Axis–angle representation

수학(mathematics)에서, 회전의 축–각도 표현(axis–angle representation)은 삼-차원 유클리드 공간에서 회전을 두 가지 수량으로 매개변수화합니다: 회전 축의 방향을 나타내는 단위 벡터 $e$ 와 회전 축에 대한 회전의 크기를 설명하는 각도 $θ$ . $e$ 의 크기가 제한되어 있기 때문에 원점에 뿌리를 둔 단위 벡터 $e$ 의 방향을 정의하는 데 세 개가 아닌 두 개의 숫자만 필요합니다. 예를 들어, $e$ 의 고도각과 방위각은 임의의 특정 데카르트 좌표 시스템에 위치시키기에 충분합니다.

로드리게스의 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)에 의해 각도와 축은 삼-차원 벡터를 회전시키는 변환을 결정합니다. 회전은 오른쪽-손 규칙(right-hand rule)에 의해 규정된 의미에서 발생합니다. 회전 축은 때때로 오일러 축(Euler axis)이라고 불립니다.

그것은 3차원에서 많은 회전 형식 중 하나입니다. 축–각도 표현은 3차원 공간에서 강체의 임의의 회전 또는 일련의 회전이 단일 고정된 축에 대한 순수한 회전과 동등하다는 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)에 근거합니다.

Rotation vector

축–각도 표현은 역시 오일러 벡터(Euler vector)라고 불리는 보다 간결한 회전 벡터(rotation vector)와 동등합니다. 이 경우에서, 회전 축과 각도 둘 다는 길이가 회전 각도 $θ$ 인 회전 축과 공동-방향인 벡터에 의해 표현됩니다: ${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.$ 그것은 이 표현과 관련된 지수(exponential)와 로그(logarithm) 맵에 사용됩니다.

많은 회전 벡터는 같은 회전에 해당합니다. 특히, 임의의 정수 $M$ 에 대해 길이 $θ + 2 πM$ 의 회전 벡터는 길이 $θ$ 의 회전 벡터와 정확하게 같은 회전을 인코딩합니다. 따라서, 임의의 회전에 대응하는 회전 벡터의 적어도 셀-수-있는 무한대가 있습니다. 게다가, $2 πM$ 만큼의 모든 회전은 전혀 회전하지 않는 것과 같으므로, 주어진 정수 $M$ 에 대해, 길이 $2 πM$ 의 모든 회전 벡터는, 모든 방향에서, 영 벡터와 같은 회전을 인코딩하는 회전 벡터의 2개-매개변수 셀-수-없는 무한대를 구성합니다. 이들 사실은 지수 맵을 뒤집을 때, 즉, 주어진 회전 행렬에 해당하는 회전 벡터를 찾을 때 고려되어야 합니다. 지수 맵은 위로의(onto)이지만 일-대-일(one-to-one)은 아닙니다.

Example

당신이 지면에 서 있고 중력의 방향을 음의 $z$ 방향으로 선택했다고 가정해 보십시오. 그런-다음 왼쪽으로 돌면 $-z$ 축을 기준으로 $-π / 2$ 라디안 (또는 -90°)만큼 회전합니다. 축-각도 표현을 순서화된 쌍(ordered pair)으로 보면, 다음과 같습니다: $(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).$

위의 예제는 $z$ 방향을 가리키는 $π / 2$ 크기의 회전 벡터로 나타낼 수 있습니다: ${\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.$

Uses

축-각도 표현은 강체 동역학(rigid body dynamics)을 다룰 때 편리합니다. 그것은 회전(rotations)을 특성화하고 동차 변환과 비틀기와 같은 강체 운동(motion)의 서로 다른 표현 사이에 변환하는 데 유용합니다.

강체가 고정된 축을 중심으로 회전할 때, 축-각도 데이터는 상수(constant) 회전 축이고 회전 각도는 시간에 따라 연속적으로 의존합니다.

