Finitary
수학(mathematics)과 논리(logic)에서, 연산(operation)은 만약 그것이 유한(finite) 애리티(arity)를 가지면, 즉, 그것이 유한한 숫자의 입력 값을 가지면 유한-항(finitary)입니다. 마찬가지로 무한 연산은 무한한 수의 입력 값이 있는 연산입니다. 유사하게, 무한-항(infinitary) 연산은 무한 숫자(infinite number)의 입력 값을 갖는 연산입니다.
표준 수학에서, 연산은 정의에 의해 유한-항입니다. 그러므로, 이들 용어는 보통 무한-항 논리(infinitary logic)의 맥락에서만 사용됩니다.
Finitary argument
유한-항 논증(finitary argument)은 공리(axiom)의 유한 집합에서 시작하여 기호적 명제의 유한 집합(finite set)으로 번역될 수 있는 것입니다.[1] 다시 말해, 그것은 충분하게 큰 종이에 쓸 수 있는 증명 (모든 가정을 포함)입니다.
대조적으로, 무한-항 논리(infinitary logic)는 무한하게 긴 명제(statements)와 증명을 허용하는 논리를 연구합니다. 그러한 논리에서, 우리는 예를 들어 무한-항 논리합(disjunction)에서 파생된 것으로 존재적 한정사(existential quantifier)를 고려할 수 있습니다.
History
20세기 초반의 논리학자들은 "수학의 진정한 기초란 무엇인가?"와 같은 토대의 문제(problem of foundations)를 해결하고자 했습니다. 그 프로그램은 의미론 없이(without semantics) 완전하게 구문론적 언어를 사용하여 모든 수학을 다시 작성할 수 있어야 했습니다. 다비트 힐베르트(David Hilbert) (기하학을 참조)의 말을 빌리자면, "우리가 사물을 의자, 테이블, 맥주 잔 또는 점, 직선, 평면이라고 부르는 것은 중요하지 않습니다."
유한성에 대한 강조는 인간의 수학적 사고가 유한한 숫자의 원칙에 기반하고 있으며 모든 추론은 본질적으로 하나의 규칙: 긍정 논법(modus ponens)을 따른다는 생각에서 비롯되었습니다. 그 프로젝트는 한정된 숫자의 기호 (본질적으로 숫자-표시 1, 2, 3, ... 알파벳의 문자와 "+", "⇒", "(", ")", 등과 같은 일부 특수 기호)를 고정하고, "토대" (공리)로 취해지게 되는 그것들의 기호에서 표현된 유한한 숫자의 명제, 및 인간이 결론을 내리는 방식을 모델링하는 몇 가지 추론의 규칙(rules of inference)을 제공하는 것입니다. 이들로부터, 기호의 의미론적 해석에 관계 없이 남아있는 정리는 독창성에 의존할 필요 없이 명시된 규칙 (수학을 과학보다 기호를 갖는 게임처럼 보이게 함)만을 사용하여 형식적으로 따라야 합니다. 희망은 이들 공리와 규칙으로부터 수학의 모든 정리가 추론될 수 있다는 것을 증명하는 것이었습니다. 그 목표는 논리주의(logicism)로 알려져 있습니다.
Notes
- ^ The number of axioms referenced in the argument will necessarily be finite since the proof is finite, but the number of axioms from which these are chosen is infinite when the system has axiom schemes, e.g. the axiom schemes of propositional calculus.
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