Geometric mean theorem

area of grey square = area of grey rectangle: $h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}$

직각 삼각형 고도 정리(right triangle altitude theorem) 또는 기하 평균 정리(geometric mean theorem)는 직각 삼각형(right triangle)에서 빗변(hypotenuse)에 대한 고도(altitude)의 길이와 빗변에서 생성되는 두 선분 사이의 관계를 설명하는 기초 기하학의 결과입니다. 그것은 두 선분의 기하 평균(geometric mean)은 고도와 같음을 말합니다.

Theorem and application

만약 h가 직각 삼각형에서 고도를 나타내고 p와 q는 빗변에서 두 선분을 나타내면 정리는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

h={\sqrt {pq}}

또는 넓이의 관점에서 다음으로 표현할 수 있습니다:

h^{2}=pq.

후자의 버전은 직선자와 컴퍼스(ruler and compass)로 직사각형을 정사각형으로 만드는 방법, 즉 주어진 직사각형과 같은 넓이의 정사각형을 구성하는 방법을 산출합니다. 변 p와 q를 갖는 직사각형에 대해 우리는 가장 위 왼쪽 꼭짓점(vertex)을 D로 나타냅니다. 이제 우리는 선분 q를 (D를 중심으로하는 호 AE를 사용하여) p만큼 왼쪽으로 확장하고 그의 지름으로 새로운 선분 p+q를 갖는 끝점 A와 B를 갖는 반원을 그립니다. 그런 다음 우리는 D에서 지름과 수직선을 세우면 C에서 반원과 교차합니다. 탈레스의 정리(Thales' theorem)에 의해 C와 지름은 그의 고도로 선분 DC를 갖는 직각 삼각형(right triangle)이 형성되고, 따라서 DC는 직사각형의 넓이를 갖는 정사각형의 변입니다. 이 방법은 역시 제곱근의 구성을 허용하는데 (구성 가능한 숫자(constructible number)를 참조하십시오), 왜냐하면 1의 폭을 가지는 직사각형으로 시작하면 생성된 정사각형은 직사각형 길이의 제곱근과 같은 변의 길이를 가질 것입니다.

역 명제도 마찬가지로 참입니다. 고도가 그에 의해 생성된 두 선분의 기하 평균과 같은 임의의 삼각형은 직각 삼각형입니다.

기하 평균 정리는 원에 대해 교차 현 정리(intersecting chords theorem)의 특별한 경우로 역시 생각될 수 있는데, 왜냐하면 탈레스 정리(Thales' theorem)의 역은 직각 삼각형의 빗변이 그의 둘레-원(circumcircle)의 지름인 것을 보증하기 때문입니다.

역사적으로 정리는 유클리드(Euclid) (기원전 ca. 360–280)에 기인하며, 그는 그의 원론(Elements)의 책 VI에서 제안 8의 따름정리로 그것을 언급했습니다. 책 II의 제안 14에서 유클리드는 직사각형을 정사가형화하는 방법을 제시하는데, 이는 여기에 주어진 방법과 본질적으로 일치합니다. 유클리드는 어쨌든 기하 평균 정리에 의존하기 보다는 건설의 정확성에 대해 약간 더 복잡한 증명을 제공합니다.

Proof

Based on similarity

$\triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC$

Proof of theorem:

삼각형 $\triangle ADC$ 와 $\triangle BCD$ 는 닮은similar 삼각형인데, 왜냐하면:

삼각형 $\triangle ABC,\triangle ACD$ 를 봤을 때, $\angle ACB=\angle ADC=90^{\circ }$ 이고 $\angle BAC=\angle CAD$ 임을 알 수 있습니다. 따라서, AA 공준(AA postulate)에 의해 $\triangle ABC\sim \triangle ACD$
게다가, 삼각형 $\triangle ABC,\triangle BCD$ 를 봤을 때, $\angle ACB=\angle BDC=90^{\circ }$ 이고 $\angle ABC=\angle CBD$ 임을 알 수 있습니다. 따라서, AA 공준에 의해 $\triangle ABC\sim \triangle BCD$

그러므로, 두 삼각형 $\triangle ACD$ 와 $\triangle BCD$ 는 $\triangle ABC$ 와 닮음이고 그들도 닮음입니다, 즉, $\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD$ .

닮음으로 인해 우리는 다음과 같은 비율의 같음을 얻고 그의 대수적 재배열은 정리를 산출합니다:

{\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)

역의 증명:(Proof of converse:)

역에 대해 우리가 $h^{2}=pq$ 를 만족하는 삼각형 $\triangle ABC$ 를 가지고 있으면 C의 각도가 직각임을 보여야 합니다. 이제 $h^{2}=pq$ 이기 때문에 우리는 역시 ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}$ 을 가집니다. $\angle ADC=\angle CDB$ 와 함께 삼각형 $\triangle ADC$ 와 $\triangle BDC$ 는 같은 크기의 각도를 가지고 같은 비율의 대응하는 변의 쌍을 가집니다. 이것은 삼각형이 닮았음을 의미하는데, 다음을 제공합니다:

\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }

Based on the Pythagorean theorem

기하 평균 정리의 설정에서 세 개의 직각 삼각형 $\triangle ABC$ , $\triangle ADC$ 및 $\triangle DBC$ 이 있고, 다음과 같은 피타고라스 정리를 산출합니다:

h^{2}=a^{2}-q^{2}

,

h^{2}=b^{2}-p^{2}

and

c^{2}=a^{2}+b^{2}

처음 두 방정식을 더한 다음 세 번째 식을 대입한 다음 다음 관계를 이끌어 냅니다:

2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq

.

마지막으로 양쪽 변을 2로 나눔으로써 기하 평균 정리의 공식을 산출합니다.

Based on dissection and rearrangement

직각 삼각형을 그의 고도 h를 따라 두 개로 나누면 두 개의 닮은 삼각형이 만들어지며, 두 개의 다른 방법으로 길이 p+h와 q+h의 수직 변을 갖는 더 큰 직각 삼각형으로 확대 및 배열될 수 있습니다. 그러한 배열 중 하나는 그것을 완료하기 위해 넓이 h²의 정사각형을 필요로 하고, 다른 하나는 넓이 pq의 직사각형을 필요로 합니다. 두 배열 모두 같은 삼각형을 생성하므로, 정사각형과 직사각형의 넓이는 같아야 합니다.

Based on shear mappings

고도의 제곱은 세 개의 전단 매핑(shear mapping) (전단 매핑은 넓이를 보존합니다)을 사용하여 변 p와 q를 가진 같은 넓이의 직사각형으로 변형될 수 있습니다.

References

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, ISBN 9780883853528, pp. 31–32 (online copy, p. 31, at Google Books)
Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, ISBN 9780821843475, p. 25 (online copy, p. 25, at Google Books)
Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, pp. 76-77 (German, online copy, p. 76, at Google Books)
Euclid: Elements, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy)

External links

Geometric Mean at Cut-the-Knot