Division (mathematics)

Original article: w:Division (mathematics)

"Divided" redirects here. For other uses, see Divided (disambiguation).

20 / 4 = 5, illustrated here with apples. This is said verbally, "Twenty divided by four equals five."

나눗셈(Division)은 산술(arithmetic)의 네 가지 기본 연산 중 하나이며, 숫자는 새로운 숫자를 만들기 위해 결합되는 방법입니다. 다른 연산은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 및 곱셈(multiplication)입니다 (곱셈은 나눗셈의 역으로 보일 수 있습니다). 나눗셈 기호(division sign) ÷, 위에 점과 아래에 또 다른 점을 갖는 짧은 수평 직선으로 구성된 기호는 종종 수학적 나눗셈을 나타내기 위해 사용됩니다. 이 사용법은, 영어권 국가(anglophone countries)에서 널리 퍼져 있지만, 보편적이거나 권장되지는 않습니다: 수학적 표기법(mathematical notation)에 대한 ISO 80000-2 표준은 나눗셈에 대해 오직 사선(solidus) / 또는 분수 막대(fraction bar), 또는 비율(ratio)에 대해 콜론을 권장합니다; 그것은 이 기호가 나눗셈에 대해 "사용되지 않아야 함"을 말합니다.

초등 수준에서 두 자연수(natural number)의 나눗셈은 – 다른 가능한 해석 중에서 – 하나의 숫자가 다른 숫자 내에 포함된 횟수를 계산하는 과정입니다. 이 횟수는 항상 정수(integer) (자연수에 대한 다른 산술 연산을 사용하여 얻어질 수 있는 숫자)는 아니며, 이것은 두 가지 다른 개념으로 이어졌습니다.

두 자연수(natural numbers)의 나머지를 갖는 나눗셈(division with remainder) 또는 유클리드 나눗셈(Euclidean division)은 두 번째 것이 첫 번째 것에 포함된 횟수인 몫과 몫을 계산하는 과정에서 두 번째 숫자 크기의 전체 덩어리가 더 이상 할당될 수 없는, 남겨지게 되는 첫 번째 숫자의 일부인 나머지를 제공합니다.

오직 단일 결과를 산출하기 위해 이 나눗셈의 수정에 대해, 자연수는 유리수(rational number) (자연수에 대한 산술을 사용함으로써 얻어질 수 있는 숫자) 또는 실수(real number)로 확장되어야 합니다. 이들 확대된 숫자 시스템(number system)에서, 나눗셈은 곱셈에 대한 역 연산, b가 영이 아닌 한, 즉 a = c / b가 a × b = c를 의미하는 것입니다. 만약 b = 0이면, 이것은 영에 의한 나눗셈(division by zero)이며, 정의되지 않습니다.

나눗셈의 두 형식은 다양한 대수적 구조(algebraic structure), 수학적 구조를 정의하는 다른 방법으로 나타납니다. (나머지를 갖는) 유클리드 나눗셈이 정의된 그것들은 유클리드 도메인(Euclidean domain)이라고 불리고 하나의 불확정(indeterminate)에서 다항식 링(polynomial ring)을 포함합니다 (이것은 단일-변수 공식에 걸쳐 곱셈과 덧셈을 정의합니다). (단일 결과를 갖는) 모든 비-영 요소에 의한 나눗셈이 정의된 그것들은 필드(fields) 및 나눗셈 링(division ring)이라고 불립니다. 링(ring)에서, 나눗셈이 항상 가능한 원소는 단위(units)라고 불립니다 (예를 들어, 정수의 링에서 1과 –1이 있습니다). 대수적 구조에 대한 나눗셈의 또 다른 일반화는 몫 그룹(quotient group)이며, 이것에서 '나눗셈'의 결과는 숫자가 아닌 그룹입니다.

