미터) 너비입니다. 영희의 것은 역시 3 피트 (0.91 미터) 너비입니다. 그들의 책상을 함께 합치게 되면 너비가 얼마일까요?),
그리고 심지어 때때로 분리(separating) ("철수는 몇 개의 사과를 가졌었습니다. 그는 영희에게 3개를 주었습니다. 이제 그는 5개를 가지고 있습니다. 그는 몇 개로 시작했습니까?).

기호적으로, 덧셈은 "더하기 기호": +에 의해 표시됩니다. 따라서 명제 "삼 더하기 오는 팔과 같습니다"는 기호적으로 3 + 5 = 8로 쓸 수 있습니다. 두 숫자가 더해지려는 순서는 중요하지 않으므로, 3 + 5 = 5 + 3 = 8입니다. 이것은 덧셈의 교환적(commutative) 속성입니다.

테이블을 사용하여 자릿수의 쌍을 더하기 위해, 첫 번째 자릿의 행과 두 번째 자릿수의 열의 교차점을 찾으십시오: 행과 열은 두 자릿수의 합을 포함하는 정사각형에서 교차합니다. 일부 자릿수의 쌍은 두-자릿수 숫자까지 더해지며, 십-자릿수는 항상 1입니다. 덧셈 알고리듬에서, 자릿수의 쌍의 합의 십-자릿수는 "올림(carry) 자릿수"라고 불립니다.

Addition algorithm

간단히 하기 위해, 오직 셋의 자릿수 이하를 갖는 숫자를 생각해 보십시오. (아라비아 숫자-표시로 쓰인) 한 쌍의 숫자를 더하기 위해, 첫 번째 숫자 아래에 자릿수가 열에서 줄이 맞도록 두 번째 숫자를 쓰십시오: 맨 오른쪽 열이 첫 번째 숫자의 일-자릿수 아래에 두 번째 숫자의 일-자릿수를 포함할 것입니다. 이 맨 오른쪽 열이 일-열입니다. 그것의 바로 왼쪽에 있는 열은 십-열입니다. 십-열은 (만약 그것이 있으면) 첫 번째 숫자의 십-자릿수 아래에 (만약 그것이 있으면) 두 번째 숫자의 십-자릿수를 가질 것입니다. 십-열의 바로 왼쪽에 있는 열이 백-열입니다. 백-열은 (만약 그것이 있으면) 첫 번째 숫자의 백-자릿수 아래에 (만약 그것이 있으면) 두 번째 숫자의 백-자릿수를 맞출 것입니다.

두 번째 숫자는 자릿수가 그것들의 올바른 열에 줄이 맞도록 첫 번째 숫자 아래에 쓰인 후, 두 번째 숫자 아래에 선을 그립니다. 일-열에서 시작하십시오: 일-열은 한 쌍의 자릿수: 첫 번째 숫자의 일-자릿수와 그 아래에 두 번째 숫자의 일-자릿수를 포함해야 합니다. 이들 두 자리의 합을 찾으십시오: 이 합을 줄 아래에 일-열에 쓰십시오. 만약 그 합이 둘의 자릿수이면, 합의 일-자릿수만 아래에 적으십시오. 다음 열의 맨 위 자릿수 위에 "올림 자릿수"를 쓰십시오: 이 경우에서 다음 열은 십-열이므로, 첫 번째 숫자의 십-자릿수 위에 1을 쓰십시오.

만약 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자가 각각 오직 하나의 자릿수를 가지면, 그것들의 합은 덧셈 테이블에 제공되고, 덧셈 알고리듬이 필요하지 않습니다.

그런-다음 십-열이 옵니다. 십-열은 둘의 자릿수: 첫 번째 숫자의 십-자릿수와 두 번째 숫자의 십-자릿수를 포함할 수 있습니다. 만약 숫자 중 하나가 누락된 십-자릿수를 가지면, 이 숫자에 대해 십-자릿수는 0으로 고려될 수 있습니다. 두 숫자의 십-자릿수를 더합니다. 그런-다음, 만약 올림 자릿수가 있으면, 그것을 이 합에 더합니다. 만약 그 합이 18이었으면, 그것에 올림 자릿수를 더하면 19를 산출할 것입니다. 만약 십-자릿수의 합 (만약 있으면, 올림 자릿수를 더함)이 십보다 작으면 줄 아래의 십-열에 그것을 씁니다. 만약 그 합이 두 자릿수를 가지면, 줄 아래의 십-열에 마지막 자릿수를 쓰고, 그것의 첫 번째 숫자 (1이어야 함)를 다음 열로 올립니다: 이 경우에서 백-열입니다.

만약 두 숫자 중 어느 것도 백-자릿수가 없으면, 올림 자릿수가 없으면 덧셈 알고리듬이 완료된 것입니다. 만약 올림 자릿수 (십-열에서 올려짐)가 있으면, 줄 아래의 백-열에 그것을 쓰고, 알고리듬이 완료됩니다. 알고리듬이 완료될 때, 줄 아래의 숫자는 두 숫자의 합입니다.

만약 숫자 중 적어도 하나가 백-자릿수를 가지면, 숫자 중 하나가 누락된 백-자릿수를 가지면 그 자리에 0 자릿수를 씁니다. 둘의 백-자릿수를 더하고, 그 합에 올림 자릿수 일이 있으면 더하십시오. 그런-다음 줄 아래에 백-열의 합과 백 열에도 쓰십시오. 만약 그 합이 두 자릿수를 가지면, 백-열에 합의 마지막 자릿수를 쓰고 그것의 왼쪽: 천-열에 올림 자릿수를 씁니다.

