Infimum and supremum

A set

P

of real numbers (hollow and filled circles), a subset

S

of

P

(filled circles), and the infimum of

S.

Note that for finite, totally ordered sets the infimum and the minimum are equal.

A set

A

of real numbers (blue circles), a set of upper bounds of

A

(red diamond and circles), and the smallest such upper bound, that is, the supremum of

A

(red diamond).

수학(mathematics)에서, 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) $P$ 의 부분집합(subset) $S$ 의 하한(infimum, inf로 약칭됨; 복수형 infima)은 만약 그러한 원소가 존재하면 $S$ 의 모든 원소보다 작거나 같은 $P$ 에서 가장 큰 원소(greatest element)입니다.^[1] 따라서, 용어 가장 큰 아래쪽 경계 (greatest lower bound, GLB로 약칭됨)는 역시 공통적으로 사용됩니다.^[1]

부분적으로 순서화된 집합 $P$ 의 부분집합 $S$ 의 상한(supremum, sup로 약칭됨; 복수형 suprema)은 만약 그러한 원소가 존재하면 $S$ 의 모든 원소보다 작거나 같은 $P$ 에서 가장 작은 원소(least element)입니다.^[1] 따라서, 상한은 역시 가장 작은 위쪽 경계 (least upper bound, 또는 LUB)로 참조됩니다.^[1]

하한은 정확한 의미에서 상한의 개념과 이중(dual)입니다. 실수(real number)의 하한과 상한은 해석학(analysis), 및 특히 르베그 적분에서 중요한 공통적인 특별한 경우입니다. 어쨌든, 일반적인 정의는 임의적인 부분적으로 순서화된 집합이 고려되는 순서 이론(order theory)의 보다 추상적인 설정에서 유효하게 남습니다.

하한과 상한의 개념은 최솟값(minimum)과 최댓값(maximum)과 유사하지만, 해석학에서 보다 유용한데 왜냐하면 그것들은 최솟값 또는 최댓값을 가지지 않는 특별 집합을 더 잘 특성화하기 때문입니다. 예를 들어, 양의 실수(positive real numbers) $\mathbb {R} ^{+}$ ( $0$ 제외)의 집합은 최솟값을 가지지 않는데, 왜냐하면 $\mathbb {R} ^{+}$ 의 임의의 주어진 원소는 여전히 $\mathbb {R} ^{+}$ 내에 있는 더 작은 숫자를 초래하는 단순히 반으로 나뉠 수 있습니다. 어쨌든, 양의 실수의 정확하게 하나의 하한: $0$ 이 있으며, 이것은 모든 양의 실수보다 작고 아래쪽 경계로 사용될 수 있는 임의의 모든 실수보다 큽니다.

Formal definition

부분적으로 순서화된 집합 $(P,\leq )$ 은 부분집합 $S$ 의 아래쪽 경계는 다음을 만족하는 $P$ 의 원소 $a$ 입니다:

모든 $x\in S$ 에 대해 $a\leq x$ 입니다.

$S$ 의 아래쪽 경계 $a$ 는 만약 다음이면 $S$ 의 하한 (또는 가장 큰 아래쪽 경계, 또는 만남(meet))이라고 불립니다:

$P$ 에서 $S$ 의 모든 아래쪽 경계 $y$ 에 대해, $y\leq a$ 입니다 ( $a$ 는 임의의 다른 아래쪽 경계보다 크거나 같습니다).

유사하게, 부분적으로 순서화된 집합 $(P,\leq )$ 은 부분집합 $S$ 의 위쪽 경계는 다음을 만족하는 $P$ 의 원소 $b$ 입니다:

모든 $x\in S$ 에 대해, $b\geq x$ 입니다.

$S$ 의 아래쪽 경계 $b$ 는 만약 다음이면 $S$ 의 상한 (또는 가장 작은 위쪽 경계, 또는 접합(join))이라고 불립니다:

$P$ 에서 $S$ 의 모든 위쪽 경계 $z$ 에 대해, $z\geq b$ 입니다 ( $b$ 는 임의의 다른 위쪽 경계보다 작거나 같습니다).

Existence and uniqueness

하한과 상한이 반드시 존재하지는 않습니다. $P$ 의 부분집합 $S$ 의 하한의 존재는 만약 $S$ 가 아래쪽 경계를 전혀 가지지 않거나, 만약 아래쪽 경계의 집합이 가장 큰 원소를 포함하지 않으면 실패할 것입니다. 어쨌든, 하한 또는 상한이 존재하면, 그것은 고유합니다.

