만약 삼각형의 두 각도가 또 다른 삼각형의 두 각도의 측정과 같으면, 삼각형은 닮았습니다. 닮은 다각형의 대응하는 변은 비례하고, 닮은 다각형의 대응하는 각도는 같은 측정을 가집니다.
두 합동(congruent) 모양은 1의 스케일 인수를 갖는 닮은 것입니다. 어쨌든, 일부 학교 교과서는 만약 삼각형이 닮은 것으로 인정되려면 크기가 반드시 달라야 한다고 주장함으로써 닮은 삼각형의 정의로부터 합동 삼각형을 구체적으로 제외합니다.
Similar triangles
두 삼각형, △ABC와 △A′B′C′가 닮은 것과 대응하는 각도가 같은 측정을 가지는 것은 필요충분 조건입니다: 이것은 그것들이 닮은 것과 대응하는 변(corresponding sides)의 길이가 비례(proportional)하는 것은 필요충분 조건임을 의미합니다.[1] 그것은 합동 각도를 가지는 두 삼각형 (등각 삼각형(equiangular triangles))은 닮은 것, 즉, 대응하는 변이 비례적인 것으로 증명될 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 이것은 AAA 닮음 정리로 알려져 있습니다.[2] "AAA"는 니모닉임을 주목하십시오: 세 개의 A의 각각은 "각도(angle)"를 참조합니다. 이 정리로 인해, 여러 저자는 대응하는 세 각도가 합동임을 오직 요구하도록 닮은 삼각형의 정의를 단순화합니다.[3]
두 삼각형에 대해 닮은 것이 되도록 하는 필요와 충분 조건인 여러 명제가 있습니다:
삼각형이 둘의 합동 각도를 가집니다.[4] 이것은 유클리드 기하학에서 모든 그것들의 각도가 합동임을 의미합니다.[5] 즉:
만약 ∠BAC가 측정에서 ∠B′A′C′와 같고, ∠ABC가 측정에서 ∠A′B′C′와 같으면, 이것은 ∠ACB가 측정에서 ∠A′C′B′와 같고 그 삼각형이 닮은 것임을 의미합니다.
두 직각 삼각형(right triangle)은 만약 빗변(hypotenuse)과 하나의 다른 변이 같은 비율에서 길이를 가지면 닮았습니다.[11] 직각 삼각형이 같은 측정의 예각을 가지거나, 직각 삼각형이 같은 비례에 있는 다리 (변)의 길이를 가지는 것과 같은 이 경우에서 여러 동등한 조건이 있습니다.
닮음의 개념은 셋보다 많은 변을 갖는 다각형(polygon)으로 확장됩니다. 임의의 두 닮은 다각형이 주어지면, 같은 순서에서 취해진 대응하는 변 (심지어 한 다각형은 시계방향, 다른 다각형은 반시계방향일지라도)은 비례적(proportional)이고 같은 순서에서 취해진 대응하는 각도는 측정에서 같습니다. 어쨌든, 대응하는 변의 비례성은 삼각형을 너머 다각형에 대해 닮음을 입증하기에 그 자체로 충분하지 않습니다 (그렇지 않으면, 예를 들어, 모든 마름모(rhombi)는 닮게 됩니다). 마찬가지로, 순서에서 모든 각도의 상등은 닮음을 보장하기에 충분하지 않습니다 (그렇지 않으면 모든 직사각형(rectangle)이 닮게 됩니다). 다각형의 닮음에 대해 충분 조건은 대응하는 변과 대각선이 비례적이라는 것입니다.
우리는 유클리드 평면을 복소 평면(complex plane),[22] 즉 실수(reals)에 걸쳐 2-차원 공간으로 볼 수 있습니다. 2D 닮음 변환은 그런-다음 복소수 산술의 관점에서 표현될 수 있고 f(z) = az + b (직접 닮음)과 f(z) = az + b (반대 닮음)에 의해 제공되며, 여기서 a와 b는 복소수이고, a ≠ 0입니다. |a| = 1일 때, 이들 닮음은 등거리변환입니다.