Example

숫자 653과 274의 합을 구하기 위해, 다음과 같이 열에 정렬된 자릿수를 갖는 첫 번째 숫자 아래에 두 번째 숫자를 씁니다:

6	5	3
2	7	4

그런-다음 두 번째 숫자 아래에 선을 그리고 더하기 기호를 넣습니다. 덧셈은 일-열에서 시작합니다. 첫 번째 숫자의 일-자릿수는 3이고 두 번째 숫자의 일-자릿수는 4입니다. 삼과 사의 합은 칠이므로, 줄 아래의 일-열에 7을 쓰십시오.

	6	5	3
+	2	7	4
			7

다음으로, 십-열입니다. 첫 번째 숫자의 십-자릿수는 5이고, 두 번째 숫자의 십-자릿수는 7입니다. 5 더하기 7은 12이며, 두 자릿수를 가지므로, 줄 아래의 십-열에 마지막 자릿수, 2를 쓰고, 첫 번째 숫자 위의 백-열에 올림 자릿수를 씁니다:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
		2	7

다음으로, 백-열입니다. 첫 번째 숫자의 백-자릿수는 6이고, 반면에 두 번째 숫자의 백-자릿수는 2입니다. 육과 이의 합은 팔이지만, 올림 자릿수가 있으며, 그것을 팔에 더하면 구와 같습니다. 백-열의 줄 아래에 9를 쓰십시오:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
	9	2	7

자릿수 (및 열)는 더해지지 않은 채 남겨진 것이 없으므로, 알고리듬이 완료되며, 결과로 다음 방정식을 산출합니다:

653 + 274 = 927

Successorship and size

숫자에 일의 덧셈의 결과는 해당 숫자의 다음수입니다. 예제:

영의 다음수는 일입니다:

일의 다음수는 이입니다:

이의 다음수는 삼입니다:

삼의 다음수는 사입니다:

모든 각 자연수는 다음수를 가집니다.

숫자의 다음수의 직전수는 그 숫자 자체입니다. 예를 들어, 오는 사의 다음수이고 따라서 사는 오의 직전수입니다. 영을 제외한 모든 각 자연수는 직전수를 가집니다.

만약 숫자가 또 다른 숫자의 다음수이면, 첫 번째 숫자는 나머지 숫자보다 더 크다고 말합니다. 만약 숫자가 또 다른 숫자보다 크고, 다른 숫자가 세 번째 숫자보다 크면, 첫 번째 숫자는 역시 세 번째 숫자보다 큽니다. 예제: 오는 사보다 크고, 사는 삼보다 크므로, 오는 삼보다 큽니다. 그러나 육은 오보다 크고, 따라서 육은 역시 삼보다 큽니다. 그러나 칠은 육보다 크고, 따라서 칠은 역시 삼보다 큽니다 ... 따라서 팔은 삼보다 큽니다 ... 따라서 구는 삼보다 큽디다, 이런 식으로 계속됩니다.

만약 둘의 비-영 자연수가 함께 더해지면, 그 합은 둘 중 어느 하나보다 큽니다. 예제: 삼 더하기 오는 팔과 같으므로, 팔은 삼보다 크고 (8 > 3) 팔은 오보다 큽니다 (8 > 5). "보다 큼"에 대해 기호는 > 입니다.

만약 숫자가 또 다른 숫자보다 크면, 두 번째 숫자는 첫 번째 숫자보다 작습니다. 예제: 삼은 팔보다 작고 (3 < 8) 오는 팔보다 작습니다 (5 < 8). "보다 작음"에 대한 기호는 < 입니다. 숫자는 동시에 또 다른 숫자보다 크거나 작을 수 없습니다. 숫자는 동시에 다른 숫자보다 크거나 같을 수 없습니다. 한 쌍의 자연수가 주어지면, 다음 경우 중 하나이자 유일한 하나가 참이어야 합니다:

첫 번째 숫자는 두 번째 숫자보다 큽니다,
첫 번째 숫자는 두 번째 숫자와 같습니다,
첫 번째 숫자는 두 번째 숫자보다 작습니다.

Counting

대상의 그룹을 세는 것은 대상 각각에 자연수를 할당하는 것을 의미합니다. 마치 해당 대상에 대해 레이블인 것처럼, 자연수는 그것의 직전수가 이미 다른 대상에 할당되지 않은 한 대상에 할당되지 않습니다. 어떤 대상에도 0이 할당되지 않는다는 점을 제외하고 할당할 가장 작은 자연수는 1이고 할당되는 가장 큰 자연수는 그룹의 크기에 따라 다릅니다. 그것은 개수(count)라고 불리고 해당 그룹에서 대상의 개수와 같습니다. 세는 것은 역시 탈리 표식(tally marks)을 사용하여 집계하는 과정으로 보일 수 있습니다.

그룹을 세는 것(counting)의 과정은 다음과 같습니다:

"개수"를 영과 같게 놓습니다. "개수"는 값이 0으로 시작하지만, 곧 값이 여러 번 변경되는 변하는 수량입니다.
그룹에서 자연수로 레이블이 지정되지 않은 대상을 적어도 하나 찾습니다. 만약 그러한 대상이 찾아지지 않으면 (만약 그것들이 모두 레이블이 지정되었으면) 세는 것이 완료됩니다. 그렇지 않으면 레이블이 지정되지 않은 대상 중 하나를 선택합니다.
개수를 일만큼 증가시킵니다. 즉, 개수의 값을 그것의 다음수로 교체합니다.
개수의 새 값을 단계 2에서 선택된 레이블이 지정되지 않은 대상에 레이블로 할당합니다.
단계 2로 되돌아갑니다.

