Generic property

수학(mathematics)에서, "전형적인" 예제에 대해 유지되는 속성은 일반 속성(generic properties)이라고 불립니다. 예를 들어, 함수(functions)의 클래스의 일반 속성은, "일반 다항식(polynomial)은 영에서 근(root)을 가지지 않습니다" 또는 "일반 정사각 행렬은 역-가능입니다"와 같은 명제에서 처럼 "거의 모든" 그것들 명체의 참인 속성입니다. 또 다른 예제로, 공간의 일반 속성은 "만약 $f : M \to N$ 가 매끄러운 매니폴드(smooth manifolds) 사이의 매끄러운 함수(smooth function)이면, $N$ 의 일반 점은 $f$ 의 임계값이 아닙니다"와 같은 명제에서 처럼 공간의 "거의 모든" 점에서 유지되는 속성입니다. (이것은 사드의 정리(Sard's theorem)에 의한 것입니다.)

수학에는 "일반" ("거의 모두"를 의미하는 것)의 많은 다른 개념이 있으며, "거의 없음" (무시-가능 집합)의 해당 이중 개념(dual notions)을 가집니다; 두 가지 주요 클래스는 다음입니다:

측정 이론(measure theory)에서, 일반 속성은 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 유지되는 속성이며, 이중 개념은 "확률 0을 가짐"을 의미하는 널 집합(null set)입니다.
토폴로지(topology)와 대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 일반 속성은 조밀한(dense) 열린 집합(open set), 또는 보다 일반적으로 잔여 집합(residual set)을 유지하는 속성이며, 이중 개념은 아무 데도 조밀하지 않은 집합(nowhere dense set), 또는 보다 일반적으로 마른 집합(meagre set)입니다.

그들 개념이 같지 않은 몇 가지 자연스러운 예제가 있습니다.^[1] 예를 들어, 리우빌 숫자(Liouville numbers)의 집합은 토폴로지적 의미에서 일반적이지만, 르베그 측정 영을 가집니다.^[2]

In measure theory

측정 이론(measure theory)에서, 일반 속성은 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 유지되는 속성입니다. 이중 개념은 널 집합(null set), 즉 측정 영의 집합입니다.

In probability

확률에서, 일반 속성은 거의 확실하게 발생하는 이벤트입니다. 즉, 확률 1로 발생합니다. 예를 들어, 큰 수의 법칙은 표본 평균이 모집단 평균에 거의 확실하게 수렴한다고 말합니다. 이것은 확률 공간에 특화된 측정 이론 사례의 정의입니다.

확률(probability)에서, 일반 속성은 거의 확실(almost surely)하게 발생하는 사건이며, 사건이 확률 1로 발생함을 의미합니다. 예를 들어, 큰 숫자의 법칙(law of large numbers)은 표본 평균이 모집단 평균에 거의 확실하게 수렴한다고 말합니다. 이것은 확률 공간에 특화된 측정 이론 경우의 정의입니다.

In discrete mathematics

이산 수학(discrete mathematics)에서, 거의 모두라는 용어를 여-유한(cofinite, 유한하게 많은 것을 제외하고 모두), 여-셀수 있는(cocountable, 셀-수-있게 많은 것을 제외하고 모두), 충분하게 큰(sufficiently large) 숫자에 대해, 또는 때때로, 점근적으로 거의 확실함(asymptotically almost surely)을 의미하기 위해 사용합니다. 이 개념은 무작위 그래프(random graphs) 연구에서 특히 중요합니다.

In topology

토폴로지(topology)와 대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 일반 속성은 조밀한(dense) 열린 집합, 또는 보다 일반적으로 잔여 집합(residual set, 조밀한 열린 집합의 셀-수-있는 교차점)을 유지하는 속성이며, 이중 개념은 닫힌 아무 데도 조밀하지 않은 집합(nowhere dense set), 또는 보다 일반적으로 마른 집합(meagre set, (어디에도 조밀하지 않은 닫힌 집합의 셀-수-있는 합집합)입니다.

어쨌든, 밀도 단독으로 일반 속성을 특성화하기에 충분하지 않습니다. 이것은 유리수와 그 여집합, 무리수 둘 다가 조밀한 심지어 실수(real numbers)에서도 볼 수 있습니다. 집합과 그 여집합 둘 다가 전형적인 행동을 보인다고 하는 것은 말이 되지 않기 때문에, 유리수와 무리수 둘 다가 전형적일 만큼 충분하게 큰 집합의 예제가 될 수 없습니다. 결과적으로, 우리는 무리수가 전형적이고 유리수는 아님을 의미하는 위의 더 강력한 정의에 의존합니다.