닮은 도형의 넓이(area) 사이의 비율은 그것들 도형의 대응하는 길이의 비율의 제곱과 같습니다 (예를 들어, 정사각형의 변 또는 원의 반지름이 3에 의해 곱해지면, 그것의 넓이는 9에 의해 – 즉 3의 제곱에 의해 곱해집니다). 닮은 삼각형의 고도는 대응하는 변과 같은 비율에 있습니다. 만약 삼각형이 길이 b의 한 변을 가지고 해당 변에서 그려진 길이 h의 고도를 가지면 대응하는 변의 길이 kb를 갖는 닮은 삼각형은 해당 변에서 그려진 길이 kh의 고도를 가질 것입니다. 첫 번째 삼각형의 넓이는 A = 1/2bh이고, 반면에 닮은 삼각형의 넓이는 A′ = 1/2(kb)(kh) = k2A일 것입니다. 닮은 삼각형으로 분해될 수 있는 닮은 도형은 같은 방식에서 관련된 넓이를 가질 것입니다. 그 관계는 수정할 수 없는 도형에도 유지됩니다.
닮은 도형의 부피(volume) 사이의 비율은 그것들 도형의 대응하는 길이의 비율의 세제곱과 같습니다 (예를 들어, 정육면체의 가장자리 또는 구의 반지름이 3에 의해 곱해지면, 그것의 부피는 27 – 즉, 3의 세제곱에 의해 곱해집니다).
갈릴레오의 제곱–세제곱 법칙은 닮은 고체에 관한 것입니다. 만약 고체 사이의 닮음 (대응하는 변의 비율)의 비율이 k이면, 고체의 표면 넓이의 비율은 k2일 것이고, 반면에 부피의 비율은 k3일 것입니다.
Example where each similarity composed with itself several times successively has a center at the center of a regular polygon that it shrinks.
Example of direct similarity of center S decomposed into a rotation of 135° angle and a homothety that halves areas.
Examples of direct similarities that have each a center.
만약 닮음이 정확하게 하나의 불변 점(invariant point): 닮음이 변경되지 않은 채 유지하는 점을 가지면, 이 점만 닮음의 "중심"이라고 불립니다.
제목 아래의, 왼쪽에 있는 첫 번째 이미지에서, 하나 또는 또 다른 닮음은 정규 다각형(regular polygon)을 동심적 다각형으로 축소하고, 그것의 꼭짓점은 각각 이전 다각형의 변 위에 있습니다. 이 회전적 축소는 반복되므로, 초기 다각형은 일반 다각형의 심연(abyss)으로 확장됩니다. 닮음의 중심은 연속 다각형의 공통 중심입니다. 빨간색 선분(segment)은 초기 다각형의 꼭짓점을 닮음 아래에서 이미지(image)에 연결하고, 빨간색 선분은 다음 꼭짓점 이미지로 이동하는 식으로, 나선형을 형성합니다. 실제로 우리는 이 첫 번째 이미지에서 세 가지 이상의 직접 닮음을 볼 수 있는데, 왜냐하면 모든 각 정규 다각형은 특정 직접 닮음 아래에서 불변이기 때문이며, 보다 정확하게 특정 회전의 중심이 다각형의 중심이고, 직접 닮음의 합성도 직접적인 닮음입니다. 예를 들어, 음의 비율 의 중심-닮음(homothety)에서 초기 정규 오각형(pentagon)의 이미지를 보며, 이는 ±180° 각도의 닮음과 와 같은 양의 비율입니다.
제목 아래 오른쪽에 있는, 두 번째 이미지는 닮음을 회전과 중심-닮음으로 분해한 것을 보여줍니다. 닮음과 회전은 +135도 모듈로 360 도의 같은 각도를 가집니다. 닮음과 중심-닮음은 역(inverse) 닮음의 비율 : 2의 제곱근의 곱셈 역, 의 같은 비율을 가집니다: 제곱근은 2입니다. 점 S는 세 가지 변환: 회전, 중심닮음, 및 닮음의 공통 중심입니다. 예를 들어 점 W는 회전 아래에서 F의 이미지이고, 점 T는 중심닮음 아래에서 W의 이미지이며, 보다 간단히, "D"를 "Direct"와 같이, , , 및 에 이전 회전, 중심닮음, 및 닮음으로 이름-지음으로써 T = H (W ) = H ( R ( F )) = (H ∘ R )( F ) = D ( F )입니다.