세는 것이 완료될 때, 개수의 마지막 값이 최종 개수일 것입니다. 이 개수는 그룹의 대상의 숫자와 같습니다.

종종, 대상을 셀 때, 우리는 어떤 숫자 레이블이 어떤 대상에 해당하는지 추적하지 않습니다: 우리는 오직 단계 2에 필요한 레이블이 지정되지 않은 대상을 식별할 수 있도록 이미 레이블이 지정된 대상의 부분그룹만 추적합니다. 어쨌든, 만약 우리가 사람을 세는 것이면, 우리는 세어지려는 사람들에게 각자 자신에게 할당된 숫자를 추적하도록 요청할 수 있습니다. 개수가 완료된 후, 숫자 레이블의 증가하는 순서에서 줄을 서도록 사람들에게 요청할 수 있습니다. 사람들은 줄을 서는 과정에서 다음과 같은 것을 해야 할 것입니다: 줄에서 자신의 위치가 확실하지 못하는 각 쌍의 사람들은 서로의 숫자가 무엇인지 묻습니다: 그것의 숫자가 작은 사람은 왼쪽에 서야 하고 더 큰 숫자를 갖는 사람은 오른쪽에 서야 합니다. 따라서, 사람들의 쌍은 자신의 숫자와 위치를 비교하고, 필요에 따라 그들의 위치를 교환하고, 그러한 조건부의 교환을 반복을 통해 그들은 순서화됩니다.

고등 수학에서, 세는 과정은 역시 집합의 원소와 집합 {1, ..., n} (여기서 n은 자연수) 사이의 일-대-일 대응(one-to-one correspondence) (일명 전단사)의 구성으로 비유될 수 있습니다. 일단 그러한 대응이 설정되면, 첫 번째 집합은 그때에 크기 n의 것이라고 말합니다.

Subtraction

뺄셈은 감소된 양을 설명하는 수학적 연산입니다. 이 연산의 결과는 두 숫자, 피감수(minuend)와 감수(subtrahend)의 차이(difference)입니다. 덧셈과 마찬가지로, 뺄셈은 다음과 같은 다양한 해석을 가질 수 있습니다:

분리(separating) ("철수는 8 사과를 가지고 있습니다. 그는 3 사과를 남에게 주었습니다. 그에게 남은 것은 몇 개입니까?")
비교(comparing) ("철수는 8 사과를 가지고 있습니다. 영희는 철수보다 3 적은 사과를 가지고 있습니다. 영희는 몇 개나 가지고 있습니까?)
조합(combining) ("철수는 8 사과를 가지고 있습니다. 사과 중 셋은 녹색이고 나머지는 빨간색입니다. 빨간색은 몇 개입니까?")
그리고 때때로 합류(joining) (" 철수는 다소의 사과를 가지고 있었습니다. 영희가 그에게 3개를 더 주었으므로, 이제 그는 8 사과를 가지고 있습니다. 그는 처음에 몇 개를 가지고 있었습니까?")

덧셈과 마찬가지로, 이동(motion)과 같은 다른 가능한 해석도 있습니다.

기호적으로, 빼기 기호(minus sign) ("−")는 뺄셈 연산을 나타냅니다. 따라서 명제 "오 빼기 삼은 이와 같음"은 역시 5 − 3 = 2로 쓰입니다. 기본 산술에서, 뺄셈은 더 간단한 해를 생성하기 위해 모든 값에 대해 더 작은 양수를 사용합니다.

덧셈과 달리, 뺄셈은 교환적이 아니므로, 연산에서 숫자의 순서가 결과를 변경할 수 있습니다. 그러므로, 각 숫자는 다른 구별되는 이름으로 제공됩니다. 첫 번째 숫자 (이전 예제에서 5)는 공식적으로 감수(minuend)로 정의되고 두 번째 숫자 (이전 예제에서 3)는 피감수(subtrahend)로 정의됩니다. 감수의 값은 그 결과가 양수가 되도록 피감수의 값보다 크지만, 감수의 더 작은 값은 음수(negative number)를 초래할 것입니다.

뺄셈을 수행하기 위한 몇 가지 방법이 있습니다. 미국에서 전통적인 수학(traditional mathematics)이라고 참조되는 방법은 초등학생에게 손으로 계산하기에 적합한 방법을 사용하여 빼는 방법을 가르칩니다.^[1] 사용되는 특정 방법은 국가마다 다르며, 국가 내에서도 다른 방법이 다른 시기에 유행합니다. 개정 수학(Reform mathematics)은 일반적으로 TERC의 경우에서 음수의 속성을 사용하는 것과 같이 2학년 학생들을 그들 자신의 계산 방법을 발명하도록 안내함으로써 대체된 임의의 특정 기법에 대해 선호도가 없다는 점에서 구별됩니다.

미국 학교는 현재 빌림을 사용하여 뺄셈의 방법과 목발이라고 불리는 표식의 시스템을 가르치고 있습니다. 빌림의 방법은 이미 알려져 왔었고 이전 교과서에 출판되었지만, 분명히 목발은 1937년 11월 연구에서 그것들을 사용했던 William A. Browell의 발명품입니다 [1]. 이 시스템은 그 당시 미국에서 사용되던 다른 뺄셈의 방법을 대체하면서 빠르게 유행했습니다.

일부 유럽 국가에서 학생들은 교육을 받았고, 일부 나이든 미국인들은 덧셈의 방법이라고도 알려져 있는 오스트리아 방법이라고 불리는 뺄셈의 방법을 사용합니다. 이 방법에서 빌림이 없습니다. 국가에 따라 [아마도] 다른 목발 (기억을 돕기 위한 표식)도 있습니다.

