Flat (geometry)

기하학(geometry)에서, 플랫(flat) 또는 유클리드 부분공간(Euclidean subspace)은 그 자체로 (더 낮은 차원(dimension)의) 유클리드 공간(Euclidean space)인 유클리드 공간의 부분집합입니다. 이-차원 공간의 플랫은 점(points)과 직선(lines)이고, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 플랫은 점, 직선, 및 평면(planes)입니다.

$n$ -차원 공간( $n$ -dimensional space)에서, 0에서 $n - 1$ 까지 모든 각 차원의 플랫이 있습니다.^[1] 차원 $n - 1$ 의 플랫은 초평면(hyperplane)이라고 불립니다.

플랫은 유클리드 공간의 아핀 부분공간(affine subspace)이며, 이것은 그것들이 원점(origin)을 통과할 필요가 없다는 것을 제외하고 선형 부분공간(linear subspace)과 비슷함을 의미합니다. 플랫은 선형 방정식 시스템(systems of linear equations)의 해 집합의 기하학적 실현으로 선형 대수(linear algebra)에서 발생합니다.

플랫은 매니폴드(manifold) 및 대수적 다양체(algebraic variety)이고, 때때로 그것을 다른 매니폴드 또는 다양체와 구별하기 위해 선형 매니폴드 또는 선형 다양체라고 불립니다.

Descriptions

By equations

플랫은 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)에 의해 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 이-차원 공간에서 직선은 $x$ 와 $y$ 를 포함하는 단일 선형 방정식에 의해 설명될 수 있습니다:

3x+5y=8.

삼-차원 공간에서, $x$ , $y$ , 및 $z$ 를 포함하는 단일 선형 방정식은 평면을 정의하지만, 선형 방정식의 쌍은 직선을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 일반적으로, $n$ 변수에서 선형 방정식은 초평면을 설명하고, 선형 방정식의 시스템은 그들 초평면의 교차(intersection)를 설명합니다. 방정식이 일관되고 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 가정하면, $k$ 방정식의 시스템은 차원 $n - k$ 의 플랫을 설명합니다.

Parametric

플랫은 역시 선형 매개변수 방정식(parametric equation)의 시스템에 의해 설명될 수 있습니다. 직선은 하나의 매개변수(parameter)를 포함하는 방정식에 의해 설명될 수 있습니다:

x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t

반면에 평면의 설명은 두 매개변수를 요구할 것입니다:

x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!

일반적으로, 차원 $k$ 의 플랫의 매개변수화는 매개변수 $t 1, \dots , t k$ 를 요구할 것입니다.

Operations and relations on flats

Intersecting, parallel, and skew flats

플랫의 교차(intersection)는 하나의 플랫 또는 빈 집합(empty set)입니다.^[2]

만약 하나의 플랫으로부터 각 직선이 또 다른 플랫으로부터 일부 직선에 평행하면, 이들 두 플랫은 평행(parallel)입니다. 같은 차원의 두 평행 플랫은 일치하거나 교차하지 않습니다; 그것들은 오직 그것들의 오른쪽 변이 다른 선형 방정식의 두 시스템에 의해 설명될 수 있습니다.

만약 플랫이 교차하지 않고, 첫 번째 플랫으로부터 직선이 두 번째 플랫으로부터 직선과 평행하지 않으면, 이것들은 꼬인 플랫(skew flats)입니다. 그것은 오직 그들의 차원의 합이 주변 공간의 차원보다 작으면 가능합니다.

Join

차원 $k 1$ 및 $k 2$ 의 두 플랫에 대해, 그것들을 포함하는, 많아야 $k 1 + k 2 + 1$ 차원의 최소 플랫이 존재합니다. 만약 두 플랫이 교차하면, 플랫을 포함하는 것의 차원은 $k 1 + k 2$ 빼기 교차의 차원과 같습니다.

Properties of operations

이들 두 연산은 (만남과 결합으로 참조되며) 유클리드 $n$ -공간 격자(lattice)에서 모든 플랫의 집합을 만들고 임의의 차원에서 플랫에 대해 체계적인 좌표를 구축할 수 있으며, 그라스만 좌표(Grassmann coordinates) 또는 이중 그라스만 좌표로 이어집니다. 예를 들어, 삼-차원 공간에서 직선은 두 구별되는 점 또는 두 구별되는 평면에 의해 결정됩니다.

어쨌든, 모든 플랫의 격자는 분배 격자(distributive lattice)가 아닙니다. 만약 두 직선 $ℓ 1$ 및 $ℓ 2$ 이 교차하면, $ℓ 1 \cap ℓ 2$ 는 하나의 점입니다. 만약 $p$ 가 점이고 같은 평면 위에 놓이지 않으면, $(ℓ 1 \cap ℓ 2) + p = (ℓ 1 + p) \cap (ℓ 2 + p)$ 이며, 둘 다 직선을 나타냅니다. 그러나 $ℓ 1$ 와 $ℓ 2$ 가 평행일 때, 이 분배성(distributivity)은 실패하며, 왼쪽 변에서 $p$ 와 오른쪽 변에서 세 번째 평행한 직선을 제공합니다.

Euclidean geometry

앞서 언급한 사실은 유클리드 공간의 구조 (즉, 유클리드 거리(Euclidean distance) 포함)에 의존하지 않고 임의의 아핀 공간(affine space)에서 정확합니다. 유클리드 공간에서:

플랫과 점 사이의 거리가 있습니다. (예를 들어 점에서 평면까지의 거리(Distance from a point to a plane) 및 점에서 직선까지의 거리(Distance from a point to a line)를 참조하십시오.)
두 플랫 사이의 거리가 있으며, 만약 그것들이 교차하면 0과 같습니다. (예를 들어 (같은 평면에서) 두 직선 사이의 거리(Distance between two lines) 및 꼬인 직선 사이의 거리를 참조하십시오.)
두 플랫 사이의 각도(angle)가 있으며, 이것은 구간 $[0, π/2]$ , 즉 0과 직각(right angle) 사이에 속합니다. (예를 들어 (두 평면 사이에) 이면 각도(Dihedral angle)를 참조하십시오. 역시 플랫 사이의 각도(Angles between flats)를 참조하십시오.)

Notes

^ In addition, a whole $n$ -dimensional space, being a subset of itself, may also be considered as an $n$ -dimensional flat.
^ Can be considered as −1-flat.

References

Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry,page 7, Krieger, New York.
Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry, Academic Press, ISBN 978-0-12-672025-9
From original Stanford Ph.D. dissertation, Primitives for Computational Geometry, available as DEC SRC Research Report 36.

External links

Weisstein, Eric W. "Hyperplane". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Flat". MathWorld.

[1] In addition, a whole $n$ -dimensional space, being a subset of itself, may also be considered as an $n$ -dimensional flat.

[2] Can be considered as −1-flat.

[1]

[2]