Introduction

나눗셈을 바라보는 가장 간단한 방법은 몫과 분할(quotition and partition)의 관점에 있습니다: 몫 배경으로부터, 20 / 5은 20을 얻기 위해 더해져야 하는 5들의 숫자를 의미합니다. 분할의 관점에서, 20 / 5은 크기 20의 집합이 나누어지게 되는 5 부분의 각각의 크기를 의미합니다. 예를 들어, 20 사과는 4 사과의 다섯 그룹으로 나누며, 5로 나누어진 20은 4와 같습니다를 의미합니다. 이것은 20 / 5 = 4, 또는 20/5 = 4으로 표시됩니다. 나누려는 것이 dividend라고 불리며, 이것은 divisor에 의해 나누어지고, 그 결과는 몫이라고 불립니다. 예제에서, 20은 피제수, 5는 제수이고 4는 몫입니다.

다른 기본 연산과 달리, 자연수를 나눌 때 때때로 피제수를 균등하게 들어가지 않는 나머지(remainder)가 있습니다; 예를 들어, 10 / 3은 1의 나머지를 남기는데 왜냐하면 10은 3의 배수가 아니기 때문입니다. 때때로 이 나머지는 분수 부분(fractional part)으로 몫에 더해지므로, 10 / 3은 3+1/3 또는 3.33...과 같지만, 정수(integer) 나눗셈의 문맥에서, 여기서 숫자는 분수 부분을 가지지 않으며, 나머지는 따로 유지됩니다 (예외적으로, 버려지거나 반올림(rounded)됩니다). 나머지가 분수로 유지될 때, 그것은 유리수(rational number)로 이어집니다. 모든 유리수의 집합은 모든 가능한 정수의 나눗셈의 결과를 갖는 정수로 확장됨으로써 생성됩니다.

곱셈과 덧셈과 달리, 나눗셈은 교환적(commutative)이지 않으며, a / b는 b / a와 항상 같은 것은 아님을 의미합니다. 나눗셈은 역시, 일반적으로, 결합적(associative)이지 않으며, 여러번 나눌 때, 나눗셈의 순서는 결과를 변경할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어, (20 / 5) / 2 = 2이지만, 20 / (5 / 2) = 8입니다 (여기서 괄호의 사용은 괄호 내부 연산이 괄호 밖의 연산 전에 수행됨을 나타냅니다).

어쨌든, 나눗셈은 전통적으로 왼쪽-결합적(left-associative)으로 고려됩니다. 즉, 만약 행에서 여러 나눗셈이 있으면, 계산의 순서는 왼쪽에서 오른쪽으로 갑니다:

$a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\neq a/(b/c)=(a\times c)/b.$

나눗셈은 덧셈과 뺄셈에 걸쳐 오른쪽-분배적(right-distributive)이며, 다음의 의미에서 그렇습니다:

${\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.$

이것은 곱셈(multiplication)에 대해 같은데, 왜냐하면 $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$이기 때문입니다. 어쨌든, 나눗셈은 왼쪽-분배적(left-distributive)이 아닌데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

${\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\neq (a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.$

이것은 곱셈에서 경우와 다르며, 곱셈은 왼쪽-분배적이고 오른쪽 분배적이고, 따라서 분배적(distributive)입니다.

Notation

Plus and minuses. An obelus used as a variant of the minus sign in an excerpt from an official Norwegian trading statement form called «Næringsoppgave 1» for the taxation year 2010.

나눗셈은 종종, 그들 사이에 분수 막대(fraction bar)라고 불리는, 수평 직선과 함께 제수 위에 피제수를 위치시킴으로써 대수와 과학에서 보입니다. 예를 들어, "b에 의해 나누어진 a"는 다음처럼 쓸 수 있습니다:

${\frac {a}{b}}$

이것은 역시 "a를 b로 나눔" 또는 "b 위에 a"로 소리내어 읽을 수 있습니다. 나눗셈을 모두 한 줄에 표현하기 위한 방법은 다음처럼 피제수 (또는 분자), 다음에 슬래시(slash), 다음에 제수 (또는 분모)를 쓰는 것입니다:

$a/b$

이것은 대부분의 컴퓨터 프로그래밍 언어(programming language)에서 나눗셈을 지정하는 보통의 방법인데, 왜냐하면 그것은 아스키(ASCII) 문자의 단순한 수열로 쉽게 입력될 수 있기 때문입니다. 매트랩(MATLAB) 및 GNU 옥타브(GNU Octave)와 같은 일부 수학 소프트웨어(mathematical software)는 나눗셈 연산자로 백슬러시(backslash)를 사용함으로써 반대 순서에서 피연산자를 쓰는 것을 허용합니다:

$b\backslash a$

이들 두 형식 사이에 중간에 있는 인쇄상의 변형은 솔리더스(solidus) (분수 슬래시)를 사용하지만, 피제수를 높이고 제수를 더 낮춥니다:

${}^{a}/{}_{b}$

이들 형식의 임의의 것이 분수(fraction)를 표시하기 위해 사용될 수 있습니다. 분수는 피제수와 제수 둘 다가 정수(integer) (전형적으로 분자와 분모라고 불림)인 나눗셈 표현이고, 나눗셈을 추가로 평가해야 한다는 의미는 없습니다. 나눗셈을 표시하기 위한 두 번째 방법은, 이 방식으로, 산술에서 공통적으로 나눗셈 기호(division sign) (÷, 비록 항이 추가적인 의미가 있지만 오벨루스(obelus)라고 역시 알려짐)를 사용하는 것입니다:

$a\div b$

이 형식은 기본 산술을 제외하고는 드문 것입니다. ISO 80000-2-9.6은 그것이 사용되어서는 안된다고 명시하고 있습니다. 이 나눗셈 기호는 예를 들어 계산기(calculator) 키의 레이블과 같이 나눗셈 연산 자체를 나타내기 위해 역시 단독으로 사용됩니다. 오벨루스는 1659년에 스위스 수학자 요한 한(Johann Rahn)에 의해 Teutsche Algebra에서 소개되었습니다. 기호 ÷는 일부 유럽 국가에서 뺄셈을 나타내기 위해 사용되므로, 그것의 사용은 오해를 받을 수 있습니다.

일부 비-영어(English)-권 국가에서, 콜론이 나눗셈을 나타내기 위해 사용됩니다:

$a:b$

이 표기법은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해 1684년에 Acta eruditorum에서 소개되었습니다. 라이프니츠는 비율과 나눗셈에 대해 별도의 기호를 가지는 것을 싫어했습니다. 어쨌든, 영어 사용에서 콜론(colon)은 비율(ratio)의 관련된 개념을 표현하기 위해 제한됩니다.

19세기 이래로, 미국 교과서는, 특히 긴 나눗셈(long division)을 논의할 때, a를 b로 나눈 것을 나타내기 위해 $b)a$ 또는 $b{\overline {)a}}$를 사용해 왔습니다. 이 표기법의 역사는, 그것이 시간이 지남에 따라 진화했기 때문에, 완전히 명확하지는 않습니다.

Computing

Main articles: Long division and Division algorithm

Manual methods

나눗셈은 대상의 집합, 예를 들어 막대 사탕의 더미를 같은 부분의 숫자로 "함께 분배하는 것"의 개념을 통해 종종 도입됩니다. 분배하는 각 순회에서 한 번에 여러 대상을 각 부분에 분배하는 것은 '덩어리짓기(청킹)'의 아이디어로 이어집니다 – 덩어리짓기는 피제수 자체에서 제수의 배수를 반복적으로 빼는 나눗셈의 형식입니다.

주어진 단계에서 부분적인 나머지가 허용되는 것보다 더 많은 배수를 빼는 것을 허용함으로써, 덩어리짓기의 양방향 변형과 같은, 보다 유연한 방법이 마찬가지로 개발될 수 있습니다.

보다 체계적이고 더 효율적인 (그러나 역시 보다 공식화되고, 보다 규칙-기반이고, 나눗셈이 무엇을 달성하는지에 대한 전체로의 전체론적 그림에서 보다 제거되는), 곱셈 테이블(multiplication tables)을 아는 사람은, 만약 제수가 작으면, 짧은 나눗셈(short division), 또는 만약 제수가 더 크면, 긴 나눗셈(long division)의 방법을 사용하여, 연필과 종이로 두 정수를 나눌 수 있습니다. 만약 피제수가 (십진 분수(decimal fraction)로 표시되는) 분수(fractional) 부분을 가지면, 우리는 원하는 만큼 멀리 자리를 지나 알고리듬을 계속할 수 있습니다. 만약 제수가 분수 부분을 가지면, 우리는 제수가 분수를 가지지 않을 때까지 두 숫자에서 십진점을 오른쪽으로 이동함으로써 문제를 다시-말할 수 있습니다.

