Equipollence (geometry)

Original article: w:Equipollence (geometry)

Symbol for equipollence

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 등평성(equipollence)은 방향화된 선분(directed line segment) 사이의 이항 관계(binary relation)입니다. 점 A에서 점 B까지의 선분 AB는 선분 BA와 반대 방향을 가집니다. 둘의 평행(parallel) 선분은 그것들이 같은 길이와 방향을 가질 때 등평적(equipollent)입니다.

Parallelogram property

If the segments AB and CD are equipollent, then AC and BD are also equipollent

유클리드 공간의 결정적인 특색은 벡터의 평행사변형 속성입니다: 만약 둘의 선분이 등평적이면, 그것들은 평행사변형(parallelogram)의 두 변을 형성합니다:

만약 주어진 벡터가 b와 b, c와 d 사이를 유지하면, a와 c 사이를 유지하는 벡터는 b와 d 사이를 유지하는 벡터와 같습니다.

— Bertrand Russell, The Principles of Mathematics, page 432

History

등평적 선분의 개념은 1835년에 쥬스토 벨라비데스(Giusto Bellavitis)에 의해 발전되었습니다. 그 후 용어 vector는 등평적 선분의 클래스에 채택되었습니다. 벨라비데스는 다르지만 유사한 대상을 비교하기 위해 관계(relation)의 아이디어의 사용은 특히 동치 관계의 사용에서 공통적인 수학적 기술이 되어 왔습니다. 벨라비데스는 선분 AB와 CD의 동전성에 대해 특별한 표기법을 사용했습니다:

$AB\bumpeq CD.$

Michael J. Crowe에 의해 번역된 다음 구절은 벨라비데스가 벡터(vector) 개념에 대해 가지고 있던 예상을 보여줍니다:

등평성은 하나가 그것 안에 직선을 대체할 때 계속 유지되며, 다른 직선은 각각 그것들에 등평적이며, 어쨌든 그것들은 공간에 위치될 수 있습니다. 이것으로부터 임의의 숫자와 임의의 종류의 직선이 어떻게 합해질 수 있는지, 및 이들 선을 어떤 순서로 취하든지, 같은 등평적-합이 얻어질 수 있다는 것을 이해할 수 있습니다...

등평성에서, 방정식에서 처럼, 직선은 부호가 변경된다는 조건 아래에서 한 변에서 다른 변으로 이동할 수 있습니다...

따라서 반대편으로 방향화된 선분은 서로의 음수입니다: $AB+BA\bumpeq 0.$

등평성 $AB\bumpeq n.CD$은, 여기서 n은 양수를 의미하며, AB가 CD와 둘 다 평행하고 같은 방향을 가지고, 그것들의 길이가 AB = n.CD에 의해 표현된 관계를 가진다고 나타냅니다.

A에서 B까지 선분은 경계 벡터이지만, 그것에 등평적 선분의 클래스는 유클리드 벡터(Euclidean vector)의 어구에서 자유 벡터(free vector)입니다.

Extension

기하학적 등평성은 역시 구에서 사용됩니다:

해밀턴(Hamilton)의 방법을 이해하기 위해, 먼저 유클리드 삼-차원 공간에서 아벨 그룹의 평행이동의 훨씬 더 간단한 경우를 상기해 보십시오. 각 평행이동은 공간에서 벡터로 나타낼 수 있으며, 오직 방향과 크기가 중요하고, 위치는 관련이 없습니다. 두 평행이동의 합성은 벡터 덧셈의 머리-에서-꼬리까지 평행사변형 규칙에 의해 제공됩니다; 그리고 역을 취하는 것은 방향을 전환하는 것과 같습니다. 헤밀턴의 회전 이론에서, 우리는 아벨 평행이동 그룹에서 비-아벨 SU(2)로의 그러한 그림의 일반화를 가집니다. 공간에서 벡터 대신, 우리는 유클리드 삼-차원 공간에서 단위 구 S²에서 길이 < $\pi$의 방향화된 큰 원 호를 다룹니다. 둘의 그러한 호는 만약 그것의 큰 원을 따라 하나를 미끄러짐으로써 다른 호와 일치하도록 만들 수 있으면 동등한 것으로 여겨집니다.

구의 큰 원에서, 둘의 방향화된 원형 호(circular arc)는 그것들이 방향과 호 길이에서 일치할 때 등평적입니다. 그러한 호의 동치 클래스는 쿼터니언(quaternion) 버서(versor)와 연결됩니다:

$\exp(ar)=\cos a+r\sin a,$

여기서 a는 호 길이이고 r은 직교성에 의해 큰 원의 평면을 결정합니다.

References

• Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, link from Google Books.

• Charles-Ange Laisant (1874): French translation with additions of Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, link from Google Books.

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, link from HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence, Gauthier-Villars, link from University of Michigan Historical Math Collection.
• Lena L. Severance (1930) The Theory of Equipollences; Method of Analytical Geometry of Sig. Bellavitis, link from HathiTrust.

External links

• Axiomatic definition of equipollence