빌림의 방법에서, 86 − 39와 같은 뺄셈은 80에서 10을 빌리고 그것을 6에 더함으로써 6에서 9의 일-자리 뺄셈을 수행할 것입니다. 그 문제는 따라서 효과적으로 (70 + 16) − 39로 변환됩니다. 이것은 8을 통과하면서 사선으로 긋고, 그 위에 작은 7을 쓰고, 6 위에 작은 1을 쓰는 것으로 표시됩니다. 이들 표식은 목발이라고 합니다. 9는 그런-다음 16에서 빼지게 되어, 7을 남기고, 30은 70에서 빼지게 되어, 40을 남기서, 그 결과로 47을 남깁니다.

덧셈 방법에서, 빌림 방법과 마찬가지로, 9의 뺄셈에 대비하여 10을 빌려서 6을 16으로 만듭니다. 어쨌든, 10은 피감수를 줄임으로써 취해지는 것이 아니고, 오히려 감수를 하나 증가시킵니다. 효과적으로, 그 문제는 (80 + 16) − (39 + 10)로 변환됩니다. 전형적으로 작은 하나의 목발은 감수 자릿수 바로 아래에 나머지로 표시됩니다. 그런-다음 연산이 진행됩니다: 16에서 9는 7입니다; 그리고 80에서 40 (즉, 30 + 10)은 40, 그 결과로 47입니다.

덧셈 방법은 오직 심리학에서 다른 두 가지 변형에서 가르치는 것 같습니다. 86 − 39의 예를 계속하면, 첫 번째 변형은 6에서 9를 빼려고 시도하고, 그런-다음 16에서 9를 빼고, 다음 열에서 감수 자릿수 근처에 표시함으로써 10을 빌립니다. 두 번째 변형은, 9에 더해질 때, 6을 제공하고 그것이 불가능하다는 것을 인식하여, 16을 제공하는 자릿수를 찾고, 16 중 10을 첫 번째 방법에서와 같이 같은 자릿수 근처에 하나의 표식으로 빌림을 시도입니다. 그 표식은 같습니다; 그것은 모양을 설명하는 방법에 대한 선호도의 문제일 뿐입니다.

마지막으로 주의할 점은, 100 − 87과 같이 즉시 빌림이 불가능하고, 여러 열을 가로질러 도달함으로써 얻어져야 하는 경우에 빌림 방법이 다소 복잡해진다는 것입니다. 이 경우에서, 피감수는 백에서 100을 가져와서, 그것에서 십 10을 만들고, 즉시 십 열에서 아홉 10을 차용하고 마지막으로 일 열에서 하나의 10을 배치함으로써, 90 + 10으로 효과적으로 다시 쓰입니다.

Multiplication

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

두 숫자는 함께 곱해질 때, 그 결과를 곱(product)이라고 불립니다. 함께 곱해지려는 두 숫자는 인수(factors)라고 불리고, 피승수(multiplicand)와 승수(multiplier)도 사용됩니다.

What does it mean to multiply two natural numbers?

각각 셋의 사과를 포함하고 있는 다섯의 빨간 가방이 있다고 가정합니다. 이제 빈 녹색 가방을 잡고, 모든 다섯 빨간 가방에서 모든 사과를 녹색 가방으로 옮깁니다. 이제 녹색 가방은 열-다섯의 사과를 가질 것입니다.

따라서 오와 삼의 곱은 십오입니다.

이것은 역시 "오 곱하기 3은 십오임" 또는 "오 곱하기 삼은 십오와 같음" 또는 "십오는 오와 삼의 곱임"으로 나타낼 수 있습니다. 곱셈은 반복된 덧셈(repeated addition)의 한 형식으로 보일 수 있습니다: 첫 번째 인수는 반복된 덧셈에서 두 번째 인소가 몇 번 발생하는지 나타냅니다; 최종 합은 곱입니다.

기호적으로, 곱셈은 곱셈 기호(multiplication sign): ×로 표시됩니다. 따라서 명제 "오 곱하기 삼은 십오와 같음"은 기호적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 5 \times 3 = 15.}

일부 국가와 고급 산술에서, 다른 곱셈 기호가 사용되며, 예를 들어, 5 ⋅ 3입니다. 일부 상황, 특히 대수학에서, 여기서 숫자는 문자로 기호화될 수 있으며, 곱셈 기호는 생략될 수 있습니다; 예를 들어, xy는 x × y를 의미합니다. 두 숫자가 곱해지는 순서는 중요하지 않으므로, 예를 들어, 삼 곱하기 사는 사 곱하기 삼과 같습니다. 이것이 곱셈의 교환 속성(commutative property)입니다.

테이블을 사용하여 한 쌍의 자릿수를 곱하기 위해, 첫 번째 자릿수의 행과 두 번째 자릿수의 열의 교차점을 찾으십시오: 행과 열은 두 자릿수의 곱을 포함하는 정사각형에서 교차합니다. 대부분의 자릿수의 쌍은 두-자릿수 숫자를 생성합니다. 곱셈 알고리듬에서 한 쌍의 자릿수의 곱의 십-자릿수 숫자는 "올림 자릿수"라고 불립니다.

Multiplication algorithm for a single-digit factor

인수 중 하나가 여러 자릿수를 가지고, 반면에 다른 인수는 오직 한 자릿수를 가지는 곱셈을 생각해 보십시오. 여러-자릿수 인수를 쓰고, 그런-다음 여러-자릿수 인수의 맨 오른쪽 자릿수 아래에 한 자릿수 인수를 씁니다. 한 자리 인수 아래에 수평 직선을 그립니다. 이제부터, 여러-자릿수 인수를 피승수(multiplicand), 한 자릿수 인수를 승수(multiplier)라고 부를 것입니다.