사람들은 주판(abacus)으로 나눗셈을 계산할 수 있습니다.

사람들은 두 숫자를 나누기 위해 로그 테이블(logarithm tables)을 사용할 수 있으며, 두 숫자의 로그를 빼고, 그런-다음 그 결과의 역-로그를 찾음으로써 계산됩니다.

사람은 C 스케일에 대한 제수를 D 스케일에 대한 피제수와 정렬함으로써 미끄럼 자(slide rule)로 나눗셈을 계산할 수 있습니다. 몫은 C 스케일에 대한 왼쪽 인덱스와 정렬된 D 스케일에서 찾아질 수 있습니다. 사용자는, 어쨌든, 십진 점의 변화를 머릿속에서 추적할 책임이 있습니다.

By computer or with computer assistance

현대 컴퓨터는, 수치 해석으로부터 근사 기법에 의존하는 보다 효율적인 방법과 함께, 긴 나눗셈보다 더 빠른 방법으로 나눗셈을 계산합니다. 나머지와 함께 나눗셈(division with remainder)에 대해, 나눗셈 알고리듬(Division algorithm)을 참조하십시오.

모듈러 산술(modular arithmetic) (모듈로 소수) 및 실수(real numbers)에 대해, 비-영 숫자는 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가집니다. 이들 경우에서, x에 의한 나눗셈은 x의 곱셈 역에 의한 곱으로 계산될 수 있습니다. 이 접근은 종종 컴퓨터 산술에서 더 빠른 방법과 관련됩니다.

Division in different contexts

Euclidean division

Main article: Euclidean division

유클리드 나눗셈은 정수의 나눗셈의 보통 과정의 결과의 수학적 공식화입니다. 그것은 두 정수, 피제수 a와 b ≠ 0을 만족하는 제수 b가 주어지면, a = bq + r 및 0 ≤ r < |b|을 만족하는 고유한(unique) 정수 몫 q와 나머지 r이 존재함을 주장하며, 여기서 |b|는 b의 절댓값(absolute value)을 나타냅니다.

Of integers

정수는 나눗셈 아래에서 닫혀(closed)있지 않습니다. 영에 의한 나눗셈이 정의되지 않은 것과는 별개로, 몫은 피제수가 제수의 정수 배수가 아니면 정수가 아닙니다. 예를 들어, 26은 11로 나누어 정수를 제공할 수 없습니다. 그러한 경우는 다음 5 가지 접근 방식 중 하나를 사용합니다:

1. 26은 11로 나눌 수 없다고 말합니다; 나눗셈은 부분 함수(partial function)가 됩니다.
2. "실수(real)"로 근사적인 답을 제공합니다. 이것은 보통 수치 계산(numerical computation)에서 취하는 접근 방법입니다.
3. 유리수(rational number)를 나타내는 분수(fraction)로 답을 제공하며, 따라서 11에 의한 26의 나눗셈의 결과는 ${\tfrac {26}{11}}$입니다 (또는 혼합된 숫자(mixed number)로, 따라서 ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}$입니다.) 보통 결과 분수는 단순화되어야 합니다: 22에 의한 52의 나눗셈의 결과는 역시 ${\tfrac {26}{11}}$입니다. 이 단순화는 최대 공통 약수(greatest common divisor)를 인수로 묶어냄으로써 행해질 수 있습니다.
4. 답을 정수 몫(quotient)과 나머지(remainder)로 제공하며, 따라서 ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4$입니다. 이전 사례와 구별을 만들기 위해, 결과로 두 정수를 갖는 이 나눗셈은 때때로 유클리드 나눗셈(Euclidean division)으로 불리는데, 왜냐하면 그것은 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)의 기초이기 때문입니다.
5. 정수 몫을 답으로 제공하며, 따라서 ${\tfrac {26}{11}}=2$입니다. 이것은 때때로 정수 나눗셈이라고 불립니다.