응용에 대해, 만약 속성이 잔여 집합(residual set)을 유지하면, 모든 각 점에 대해 유지되지 않을 수 있지만, 그것을 약간 교란시키면 일반적으로 잔여 집합 내부에 속성을 놓고 (마른 집합의 구성 요소의 밀도는 전혀 없음), 이것들은 따라서 정리와 알고리듬에서 다루어야 할 가장 중요한 경우입니다.

In function spaces

속성은 만약 이 속성을 보유하는 집합이 C^r 토폴로지에서 잔여 부분-집합(residual subset)을 포함하면 C^r에서 일반입니다. 여기서 C^r은 그 구성원이 매니폴드 M에서 매니폴드 N로의 r개의 연속 도함수를 갖는 연속 함수인 함수 공간(function space)입니다.

M과 N 사이의 C^r 매핑 중 공간 C^r(M, N)은 베르 공간(Baire space)이며, 따라서 임의의 잔여 집합이 조밀(dense)합니다. 함수 공간의 이 속성은 일반 속성을 전형적으로 만드는 것입니다.

In algebraic geometry

Algebraic varieties

기약 대수적 다양체(algebraic variety) X의 속성은 만약 그것이 X의 적절한 자르스키-닫힌(Zariski-closed) 부분-집합을 제외하고 유지되면, 다시 말해서, 그것이 비-빈 자르스키-열린 부분집합 위에 유지되면 일반적으로 참이라고 말합니다. 이 정의는 위의 토폴로지적 정의와 일치하는데, 왜냐하면 기약 대수적 다양체에 대해 임의의 비-빈 열린 집합이 조밀하기 때문입니다.

예를 들어, 정칙성에 대해 야코비 기준(Jacobian criterion)에 의해, 특성 영의 필드에 걸쳐 다양체의 일반적인 점은 매끄러운 것입니다. (이 명제는 일반 매끄러움(generic smoothness)으로 알려져 있습니다.) 이것은 야코비 기준이 매끄럽지 않은 점에 대해 방정식을 찾기 위해 사용될 수 있기 때문에 참입니다: 그것들은 X 점의 야코비 행렬이 전체 랭크를 가지지 않는 정확하게 그 점입니다. 특성 영에서, 이들 방정식은 비-자명한 것이므로, 그것들은 다양체에서 모든 각 점에 대해 참일 수는 없습니다. 결과적으로, X의 모든 비-정규 점 집합은 X의 적절한 자르스키-닫힌 부분집합입니다.

여기에 또 다른 예제가 있습니다. f : X → Y를 두 대수적 다양체 사이의 정규 맵이라고 놓습니다. Y의 모든 각 점 y에 대해, y에 걸쳐 f의 올 차원, 즉, dim f⁻¹(y)를 생각해 보십시오. 일반적으로, 이 숫자는 상수입니다. 그것은 모든 곳에서 반드시 상수는 아닙니다. 만약, 말하자면, X가 한 점에서 Y의 확대이고 f가 자연스러운 투영이면, f의 상대 차원은 확대된 점을 제외하고는 영이며, 여기서 그것은 dim Y − 1입니다.

일부 속성은 매우 일반적으로(very generically) 유지된다고 합니다. 자주 이것은 바닥 필드(ground field)가 셀-수-없는 것이고 그 속성이 적절한 자르스키-닫힌 부분집합의 셀-수-있는 합집합을 제외하고 참임 (즉, 그 속성이 조밀한 G_δ 집합 위에 유지됨)을 의미합니다. 예를 들어, 매우 일반적의 개념은 유리수 연결성(rational connectedness)을 고려할 때 발생합니다. 어쨌든, 매우 일반적의 다른 정의는 다른 맥락에서 발생할 수 있고 실제로 발생합니다.

Generic point

대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 대수적 다양체(algebraic variety)의 일반 점은 그것의 좌표가 다양체의 모든 각 점에 의해 만족되는 것보다 임의의 다른 대수적 관계를 만족시키지 않는 점입니다. 예를 들어, 필드 $k$ 에 걸쳐 아핀 공간(affine space)의 일반 점은 그것의 좌표가 $k$ 에 걸쳐 대수적으로 독립(algebraically independent)인 점입니다.

점들이 부분 다양체인 스킴 이론(scheme theory)에서, 다양체의 일반 점은 자르스키 토폴로지(Zariski topology)에 대해 클로저가 전체 다양체인 점입니다.