간단히 하기 위해 피승수가 셋의 자릿수를 가진다고 가정합니다. 맨 왼쪽 자릿수는 백-자리, 가운데 자릿수는 십-자리, 및 가장 오른쪽 자릿수는 일-자리입니다. 승수는 오직 일-자릿수를 가집니다. 피승수와 승수의 일-자릿수는 하나의 열: 일-열을 형성합니다.

일-열로 시작하십시오: 일-열은 한 쌍의 자릿수: 피승수의 일-자릿수와 그 아래에 승수의 일 자릿수를 포함해야 합니다. 이들 두 자릿수의 곱을 찾으십시오: 이 곱을 줄에 있는 일-열에 씁니다. 만약 곱이 둘의 자릿수를 가지면, 오직 곱의 일-자릿수를 아래에 씁니다. "올림 자릿수"를 다음 열과 줄 아래에 아직 작성되지 않은 숫자의 위첨자로 씁니다: 이 경우에서 다음 열은 십-열이므로, 올림 자릿수를 (줄 아래에) 곱의 아직 작성되지 않은 십-자릿수의 위첨자로 씁니다

첫 번째 숫자와 두 번째 숫자 둘 다가 각각 오직 한 자릿수를 가지면, 그것들의 곱이 곱셈 테이블에 제공됩니다 – 그것에 의하여 곱셈 알고리듬을 만드는 것이 필요하지 않습니다.

그런-다음 십-열이 옵니다. 지금까지 십-열은 하나의 자릿수: 피승수의 십-자릿수를 포함하어 있습니다 (비록 그것은 줄 아래에 올림 자릿수를 포함할 수 있을지라도). 승수와 피승수의 십-자릿수의 곱을 찾으십시오. 그런-다음 만약 올림 자릿수 (행 아래에 십-열에 위첨자된)가 있으면, 그것을 이 곱에 더합니다. 만약 결과 합이 십보다 작으면 그것을 줄 아래의 십-열에 씁니다. 만약 그 합이 두 자릿수를 가지면 줄 아래의 십-열에 마지막 자릿수를 쓰고, 그것의 첫 번째 자릿수를 다음 열: 이 경우에서 백 열에 올립니다.

만약 피승수가 백-자릿수를 가지지 않으면 올림 자릿수가 없으면 곱셈 알고리듬이 완료된 것입니다. 만약 올림 자릿수 (십-열에서 올려짐)가 있으면, 그것을 행 아래의 백-열에 쓰고, 알고리듬이 완료됩니다. 알고리듬이 완료될 때, 줄 아래에 숫자는 두 숫자의 곱입니다.

만약 피승수가 백-자릿수를 가지면, 승수와 피승수의 백-자릿수의 곱을 찾고, 이 곱에 만약 올림 자릿수가 그것을 더합니다. 그런-다음 그 줄 아래에 백-열의 결과 합을 쓰고, 백 열에도 씁니다. 만약 그 합이 두 자릿수를 가지면 백-열에 합의 마지막 자릿수 아래에 쓰고 그것의 왼쪽: 천-열에 올림 자릿수를 씁니다.

Example

숫자 3과 729의 곱을 찾기 위해, 다음과 같이, 여러-자릿수 피승수 아래에 한-자릿수 승수를 쓰고, 피승수의 일-자릿수 아래에 승수를 쓰십시오:

7	2	9
		3

그런-다음 승수 아래에 직선을 그리고 곱셈 기호를 넣습니다. 곱셈은 일-열로 시작합니다. 피승수의 일-자릿수는 9이고 승수는 3입니다. 3과 9의 곱은 27이므로, 줄 아래의 일-열에 7을 쓰고, 줄 아래 곱의 아직 쓰이지 않은 십-자릿수의 위첨자로 올림-자릿수 2를 씁니다:

	7	2	9
×			3
		²	7

다음으로, 십-열입니다. 피승수의 십-자릿수는 2, 승수는 3, 삼 곱하기 이는 육입니다. 곱에 올림 자릿수 2를 더하여 8을 얻습니다. 팔은 오직 한 자릿수를 가집니다: 올림-자릿수가 없으므로, 줄 아래의 십-열에 씁니다. 이제 두 개를 지울 수 있습니다.

	7	2	9
×			3
		8	7

다음으로, 백-열입니다. 피승수의 백-자릿수는 7이고, 승수는 3입니다. 3과 7의 곱은 21이고, 반면에 이전 올림-자릿수 (십-열에서 올라옴)는 없습니다. 곱 21은 두 자릿수를 가집니다: 줄 아래의 백-열에 그것의 마지막 자릿수를 쓰고, 그런-다음 첫 번째 자릿수를 천-열로 올립니다. 피승수는 천-자릿수를 가지지 않으므로, 그런-다음 줄 아래의 천-열에 이 올림-자릿수를 씁니다 (위첨자된 것이 아님):

	7	2	9
×			3
2	1	8	7

피승수의 자릿수는 곱해지지 않은 채로 남겨지지 않았으므로, 알고리듬이 완료되고, 결과로써 다음 방정식을 산출합니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 3 \times 729 = 2187}

Multiplication algorithm for multi-digit factors

각 인수에 두 자릿수 이상의 인수를 가지는 한 쌍의 인수가 주어지면, 자릿수가 열에서 정렬되도록 두 인수를 한 인수 아래에 나머지 다른 인수를 씁니다.