컴퓨터 프로그램(computer program)에서 정수를 나누는 것은 특별한 주의를 욕구합니다. C와 같은 일부 프로그래밍 언어(programming language)는 위의 경우 5에서 처럼 정수 나누기를 처리하므로, 그 답은 정수입니다. MATLAB 및 모든 각 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system)과 같은 다른 언어는 위의 경우 3에서 처럼 유리수를 답으로 반환합니다. 이들 언어는 직접 또는 경우 3의 결과에서 다른 경우의 결과를 얻기 위해 역시 함수를 제공합니다.

정수 나눗셈에 대해 사용된 이름과 기호는 div, /, \, 및 %를 포함합니다. 정의는 피제수 또는 제수가 음수일 때 정수 나눗셈에 관련하여 달라집니다: 반올림은 영을 향해 (소위 T-나눗셈) 또는 −∞을 향해 (F-나눗셈) 일 수 있습니다; 드문 스타일이 발생할 수 있습니다 – 자세한 내용에 대해 모듈로 연산(Modulo operation)을 참조하십시오.

나눗셈 규칙(Divisibility rule)은 때때로 한 정수가 다른 정수로 정확히 나누는지 여부를 신속하게 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.

Of rational numbers

두 유리수(rational number)를 나눈 것의 결과는 제수가 0이 아닐 때 또 다른 유리수입니다. 두 유리수 p/q 및 r/s의 나눗셈은 다음으로 계산될 수 있습니다:

${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

모든 네 양은 정수이고, 오직 p가 0일 수 있습니다. 이 정의는 나눗셈이 곱셈(multiplication)의 역 연산임을 보장합니다.

Of real numbers

두 실수(real number)의 나눗셈은 (제수가 비-영일 때) 또 다른 실수를 초래합니다. 그것은 a/b = c인 것과 a = cb와 b ≠ 0인 것은 필요충분 조건을 만족하도록 정의됩니다.

Of complex numbers

두 복소수(complex number)를 나눈 것은 (제수가 비-영일 때) 또 다른 복소수를 초래하며, 이것은 분모의 켤레를 사용하여 구해집니다:

${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

$r-is$에 의한 곱하는 것과 나누는 것의 과정은 '실수화(realisation)' 또는 (유사성에 의해) 유리화(rationalisation)라고 불립니다. 모든 네 양 p, q, r, s은 실수이고, r과 s는 동시에 0일 수는 없습니다.

극 형식에서 표현된 복소수에 대해 나눗셈은 위의 정의보다 더 단순합니다:

${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.$

다시 모든 네 양 p, q, r, s은 실수이고, r과 s는 동시에 0일 수는 없습니다.

Of polynomials

우리는 필드(field)에 걸쳐 한 변수에서 다항식(polynomial)에 대해 나눗셈 연산을 정의할 수 있습니다. 그런-다음, 정수의 경우에서 처럼, 우리는 나머지를 가집니다. 다항식의 유클리드 나눗셈(Euclidean division of polynomials)과, 손으로-쓰는 계산에 대해, 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division) 또는 조립 제법(synthetic division)을 참조하십시오.

Of matrices

우리는 행렬에 대한 나눗셈 연산을 정의할 수 있습니다. 이것을 행하는 보통의 방법은 A / B = AB⁻¹를 정의하는 것이며, 여기서 B⁻¹는 B의 역(inverse)을 나타내지만, 혼동을 피하기 위해 명시적으로 AB⁻¹로 쓰는 것이 훨씬 더 공통적입니다. 원소별 나눗셈(elementwise division)은 아다마르 곱(Hadamard product)의 관점에서 역시 정의될 수 있습니다.

Left and right division

행렬 곱셈(matrix multiplication)은 교환적(commutative)이 아니기 때문에, 우리는 왼쪽 나눗셈(left division) 또는 소위 백슬러시 나눗셈을 A \ B = A⁻¹B으로 역시 정의할 수 있습니다. 이것이 잘 정의되려면, B⁻¹가 존재할 필요는 없지만, A⁻¹은 존재해야 합니다. 혼동을 피하기 위해, A / B = AB⁻¹로 정의된 나눗셈은 이 문맥에서 오른쪽 나눗셈 또는 슬러시-나눗셈이라고 때때로 불립니다.