3개의 고윳값 1과 $e \pm iθ$ 와 데카르트 표현에서 그것들의 결합된 3개의 직교 축을 머서의 정리(Mercer's theorem)에 끼워 넣으면 회전 행렬의 데카르트 표현을 3차원으로 편리하게 구성할 수 있습니다.

Rotating a vector

올랑드 로드리게스(Olinde Rodrigues)의 이름을 딴 로드리게스의 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)은 회전 축과 회전 각도가 주어지면 유클리드 벡터를 회전하는 데 효율적인 알고리듬입니다. 다시 말해서, 로드리게스의 공식은 전체 행렬 지수를 계산 없이 ${\mathfrak {so}}(3)$ 에서 $SO(3)$ 로의 지수 맵을 계산하기 위한 알고리듬을 제공합니다.

만약 $v$ 가 $R 3$ 에서 벡터이고 $e$ 가 $v$ 가 각도 $θ$ 만큼 회전되는 회전 축을 설명하는 원점에 뿌리를 둔 단위 벡터(unit vector)이면, 회전된 벡터를 얻기 위한 로드리게스의 회전 공식은 다음과 같습니다: $\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.$

단일 벡터의 회전에 대해, $e$ 와 $θ$ 를 회전 행렬로 변환하여 벡터를 회전시키는 것보다 더 효율적일 수 있습니다.

Relationship to other representations

회전을 나타내는 여러 가지 방법이 있습니다. 서로 다른 표현이 서로 어떻게 관련되어 있는지, 그리고 표현 사이에서 변환하는 방법을 이해하는 것이 유용합니다. 여기서 단위 벡터는 $e$ 대신 $ω$ 로 표시됩니다.

Exponential map from 𝔰𝔬(3) to SO(3)

지수 맵(exponential map)은 회전의 축-각도 표현에서 회전 행렬(rotation matrices)로의 변환에 영향을 줍니다: $\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.$

필수적으로, 테일러 전개(Taylor expansion)를 사용함으로써 이들 두 표현 사이의 닫힌-형식 관계를 도출합니다. 단위 회전 축을 나타내는 단위 벡터 ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ 와, 각도 $θ \in R$ 가 주어졌을 때, 동등한 회전 행렬 $R$ 은 다음과 같이 주어지며, 여기서 $K$ 는 $ω$ 의 교차 곱 행렬, 즉, 모든 벡터 $v \in R 3$ 에 대해 $Kv = ω \times v$ 이며, $R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots$

$K$ 는 반-대칭적(skew-symmetric)이고, 위의-대각선 엔트리의 제곱의 합이 1이기 때문에, $K$ 의 특성 다항식(characteristic polynomial) $P (t)$ 는 $P (t) = det(K - t I) = -(t 3 + t)$ 입니다. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)에 의해, $P (K)$ 이기 때문에, 이것은 다음임을 의미합니다: $\mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.$ 결과로써, $K 4 = - K 2$ , $K 5 = K$ , $K 6 = K 2$ , $K 7 = - K$ .

이 순환 패턴은 무한정 계속되고, 따라서 $K$ 의 모든 더 높은 거듭제곱은 $K$ 와 $K 2$ 으로 표현될 수 있습니다. 따라서, 위의 방정식으로부터, 다음임이 따라옵니다: $R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,$ 즉, 삼각 함수에 대해 테일러 전개(Taylor series formula for trigonometric functions)에 의해, $R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,$

이것은 기사 로드리게스의 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)에서 기하학적 것과는 대조적으로 리-대수적 파생입니다.^[1]

위에서 언급된 지수 맵의 존재로 인해, 회전 축을 나타내는 단위 벡터 $ω$ 와 각도 $θ$ 는 때때로 회전 행렬 $R$ 의 지수 좌표(exponential coordinates)라고 불립니다.