일반 속성은 일반 점의 속성입니다. 임의의 합리적인 속성에 대해, 그 속성이 부분-다양체 위에 (열린 조밀한 부분집합 위에 참이라는 의미에서) 일반적으로 참인 것과 그 속성이 일반 점에서 참인 것은 필요충분 조건이라고 밝혀졌습니다. 그러한 결과는 EGA IV 8에서 개발된 아핀 스킴의 극한(limits)의 방법을 사용하여 자주 입증됩니다.

General position

대수적 기하학에서 관련된 개념은 상황에 따라 정확한 의미가 달라지는 일반 위치(general position)입니다. 예를 들어, 유클리드 평면에서, 일반 위치에서 세 점은 공-선형(collinear)에 있지 않습니다. 이것은 공선형이지 않은 속성은 R²에서 세 점의 구성 공간(configuration space)의 일반 속성이기 때문입니다.

In computability

계산-가능성(computability)과 알고리듬 무작위성(algorithmic randomness)에서, 자연수의 무한 문자열 $f\in \omega ^{\omega }$ 은 모든 각 c.e. 집합 $W\subseteq \omega ^{<\omega }$ 에 대해, $f$ 는 $W$ 에서 초기 세그먼트 $\sigma$ 를 가지거나, $f$ 는 모든 각 확장 $\tau \succcurlyeq \sigma$ 이 $W$ 에 있지 않음을 만족하는 초기 세그먼트 $\sigma$ 를 가지면 1-일반(1-generic)이라고 불립니다. 1-일반은 계산-가능성에서 중요한데, 왜냐하면 많은 적절하게 1-일반을 구성함으로써 단순화될 수 있기 때문입니다.^[3] 몇 가지 핵심 속성은 다음입니다:

1-일반은 모든 각 자연수를 원소로 포함합니다;
1-일반은 계산-가능이 아닙니다 (또는 심지어 계산-가능 함수에 의해 경계지지 않습니다);
모든 1-일반 $f$ 는 낮은(low): $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ 로 일반화됩니다.

1-일반성은 다음과 같이 "일반(generic)"의 토폴로지적 개념과 연결됩니다. 베르 공간(Baire space) $\omega ^{\omega }$ 는 자연수 $\sigma \in \omega ^{<\omega }$ 의 모든 각 유한 문자열에 대해 기저 열린 집합(basic open sets) $[\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}$ 을 갖는 토폴로지를 가집니다. 그런-다음, 원소 $f\in \omega ^{\omega }$ 가 1-일반인 것과 그것이 임의의 열린 집합의 경계 위에 있지 않음은 필요충분 조건입니다. 특히, 1-일반은 모든 각 조밀한 열린 집합을 충족하려면 요구됩니다 (이것은 엄격하게 더 약한 속성이며, 약하게 1-일반(weakly 1-generic)이라고 불립니다).

Genericity results

Sard's theorem: If $f\colon M\to N$ is a smooth function between smooth manifolds, then a generic point of N is not a critical value of f – critical values of f are a null set in N.
Jacobian criterion / generic smoothness: A generic point of a variety over a field of characteristic zero is smooth.
Controllability and observability of linear time-invariant systems are generic both in the topological and measure theory sense.^[4]

References

^ Hunt, Brian R.; Kaloshin, Vadim Yu. (2010). Prevalence. Handbook of Dynamical Systems. Vol. 3. pp. 43–87. doi:10.1016/s1874-575x(10)00310-3. ISBN 9780444531414.
^ Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category | SpringerLink. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2.
^ Soare, Robert I. (2016), "Turing Reducibility", Turing Computability, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, retrieved 2020-11-01
^ Polderman, Jan Willem; Willems, Jan C. (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory | SpringerLink. Texts in Applied Mathematics. Vol. 26. doi:10.1007/978-1-4757-2953-5. ISBN 978-1-4757-2955-9.

Wiggins, Stephen (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-00177-7
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523

[1] Hunt, Brian R.; Kaloshin, Vadim Yu. (2010). Prevalence. Handbook of Dynamical Systems. Vol. 3. pp. 43–87. doi:10.1016/s1874-575x(10)00310-3. ISBN 9780444531414.

[2] Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category | SpringerLink. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2.

[3] Soare, Robert I. (2016), "Turing Reducibility", Turing Computability, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, retrieved 2020-11-01

[4] Polderman, Jan Willem; Willems, Jan C. (1998). Introduction to Mathematical Systems Theory | SpringerLink. Texts in Applied Mathematics. Vol. 26. doi:10.1007/978-1-4757-2953-5. ISBN 978-1-4757-2955-9.

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