이 방법으로 정의된 왼쪽 및 오른쪽 나눗셈과 함께, A / (BC)는 일반적으로 (A / B) / C와 같지 않고, (AB) \ C는 A \ (B \ C)와 같지 않습니다. 어쨌든, 그것은 A / (BC) = (A / C) / B 및 (AB) \ C = B \ (A \ C)임을 유지합니다.

Pseudoinverse

A⁻¹ 및/또는 B⁻¹가 존재하지 않을 때 문제를 피하기 위해, 나눗셈은 유사-역(pseudoinverse)에 의한 곱셈으로 역시 정의될 수 있습니다. 즉, A / B = AB⁺ 및 A \ B = A⁺B이며, 여기서 A⁺와 B⁺는 A와 B의 유사-역을 나타냅니다.

Abstract algebra

추상 대수학(abstract algebra)에서, 이항 연산 ∗ (명목상 곱셈이라고 할 수 있음)과 함께 마그마(magma)가 주어지면, a에 의한 b의 (a \ b로 쓰이는) 왼쪽 나눗셈은 전형적으로, 만약 이것이 존재하고 고유하면, 방정식 a ∗ x = b에 대한 해 x로 정의됩니다. 비슷하게, a에 의한 b의 (b / a로 쓰이는) 오른쪽 나눗셈은 방정식 y ∗ a = b에 대한 해 y입니다. 이 의미에서 나눗셈은 ∗를 (교환성, 결합성, 또는 항등 원소와 같은) 임의의 특정 속성을 가지도록 요구하지 않습니다.

"취소"의 의미에서 "나눗셈"은 취소 속성(cancellation property)을 갖는 원소에 의한 임의의 마그마에서 행해질 수 있습니다. 예제는 행렬(matrix) 대수와 쿼터니언(quaternion) 대수를 포함합니다. 준-그룹(quasigroup)은 나눗셈이 항상 가능한 것에서, 심지어 항등 원소없고 따라서 역이 없는 구조입니다. 모든 각 원소가 역을 가질 필요가 없는 정수 도메인(integral domain)에서, 취소 원소 a에 의한 나눗셈은 각각 왼쪽 또는 오른쪽 취소에 의해 형식 ab 또는 ca의 원소에 대해 여전히 수행될 수 있습니다. 만약 링(ring)이 유한이고 모든 각 비-영 원소가 취소적이면, 비둘기집 원리(Pigeonhole principle)의 적용에 의해, 링의 모든 각 비-영 원소가 역-가능이고, 임의의 비-영 원소에 의한 나눗셈은 가능합니다. 대수는 (기술적인 의미에서) 나눗셈 연산을 가질 때에 대한 것을 배우기 위해, 나눗셈 대수(division algebra)에 대한 페이지를 참조하십시오. 특히 보트 주기성(Bott periodicity)이 임의의 실수(real) 노름된 나눗셈 대수는 실수 R, 복소수(complex number) C, 쿼터니언(quaternion) H, 또는 옥토니언(octonion) O와 동형(isomorphic)이어야 함을 보여주기 사용될 수 있습니다.

Calculus

두 함수의 몫의 도함수(derivative)는 몫 규칙(quotient rule)에 의해 제공됩니다:

${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

Division by zero

Main article: Division by zero

대부분의 수학 시스템에서 영(zero)에 의한 임의의 숫자의 나눗셈은 정의되지 않는데, 왜냐하면 임의의 유한 숫자를 곱해진 영은 항상 영의 곱(product)을 초래하기 때문입니다. 그러한 표현을 대부분의 계산기(calculator)에 입력하면 오류 메시지를 생성합니다. 어쨌든, 특정 더 높은 수준 수학에서, 영에 의한 나눗셈은 영 링(zero ring)과 바퀴(wheels)와 같은 대수에 의해 가능합니다. 이들 대수에서, 나눗셈의 의미는 전통적인 정의와 다릅니다.

See also

• 400AD Sunzi division algorithm
• Division by two
• Galley division
• Inverse element
• Order of operations
• Repeating decimal

External links

• Planetmath division
• Division on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
• Chinese Short Division Techniques on a Suan Pan
• Rules of divisibility