Formal derivative

수학(mathematics)에서, 형식적 도함수(formal derivative)는 다항식 링(polynomial ring) 또는 미적분의 도함수 형식을 모방한 형식적 거듭제곱 급수(formal power series)의 링의 원소에 대한 연산입니다. 비록 그것들이 유사하게 보일지라도, 형식적 도함수의 대수적 이점은 일반적으로 링(ring)에 대해 정의할 수 없는 극한(limit)의 개념에 의존하지 않는다는 것입니다. 도함수의 많은 속성은 형식적 도함수에서 참이지만, 일부, 특히, 수치적 명제를 만드는 것은 그렇지 않습니다.

형식적 미분은 다항식의 중복 근을 테스트하기 위해 대수학에서 사용됩니다.

Definition

링 $R$ 을 고정하고 (반드시 교환적인 필요 없음) $A=R[x]$ 를 $R$ 에 걸쳐 다항식의 링이라고 놓습니다. (만약 $R$ 이 교환적이면, 이것은 단일 불확정 변수에 걸쳐 자유 대수(Free algebra)입니다.)

그런-다음 형식적 도함수는 $A$ 의 원산 위에 연산이며, 여기서 만약 다음이면

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

그것의 형식적 도함수는 다음과 같습니다:

f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.

위의 정의에서, 임의의 비-음의 정수 $i$ 와 $r\in R$ 에 대해, $ir$ 은 링에서 평소와 같이 정의됩니다: $ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{\text{i times}}$ ( $i=0$ 이면 $ir=0$ 입니다).^[1]

이 정의는 역시 심지어 $R$ 이 곱셈 항등원(multiplicative identity)을 가지지 않더라도 작동합니다.

Alternative axiomatic definition

다음 속성을 만족시키는 맵 $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ 로 형식적 도함수를 공리적으로 정의할 수도 있습니다.

1) 모든 $r\in R\subset R[x]$ 에 대해, $r'=0$ .

2) 정규화 공리, $x'=1.$

3) 맵은 다항식 링에서 덧셈 연산을 교환합니다, $(a+b)'=a'+b'.$

4) 맵은 다항식 링의 곱셈 연산에 관해 라이프니츠의 법칙을 만족시킵니다, $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

이 공리적 정의가 모든 보통의 링 공리를 존중하는 잘-정의된 맵을 산출한다는 것을 입증할 수 있습니다.

위의 공식 (즉, 계수 링이 교환적일 때 형식적 도함수의 정의)은 앞서 언급한 공리의 직접적인 결과입니다:

${\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}$

Properties

다음을 검증할 수 있습니다:

형식적 미분은 선형입니다: R[x]에서 임의의 두 다항식 f(x),g(x)와 R의 원소 r,s에 대해, 다음을 가집니다:

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

형식적 도함수는 곱 규칙(Product rule)을 만족시킵니다:

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

인수의 순서를 주목하십시오; R이 교환적이 아닐 때 이것은 중요합니다.

이들 두 속성은 D를 A에 대한 도함수로 만듭니다 (일반화의 논의에 대해 상대적인 미분 형식의 모듈을 참조).

곱 규칙이 $(f\cdot g)'=f'\cdot g'$ 라고 (그리고 그 경우가 아니라고) 말하는 것 과 다르기 때문에 형식적 도함수는 링 준동형(Ring homomorphism)이 아님에 주목하십시오. 어쨌든, 그것은 위의 규칙에 의해 R-모듈의 준동형 (선형 맵)입니다.

Application to finding repeated factors

미적분학에서와 같이, 도함수는 중복 근을 탐지합니다. 만약 R이 필드이면, R[x]는 유클리드 도메인(Euclidean domain)이고, 이 상황에서 우리는 근의 중복도를 정의할 수 있습니다; R[x]에서 모든 각 다항식 f(x)와 R의 모든 각 원소 r에 대해, 다음임을 만족하는 비-음의 정수 m_r과 다항식 g(x)가 존재합니다:

f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x)

여기서 g(r) ≠ 0입니다. m_r은 f의 근으로 r의 중복도입니다. 이 상황에서 m_r은 역시 r이 더 이상 결과 다항식의 근이 되기 전에 f(x)에 수행되어야 하는 미분의 개수라는 라이프니츠 규칙으로부터 이어집니다. 이 관찰의 유용성은 일반적으로 R[x]에서 차수 n의 모든 각 다항식이 중복도를 세는 n개의 근을 가지지는 않지만 (n은 위의 정리에 의해 최댓값임), 이것이 참 (즉, 대수적 클로저)인 필드 확장(field extensions)으로 전달할 수 있다는 것입니다. 일단 우리가 그렇게 하면, 단순히 R에 걸쳐 근이 아닌 중복 근을 발견할 수 있습니다. 예를 들어, R이 세 개의 원소를 갖는 필드이면, 다음 다항식은

f(x)\,=\,x^{6}+1

R에서 근을 가지지 않습니다; 어쨌든, 그것의 형식적 도함수 ( $f'(x)\,=\,6x^{5}$ )는 0인데 왜냐하면 R과 R의 임의의 확장에서 3 = 0이기 때문에, 우리가 대수적 클로저로 넘어갈 때 그것은 R 자체의 인수분해에 의해 탐지될 수 없는 중복 근을 가집니다. 따라서, 형식적 미분은 중복도에 대한 효과적인 개념을 허용합니다. 이것은 분리-가능 필드 확장 (중복 근을 갖지 않는 다항식으로 정의됨)과 비-분리가능 필드 확장을 구분하는 갈루아 이론(Galois theory)에서 중요합니다.

Correspondence to analytic derivative

스칼라의 링 R이 교환적일 때, 미분 미적분에서 볼 수 있는 것과 닮은 형식적 도함수의 대안적이고 동등한 정의가 있습니다. 링 R[X,Y]의 원소 Y–X는 비-음의 정수 n에 대해 Yⁿ – Xⁿ을 나누고, 따라서 하나의 불확정에서 임의의 다항식 f에 대해 f(Y) – f(X)를 나눕니다. 만약 R[X,Y]에서 몫이 g로 표시되면

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}.

그런-다음 R[X]에서 g(X,X)가 위에 정의된 f의 형식적 도함수와 일치하는지 확인하는 것이 어렵지 않습니다.

도함수의 이러한 형식화는 계수의 링이 교환적인 한 형식적 거듭제곱 급수에 대해 동일하게 잘 작동합니다.

실제로, 이 정의의 나눗셈이 $X$ 에서 연속인 $Y$ 의 함수 클래스에서 수행되면, 미분의 고전적 정의를 다시 포착할 것입니다. 만약 그것이 $X$ 와 $Y$ 모두에서 연속적인 함수 클래스에서 수행되면, 균등 미분-가능성을 얻고, 함수 $f$ 는 연속적으로 미분-가능할 것입니다. 마찬가지로, 다양한 함수의 클래스 (말하자면, 립시츠 클래스)를 선택하면, 다양한 미분-가능성을 얻을 수 있습니다. 이런 방법으로, 미분은 함수의 대수의 일부가 됩니다.

References

^ John B. Fraleigh; Victor J. Katz (2002). A First Course in Abstract Algebra. Pearson. p. 443.

Sources

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, You could simplify calculus, arXiv:0905.3611v1

[1] John B. Fraleigh; Victor J. Katz (2002). A First Course in Abstract Algebra. Pearson. p. 443.

[1]