결과적으로, 특정 하한이 존재하는 것으로 알려진 부분적으로 순서화된 집합이 특히 흥미롭게 됩니다. 예를 들어, 격자(lattice)는 모든 비-빈 유한 부분집합이 상한과 하한 둘 다를 가지는 부분적으로 순서화된 집합이고 완비 격자(complete lattice)는 모든 부분집합이 상한과 하한 모두를 가지는 부분적으로 순서화된 집합입니다. 그러한 고려 사항에서 발생하는 부분적으로 순서화된 집합의 다양한 클래스에 대한 자세한 내용은 완비성 속성(completeness properties)에 대한 문서에서 찾을 수 있습니다.

만약 부분집합 $S$ 의 상한이 존재하면, 그것은 고유합니다. 만약 $S$ 가 가장 큰 요소를 포함하고 있으면, 해당 원소가 상한입니다; 그렇지 않으면, 상한은 $S$ 에 속하지 않습니다 (또는 존재하지 않습니다). 마찬가지로, 만약 하한이 존재하면, 그것은 고유합니다. 만약 $S$ 가 가장 작은 원소를 포함하고 있으면, 해당 원소는 하한입니다; 그렇지 않으면, 하한은 $S$ 에 속하지 않습니다 (또는 존재하지 않습니다).

Relation to maximum and minimum elements

부분적으로 순서화된 집합 $P$ 의 부분집합 $S$ 의 하한은, 그것이 존재한다고 가정하면, 반드시 $S$ 에 속하는 것은 아닙니다. 만약 그것이 속하면, 그것은 $S$ 의 최솟값 또는 가장 작은 원소입니다. 유사하게, 만약 $S$ 의 상한은 $S$ 에 속하면, 그것은 $S$ 의 최댓값 또는 가장 큰 원소입니다.

예를 들어, 음의 실수 집합 (영 제외)을 생각해 보십시오. 이 집합은 가장 큰 원소를 가지지 않는데, 왜냐하면 집합의 모든 각 원소에 대해, 또 다른, 더 큰, 원소가 있기 때문입니다. 예를 들어, 임의의 음의 실수 $x$ 에 대해, 더 큰 것인 또 다른 음의 실수 ${\tfrac {x}{2}}$ 가 있습니다. 다른 한편으로, 영보다 크거나 같은 모든 각 실수는 확실하게 이 집합에 대한 위쪽 경계입니다. 따라서, $0$ 은 음의 실수의 가장 작은 위쪽 경계이므로, 상한은 0입니다. 이 집합은 상한을 가지지만 가장 큰 원소는 없습니다.

어쨌든, 최대와 최소 원소의 정의가 보다 일반적입니다. 특히, 집합은 많은 최대와 최소 원소를 가질 수 있지만, 하한과 상한은 고유합니다.

최댓값과 최솟값은 고려 중인 부분집합의 구성원이어야 하지만, 부분집합의 하한과 상한은 해당 부분집합 자체의 구성원일 필요는 없습니다.

Minimal upper bounds

마지막으로, 부분적으로 순서화된 집합은 가장 작은 위쪽 경계를 가짐없이 많은 최소 위쪽 경계를 가질 수 있습니다. 최소 위쪽 경계는 역시 위쪽 경계인 엄격하게 작은 원소가 없는 그것들의 위쪽 경계입니다. 이것은 각각의 최소 위쪽 경계가 모든 다른 위쪽 경계보다 작다는 말하지 않고, 그것이 단지 더 크지 않을 뿐입니다. "최소"와 "가장 작은" 사이의 구분은 주어진 순서가 전체(total) 순서가 아닐 때 오직 가능합니다. 전체적으로 순서화된 집합에서, 실수와 마찬가지로, 그 개념은 같습니다.

하나의 예제로, $S$ 를 자연수의 모든 유한 부분집합의 집합으로 놓고 정수(integer) $\mathbb {Z}$ 의 집합과 함께 $S$ 에서 모든 집합을 취함으로써 얻어진 부분적으로 순서화된 집합과 위에서 처럼 부분집합 포함에 의해 순서화된 양의 실수 $\mathbb {R} ^{+}$ 의 집합을 생각해 보십시오. 그런-다음 분명하게 $\mathbb {Z}$ 와 $\mathbb {R} ^{+}$ 둘 다는 자연수의 모든 유한 집합보다 큽니다. 아직, $\mathbb {R} ^{+}$ 가 $\mathbb {Z}$ 보다 작은 것도 아니고 그 전환이 참도 아닙니다: 집합 둘 다는 최소 위쪽 경계이지만 무엇도 상한이 아닙니다.