Log map from SO(3) to 𝔰𝔬(3)

$K$ 가 따라오는 것에서 모든 벡터 $K (v) = ω \times v$ 에 대해 회전축 $ω$ 와 교차 곱: $K (v) = ω \times v$ 에 영향을 미치는 3 × 3 행렬을 계속 나타내도록 놓습니다.

회전 행렬의 축-각도 표현을 검색하기 위해, 회전 행렬의 대각합에서 회전의 각도를 계산하고, $\theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)$ 그런-다음 그것을 사용하여 정규화된 축을 찾습니다: ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,$

여기서 $R_{ij}$ 는 회전 행렬, $R$ 의 $i$ -번째 행과 $j$ -번째 열의 성분입니다.

축-각도 표현은 $-{\boldsymbol {\omega }}$ 에 대한 $-\theta$ 의 회전은 ${\boldsymbol {\omega }}$ 에 대한 $\theta$ 의 회전과 같기 때문에 고유하지 않음에 주목하십시오.

위의 축 벡터 $\omega$ 의 계산은 $R$ 이 대칭적이면 작동하지 않습니다. 일반적인 경우에 대해, $\omega$ 는 $R-I$ 의 널 공간을 사용하여 찾을 수 있습니다. Rotation matrix#Determining_the_axis를 참조하십시오.

회전 행렬 $R$ 의 행렬 로그(matrix logarithm)는 다음과 같습니다: $\log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}$

예외는 $R$ 이 −1과 같은 고윳값(eigenvalues)을 가질 때 발생합니다. 이 경우에서, 로그는 고유하지 않습니다. 어쨌든, $θ = π$ 인 경우에도 로그의 프로베니우스 노름(Frobenius norm)은 다음과 같습니다: $\|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.$ 회전 행렬 $A$ 와 $B$ 가 주어졌을 때, 다음은 $d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }$ 회전 행렬의 3D 매니폴드 위에 측지선 거리입니다.

작은 회전에 대해, 위의 $θ$ 계산은 arccos의 도함수가 $θ \to 0$ 일 때 무한대로 가기 때문에 수치적으로 부정확할 수 있습니다. 해당 경우에서, 축을-벗어난 항은 실제로 $θ$ 에 대한 더 나은 정보를 제공할 것인데 왜냐하면, 작은 각도에 대해, $R \approx I + θ K$ 이기 때문입니다. (이것들이 $exp(θ K)$ 에 대한 테일러 급수의 처음 두 항이기 때문입니다.)

이 공식은 역시 $θ = π$ 에서 수치적 문제가 있으며, 여기서 축을-벗어난 항은 회전 축에 대한 정보를 제공하지 않습니다 (이는 여전히 부호 모호성까지 정의됩니다). 해당 경우에서, 우리는 위의 공식을 다시 고려해야 합니다:

$R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )$ $θ = π$ 에서, 다음을 가집니다: $R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I$ 그리고 따라서 다음이라고 놓으면, $B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,$ $B$ 의 대각선 항은 $ω$ 의 원소의 제곱이고 부호 (부호 모호성까지)는 $B$ 의 축을-벗어난 항의 부호에서 결정될 수 있습니다.

Unit quaternions

다음 표현은 축-각도 좌표를 버서(versors, 단위 쿼터니언)로 변환합니다: $Q=\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)$

스칼라 $s$ 와 벡터 $x$ 로 표현되는 버서 $q = s + x$ 가 주어졌을 때, 축-각도 좌표는 다음을 사용하여 추출될 수 있습니다: ${\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {x} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

보다 수치적으로 안정적인 회전 각도의 표현은 atan2 함수를 사용합니다: $\theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {x} |,s)\,,$ 여기서 $| x |$ 는 3-버서 $x$ 의 유클리드 노름(Euclidean norm)입니다.

References

^ This holds for the triplet representation of the rotation group, i.e., spin 1. For higher dimensional representations/spins, see Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.

[1] This holds for the triplet representation of the rotation group, i.e., spin 1. For higher dimensional representations/spins, see Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.

[1]