삼각형 EFA를 삼각형 ATB로 변환하는 이 직접적인 닮음은 여러 방식으로 같은 중심 S의 회전과 중심닮음으로 분해될 수 있습니다. 예를 들어, , 마지막 분해는 이미지에만 표시됩니다. 를 얻기 위해, 우리는 역시 각도의 회전과 비율 의 중심닮음을 어떤 순서로든 합성할 수 있습니다.
"M"을 "Mirror"와 같이, "I"를 "Indirect"와 같이 하여, 만약 이 직선 (CW)에 관한 반사(reflection)이면, 는 같은 선분 [BF]를 선분 [CT]로 변환하지만, 점 E를 B로 변환하고 A를 A 자신으로 변환하는 간접 닮음입니다. 정사각형 ACBT는 비율 의 닮음 아래에서 ABEF의 이미지입니다. 점 A는 이 닮음의 중심인데, 왜냐하면 임의의 점 K가 그것 아래에서 불변이기 때문에 를 충족하고, 인 경우에만 가능하고, 그렇지 않으면 로 표기됩니다.
정사각형 ABEF에서 직접 닮음 의 중심 S를 구성하는 방법, 반직선 [SE)를 반직선 [SA)로 변환하는 +135° 도의 회전의 중점 점 S를 찾는 방법은 무엇입니까? 이것은 내접 각도(inscribed angle) 문제 더하기 방향(orientation)의 질문입니다. 를 만족하는 점 의 집합은 E와 A를 연결하는 원의 호 이며, 이것의 E와 A로 이어지는 두 반지름은 의 중심 각도(central angle)를 형성합니다. 이 점의 집합은 정사각형 ABEF 내부의 중심 F 원의 파란색 사분의 일입니다. 같은 방식으로, 점 S는 정사각형 BCAT 내부의 중심 T의 원의 파란색 사분의 일의 구성원입니다. 따라서 점 S는 이들 원의 두 개의 사분의 일의 교차점(intersection)입니다.
토폴로지(topology)에서, 메트릭 공간은 거리(distance) 대신 닮음(similarity)을 정의함으로써 구성될 수 있습니다. 닮음은 그것의 값이 두 점이 가까울수록 커짐을 만족하는 함수입니다 (반-닮음(dissimilarity)의 측정인 거리와 반대로: 점이 가까울수록 거리가 작습니다).
닮음의 정의는 원하는 속성에 따라 저자마다 다를 수 있습니다. 기본 공통 속성은 다음과 같습니다:
Positive defined:
Majored by the similarity of one element on itself (auto-similarity):
반사성 () 또는 유한성 ()과 같은 더 많은 속성을 호출할 수 있습니다. 위쪽 값은 종종 1로 설정됩니다 (닮음의 대한 확률론적 해석에 대한 가능성을 생성합니다).
자기-닮음(Self-similarity)은 패턴이, 예를 들어, {2i, 3·2i} 형식의 숫자 집합 {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …}에서 처럼 자신과 비-자명하게 닮은 것을 의미하며, 여기서 i는 모든 정수에 걸쳐 있습니다. 이 집합은 로그 스케일로 표시하면, 일-차원 평행이동적 대칭(translational symmetry)을 가집니다: 이들 숫자 중 하나의 로그에 2의 로그를 더하거나 빼면 이들 숫자 중 또 다른 숫자의 로그가 생성됩니다. 주어진 숫자의 집합 자체에서, 이것은 숫자를 2로 곱하거나 나누는 닮음 변환에 해당합니다.
Psychology
기하학적 닮음의 개념에 대한 직관은 그들의 그림에서 볼 수 있듯이 이미 인간 어린이에게서 나타납니다.[23]
Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN978-0-13-143748-7
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Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day
Further reading
Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries, Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer ISBN0-387-98972-2 .
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