Least-upper-bound property

가장 작은-위쪽-경계 속성은 실수의 집합에 대해 전형적인 앞서 언급한 완비성 속성(completeness properties)의 한 예제입니다. 이 속성은 때때로 데데킨트 완비성이라고 불립니다.

만약 순서화된 집합 $S$ 가 위쪽 경계를 가지는 $S$ 의 모든 각 비-빈 부분집합이 역시 가장 작은 위쪽 경계를 가진다는 속성을 가지면, $S$ 는 가장-작은-위쪽-경계 속성을 가진다고 말합니다. 위에서 언급된 것처럼, 모든 실수의 집합 $\mathbb {R}$ 은 가장-작은-위쪽-경계 속성을 가집니다; 만약 $S$ 가 $\mathbb {Z}$ 의 비-빈 부분집합이고 $S$ 의 모든 각 원소 $s$ 가 $n$ 보다 작거나 같은 것을 만족하는 일부 숫자 $n$ 이 있으면, $S$ 에 대해 가장 작은 위쪽 경계 $u$ , $S$ 에 대해 위쪽 경계이고 $S$ 에 대해 모든 각 다른 위쪽 경계보다 작거나 같은 정수가 있습니다. 바른-순서(well-order)화된 집합은 역시 가장-작은-위쪽-경계 속을 가지고, 빈 부분집합은 역시 가장 작은 위쪽 경계: 전체 집합의 최솟값을 가집니다.

가장-작은-위쪽-경계 속성이 없는 집합의 하나의 예제는 $\mathbb {Q} ,$ 유리수의 집합입니다. $S$ 를 $q^{2}<2$ 를 만족하는 모든 유리수 $q$ 의 집합으로 놓습니다. 그런-다음 $S$ 는 위쪽 경계 (예를 들어, $1000,$ 또는 $6$ )를 가지지만 $\mathbb {Q}$ 에서 가장 작은 위쪽 경계를 가지지 않습니다: 만약 우리가 $p\in \mathbb {Q}$ 가 가장 작은 위쪽 경계라고 가정하면, 모순은 즉시 추론되는데 왜냐하면 ( ${\sqrt {2}}$ 와 $p$ 를 포함하는) 임의의 두 실수 $x$ 와 $y$ 사이에 자체가 ( $p>{\sqrt {2}}$ 이면) 가장 작은 위쪽 경계가 되어야 하거나 ( $p<{\sqrt {2}}$ 이면) $p$ 보다 더 큰 $S$ 의 구성원이어야 하는 어떤 유리수 $r$ 이 존재하기 때문입니다. 또 다른 예제는 초실수(hyperreals)입니다; 양의 무한소의 집합의 가장 작은 위쪽 경계는 없습니다.

대응하는 가장-큰-아래쪽-경계 속성이 있습니다; 순서화된 집합이 가장-큰-아래쪽-경계 속성을 보유하는 것과 그것이 역시 가장-작은-위쪽-경계 속성을 보유하는 것은 필요충분 조건입니다; 집합의 아래쪽 경계의 집합의 가장-작은-위쪽-경계는 가장-큰-아래쪽-경계이고, 집합의 위쪽 경계의 집합의 가장-큰-아래쪽-경계는 집합의 가장-작은-위쪽-경계입니다.

만약 부분적으로 순서화된 집합 $P$ 에서, 모든 각 경계진 부분집합은 상한을 가지지만, 이것은 역시, $X$ 에서 $P$ 로의 모든 함수를 포함하는 함수 공간에서, 임의의 집합 $X$ 에 대해 적용되며, 여기서 $f\leq g$ 인 것과 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)\leq g(x)$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 예를 들어, 그것은 실수에 대해 적용되고, 이것들이 함수의 특별한 경우로 고려되기 때문에, 실수 $n$ -튜플과 실수의 수열에 대해 적용됩니다.

가장-작은-위쪽-경계 속성(least-upper-bound property)은 상한의 지표입니다.