단순화를 위해 한 쌍의 세-자릿수 숫자를 생각해 보십시오. 첫 번째 숫자의 마지막 자릿수 아래에 두 번째 숫자의 마지막 자릿수를 써서 일-열을 만듭니다. 일-열의 바로 왼쪽에는 십-열이 있을 것입니다: 이 열의 위에는 첫 번째 숫자의 두 번째 자릿수가 있고 그 아래에는 두 번째 숫자의 두 번째 자릿수가 있습니다. 십-열의 바로 왼쪽은 백-열일 것입니다: 이 열의 위에는 첫 번째 숫자의 첫 번째 자릿수가 있고 그 아래에는 두 번째 숫자의 첫 번째 자릿수가 있습니다. 두 인수를 모두 쓴 후, 두 번째 인수 아래에 직선을 긋습니다.

곱셈은 두 부분으로 구성될 것입니다. 첫 번째 부분은 한-자릿수 승수를 포함하는 여러 곱셈으로 구성될 것입니다. 그러한 곱셈 각각의 연산은 이전 곱셈 알고리듬에서 이미 설명되었으므로, 이 알고리듬은 각각을 개별적으로 설명하지 않고, 오직 한-자릿수 승수를 갖는 여러 곱셈이 조정되어야 하는 방법을 설명할 것입니다. 두 번째 부분은 첫 번째 부분의 모든 부분-곱을 더하고, 결과 합이 곱일 것입니다.

첫 번째 부분. 첫 번째 인수를 피승수라고 놓습니다. 두 번째 인수의 각 자릿수를 승수라고 부른다고 놓습니다. 두 번째 인수의 일-자릿수를 "일-승수"라고 부른다고 놓습니다. 두 번째 인수의 십-자릿수를 "십-승수"라고 부른다고 놓습니다. 두 번째 인수의 백-자릿수를 "백-승수"라고 부른다고 놓습니다.

일-열부터 시작합니다. 일-승수와 피승수의 곱을 찾아 미리-정의된 열에서 곱의 자릿수를 정렬하여 줄 아래 행에 그것을 씁니다. 만약 그 곱이 넷의 자릿수를 가지면, 첫 번째 자릿수가 천-열의 시작일 것입니다. 이 곱을 "일-행"이라고 부른다로 놓습니다.

그런-다음 십-열입니다. 십-승수와 피승수의 곱을 찾아 일-행 아래에–"십-행"이라고 부름–행에 그것을 쓰지만, 한 열을 왼쪽으로 이동해야 합니다. 즉, 십-행의 일-자릿수는 일-행의 십-열에 있을 것입니다; 십-행의 십-자릿수는 일-행의 백-자릿수 아래에 있을 것입니다; 십-행의 백-자릿수는 일-행의 천-자릿수 아래에 있을 것입니다. 만약 십-행이 넷의 자릿수를 가지면, 첫 번째 자릿수는 일만-열의 시작일 것입니다.

다음으로, 백-열입니다. 백-승수와 피승수의 곱을 찾아 십-행 아래에–그것을 "백-행"이라고 부름–행에 그것을 쓰지만, 한 열을 왼쪽으로 이동해야 합니다. 즉, 백-행의 일-자릿수는 백-열에 있을 것입니다; 백-행의 십-자릿수는 천-열에 있을 것입니다; 백-행의 백-자릿수 만-열에 있을 것입니다. 만약 백-행이 넷의 자릿수를 가지면, 첫 번째 자릿수는 십만-열의 시작일 것입니다.

일-행, 십-행, 및 백-행을 내려서 쓴 후, 백-행 아래에 수평 직선을 긋습니다. 곱셈이 끝났습니다.

두 번째 부분. 이제 곱셈은 한 쌍의 직선을 가집니다. 인수의 쌍 아래의 첫 번째 줄과 부분-곱의 셋의 행 아래에 두 번째 줄이 있습니다. 두 번째 줄 아래에는 여섯 열이 있을 것이며, 오른쪽에서 왼쪽으로 일-열, 십-열, 백-열, 천-열, 만-열, 및 십만-열이 있습니다.

첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이의 일-열은 일-행에 위치된 오직 하나의 자릿수를 포함할 것입니다: 그것이 일-행의 일-자릿수입니다. 이 자릿수를 복사하여 두 번째 줄 아래의 일-열에 다시 씁니다.

첫 번째와 두 번째 줄 사이에, 십-열은 일-행과 십-행에 위치된 한 쌍의 자릿수: 일-행의 십-자릿수와 십-행의 일-자릿수를 포함할 것입니다. 이들 자릿수를 더하고 만약 그 합이 단지 하나의 자릿수를 가지면 이 숫자를 두 번째 줄 아래의 십-열에 씁니다. 만약 그 합이 두 자릿수를 가지면 첫 번째 자릿수는 올림-자릿수입니다: 두 번째 줄 아래의 십-열에 마지막 자릿수를 쓰고 첫 번째 자릿수 백-열로 올리고, 그것을 두 번째 줄 아래 아직 쓰이지 않은 백-자릿수의 위첨자로 씁니다.

첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이에, 백-열은 세 자릿수: 일-행의 배-자릿수, 십-행의 십-자릿수, 및 백-행의 일-자릿수를 포함할 것입니다. 이들 세 자릿수의 합을 참고, 그런-다음 만약 십-열에서 올림-자릿수가 있으면 (백-열에서 두 번째 줄 아래 위첨자로 쓰임) 이 올림-자릿수를 마찬가지로 더합니다. 만약 결과 합이 한 자릿수를 가지면 그것을 백-열에서 두 번째 줄 아래에 씁니다: 만약 그것이 두 자릿수를 가지면 백-열에서 줄 아래에 마지막 자릿수를 쓰고, 첫 번째 자릿수를 천-열로 올려서, 그것을 줄 아래 아직 쓰이지 않은 천-자릿수에 위첨자로 씁니다.

첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이에, 천-열은 둘 또는 셋의 자릿수: 십-행의 백-자릿수, 백-행의 십-자릿수, 및 (아마도) 일-행의 천-자릿수를 포함할 것입니다. 이들 자릿수의 합을 찾고, 만약 백-열에서 올림-자릿수가 있으며 (천-열에서 두 번째 줄 아래에 위첨자로 쓰임) 이 올림-자릿수를 마찬가지로 더합니다. 만약 결과 합이 한 자릿수를 가지면 천-열에 두 번째 줄 아래에 씁니다. 만약 그것이 둘의 자릿수를 가지면 천-열에서 줄 아래에 마지막 자릿수를 쓰고, 첫 번째 자릿수를 만-열로 올려서, 줄 아래에 아직 쓰이지 않은 만-열에 위첨자로 씁니다.

첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이에, 만-열은 한 자릿수 또는 두 자릿수: 백-열의 천-자릿수와 (아마도) 십-열의 천-자릿수를 포함할 것입니다. 이들 자릿수의 합을 구하고 (만약 십-행에 하나가 없으면 그것을 0으로 생각하십시오), 만약 천-열에서 올림-자릿수가 있으면 (만-행에서 두 번째 줄 아래에 위첨자로 쓰임) 이 올림-자릿수도 더합니다. 만약 결과 합이 한 자릿수를 가지면 그것의 만-열에서 두 번째 줄 아래에 씁니다; 마약 그것이 두 자릿수를 가지면 만-열에서 줄 아래에 마지막 자릿수를 쓰고 첫 번째 자릿수를 십만-열에 올려서, 줄 아래에 아직 쓰이지 않은 십만 자릿수에 위첨자로 씁니다. 어쨌든, 만약 백-행이 천-자릿수를 가지지 않으면 이 올림-자릿수를 위첨자로 쓰지 않지만, 정상적인 크기로 두 번째 줄 아래의 십만-자릿수의 위치에 쓰고, 곱셈 알고리듬이 끝납니다.

만약 백-행이 천-자릿수를 가지면, 그것을 이전 행에서 올림-자릿수에 더하고 (만약 올림-자릿수가 없으면 그것을 0으로 생각하십시오) 단일-자릿수 합을 두 번째 줄 아래의 십만-열에 씁니다.

두 번째 줄 아래의 숫자는 첫 번째 줄 위에 있는 인수의 쌍의 찾는 곱입니다.

Example

우리의 목표는 789와 345의 곱을 찾는 것입니다. 789 아래에 345를 셋의 열에 쓰고, 그것들 아래에 수평 직선을 긋습니다:

7	8	9
3	4	5

첫 번째 부분. 일-열로 시작합니다. 피승수는 789이고 일-승수는 5입니다. 줄 아래에 행에서 곱셈을 수행합니다:

	7	8	9
×	3	4	5
3	9⁴	4⁴	5

그런-다음 십-열입니다. 피승수는 789이고 십-승수는 4입니다. 십-행에서 곱셈을 수행하고, 일-행에서 이전 부분곱 아래에 쓰지만, 왼쪽으로 한 열 이동합니다:

		7	8	9
	×	3	4	5
	3	9⁴	4⁴	5
3	1³	5³	6

다음으로, 백-열입니다. 피승수는 다시 한 번 789이고, 백-승수는 3입니다. 백-행에서 곱셈을 수행하고, 십-행에서 이전 부분곱 아래에서 쓰지만, 왼쪽으로 하나 (더) 열을 이동합니다. 그런-다음 백-행 아래에 수평 직선을 긋습니다:

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9⁴	4⁴	5
		3	1³	5³	6
+	2	3²	6²	7

두 번째 부분. 이제 첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이에 부분곱을 더하지만, 첫 번째 줄과 두 번째 줄 사이에 있는 위첨자된 올림-자릿수는 무시합니다.

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9⁴	4⁴	5
		3	1³	5³	6
+	2	3²	6²	7
	2	7¹	2²	2¹	0	5

그 답은 다음입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 789 \times 345 = 272205} .

Division

수학(mathematics), 특히 기본 산술(arithmetic)에서, 나눗셈은 곱셈(multiplication)의 역수인 산술 연산입니다.

구체적으로 특별히, 숫자 a와 비-영 숫자 b가 주어지고, 만약 또 다른 숫자 c 곱하기 b가 a와 같으면, 즉 다음이면:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle c \times b = a}

a를 b로 나누면 c와 같습니다. 즉:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac ab = c}

예를 들어,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac 63 = 2}

왜냐하면

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 2 \times 3 = 6} .

위의 표현에서, a는 피제수(dividend), b는 제수(divisor), 및 c는 몫(quotient)이라고 불립니다. 영에 의한 나눗셈(Division by zero)은 — 여기서 제수가 영입니다 — 보통 기본 산술에서 정의되지 않은 채 남겨집니다.

Division notation

나눗셈은 그들 사이에, 역시 괄선(vinculum)이라고 불리는, 수평 직선을 갖는 제수 위에 피제수를 위치함으로써 가장 자주 표시됩니다. 예를 들어, a를 b로 나눈 것은 다음으로 쓰입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \frac ab}

이것은 "a를 b로 나누기" 또는 "b 위에 a"으로 소리 내어 읽을 수 있습니다. 나눗셈을 한 줄에 모두 표현하는 방법은 다음과 같이 피제수, 다음에 슬래시(slash), 다음에 제수를 쓰는 것입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a/b}

이것은 간단한 문자열의 수열로 쉽게 입력될 수 있기 때문에 대부분의 컴퓨터 프로그래밍 언어(programming language)에서 나눗셈을 지정하기 위한 보통의 방법입니다.

필기 또는 인쇄상의 변형은 솔리드를 사용하지만 다음과 같이 배당을 높이고 제수를 낮춥니다.

필기 또는 인쇄상의 변형은 – 이들 두 형식 사이의 중간 – 사선(solidus) (분수 슬래시)를 사용하지만 다음과 같이 피제수를 높이고 제수를 낮춥니다:

a⁄b

이들 형식의 임의의 것은 분수(fraction)를 표시하기 위해 사용될 수 있습니다. 공통 분수는 피제수와 제수가 모두 정수인 나눗셈 표현이고 (비록 전형적으로 분자와 분모라고 불림), 나눗셈이 나아가서 평가되어야 한다는 의미는 없습니다.

나눗셈을 표시하기 위한 보다 기본적인 방법은 이 방식에서 오벨루스(obelus) (또는 나눗셈 기호)를 사용하는 것입니다:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a \div b.}

이 형식은 기본 산술을 제외하고는 드뭅니다. 오벨루스는 역시, 예를 들어, 계산기(calculator)의 키의 레이블과 같이 나눗셈 연산 자체를 나타내기 위해 단독으로 사용됩니다.

영어를 사용하지 않는 일부 문화권에서, "a를 b로 나누기"는 a : b로 쓰입니다. 어쨌든, 영어 사용법에서, 콜론(colon)은 관련된 비율(ratio)의 개념을 표현하는 것으로 제한됩니다.

곱셈 테이블(multiplication tables)의 지식과 함께, 두 정수는 긴 나눗셈(long division)의 방법을 사용하여 종이 위에 나뉠 수 있습니다. 긴 나눗셈의 축약된 버전, 짧은 나눗셈(short division)은 더 작은 제수에 마찬가지로 사용될 수 있습니다.

덜 시스템적인 방법은 – 그러나 일반적으로 나눗셈의 보다 전체적인 이해로 이어집니다 – 청킹(chunking)의 개념을 포함합니다. 각 단계에서 부분 나머지에서 더 많은 배수를 뺄 수 있게 함으로써, 더 많은 자유형 방법도 개발될 수 있습니다.

대안적으로, 만약 피제수가 분수(fraction) 부분 (십진 분수(decimal fraction)로 표시됨)을 가지면, 우리는 원하는 만큼 일의 위치를 지나 알고리듬을 계속할 수 있습니다. 만약 제수가 십진 분수 부분을 가지면, 우리는 제수가 분수를 가지지 않을 때까지 두 숫자에서 십진점을 오른쪽으로 이동함으로써 문제를 다시 기술할 수 있습니다.

분수로 나누기 위해, 우리는 해당 분수의 역수 (상단 부분과 하단 부분의 위치를 거꾸로)를 곱할 수 있습니다. 예를 들어:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \textstyle{5 \div {1 \over 2} = 5 \times {2 \over 1} = 5 \times 2 = 10}}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \textstyle{{2 \over 3} \div {2 \over 5} = {2 \over 3} \times {5 \over 2} = {10 \over 6} = {5 \over 3}}}

Educational standards

지역 표준은 보통 초등 교육 수준에 포함된 교육 방법과 내용을 정의합니다. 미국과 캐나다에서, 논쟁의 여지가 있는 주제는 수동 계산과 비교한 계산기 사용의 총양을 포함하고, 전통적 수학(traditional mathematics)과 개정 수학(reform mathematics) 사이의 광범위한 논쟁을 포함합니다.^[2]

미국에서, 1989년 NCTM 표준은 초등학교에서 초등 수학으로 고려되는 내용을 많이 강조하지 않거나 생략하는 교육 과정이 만들어지고, 대수, 통계와 문제 해결, 및 대부분의 성인에게 익숙하지 않은 비표준 계산 방법과 같이 대학에서 전통적으로 연구되는 주제에 중점을 두는 커리큘럼으로 이어졌습니다.

Tools

주판(abacus)은 아직 아시아의 많은 지역에서 사용되는 기본 산술을 수행하기 위한 초기 기계 장치입니다. 기본 산술 연산을 수행하는 현대적인 계산 도구는 금전 등록기(cash register), 전자 계산기(calculator), 및 컴퓨터를 포함합니다.

References

^ "U.S. Traditional Subtraction (Standard)" (PDF). Everyday Mathematics Online. Retrieved June 25, 2019.
^ Star, Jon R.; Smith, John P.; Jansen, Amanda (2008). "What Students Notice as Different between Reform and Traditional Mathematics Programs". Journal for Research in Mathematics Education. 39 (1): 9–32. doi:10.2307/30034886. ISSN 0021-8251. JSTOR 30034886.

External links

"A Friendly Gift on the Science of Arithmetic" is an Arabic document from the 15th century that talks about basic arithmetic.

[1] "U.S. Traditional Subtraction (Standard)" (PDF). Everyday Mathematics Online. Retrieved June 25, 2019.

[2] Star, Jon R.; Smith, John P.; Jansen, Amanda (2008). "What Students Notice as Different between Reform and Traditional Mathematics Programs". Journal for Research in Mathematics Education. 39 (1): 9–32. doi:10.2307/30034886. ISSN 0021-8251. JSTOR 30034886.

[1]

[2]

The digits

Addition

Adding two natural numbers

Addition algorithm

Example

Successorship and size

Counting

Subtraction

Multiplication

What does it mean to multiply two natural numbers?

Multiplication algorithm for a single-digit factor

Example

Multiplication algorithm for multi-digit factors

Example

Division

Division notation

Educational standards

Tools

See also

References

External links