Infima and suprema of real numbers

해석학(analysis)에서, 실수(real numbers)의 부분집합 $S$ 의 하한과 상한은 특히 중요합니다. 예를 들어, 음의 실수(real numbers)는 가장 큰 원소를 가지지 않고, 그것들의 상한은 $0$ 입니다 (이것은 음의 실수가 아닙니다).^[1] 실수의 완비성(completeness of the real numbers)은 실수의 임의의 경계진 비-빈 부분집합 $S$ 가 하한과 상한을 가짐을 의미합니다 (및 동등합니다). 만약 $S$ 가 아래로 경계진 것이 아니면, 우리는 종종 형식적으로 $\inf _{}S=-\infty$ 를 씁니다. 만약 $S$ 가 빈(empty) 것이면, 우리는 $\inf _{}S=+\infty$ 를 씁니다.

Properties

다음 공식은 집합에 대한 산술 연산을 편리하게 일반화하는 표기법에 의존합니다: 집합 $A,B\subseteq \mathbb {R}$ 와 스칼라 $r\in \mathbb {R}$ 라고 놓습니다. 다음을 정의합니다:

$A\neq \varnothing$ 인 것과 $\sup A\geq \inf A$ 이고, 그렇지 않으면 $-\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty$ 인 것은 필요충분 조건입니다.^[2]
$rA=\{r\cdot a:a\in A\}$ ; 집합의 스칼라 곱은 단지 집합에서 모든 각 원소에 의한 곱해진 스칼라입니다.
$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$ ; 민코프스키 합이라고 불리며, 두 집합의 산술 합은 각 집합에서 하나씩 모든 가능한 숫자의 쌍의 합입니다.
$A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}$ ; 두 집합의 산술 곱은 각 집합에서 하나씩 원소의 쌍의 모든 곱입니다.
만약 $\varnothing \neq S\subseteq \mathbb {R}$ 이면 $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S$ 를 만족하는 $S$ 에서 수열 $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 이 존재합니다. 유사하게, $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S$ 를 만족하는 $S$ 에서 (아마도 다른) 수열 $s_{\bullet }$ 이 존재할 것입니다. 결과적으로, 만약 극한 $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S$ 이 실수이고 $f:\mathbb {R} \to X$ 가 연속 함수이면, $f\left(\sup S\right)$ 는 반드시 $f(S)$ 의 밀착 점(adherent point)입니다.

집합 $A$ 와 $B$ 의 하한과 상한이 존재하는 그들 경우에서, 다음 항등식이 유지됩니다:

$p=\inf A$ 인 것과 $p$ 가 아래쪽 경계이고 모든 각 $\epsilon >0$ 에 대해 $a_{\epsilon }<p+\epsilon$ 를 갖는 $a_{\epsilon }\in A$ 이 있는 것은 필요충분 조건입니다.
$p=\sup A$ 인 것과 $p$ 가 위쪽 경계이고 모든 각 $\epsilon >0$ 에 대해 $a_{\epsilon }>p-\epsilon$ 를 갖는 $a_{\epsilon }\in A$ 가 있는 것은 필요충분 조건입니다.
만약 $A\subseteq B$ 이면 $\inf A\geq \inf B$ 및 $\sup A\leq \sup B$ 입니다.
만약 $r>0$ 이면 $\inf(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)$ 및 $\sup(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)$ 입니다.
만약 $r\leq 0$ 이면 $\inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)$ 및 $\sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)$ 입니다.
$\inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)$ 및 $\sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).$
만약 $A$ 와 $B$ 가 양의 실수의 비-빈 집합이면 $\inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)$ 이고 유사하게 상한에 대해 $\sup(A\cdot B)=\left(\sup A\right)\cdot \left(\sup B\right).$ ^[3]
만약 $S\subseteq (0,\infty )$ 가 비-빈이고 ${\frac {1}{S}}:=\left\{{\frac {1}{s}}:s\in S\right\}$ 이면, ${\frac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\frac {1}{S}}$ 이며 여기서 이 방정식은 역시 만약 정의 ${\frac {1}{\infty }}:=0$ 가 사용되면 $\sup _{}S=\infty$ 일 때 유지됩니다.^{[note 1]} 이 상등은 대안적으로 ${\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\frac {1}{s}}$ 로 쓸 수 있습니다. 게다가, $\inf _{}S=0$ 인 것과 $\sup _{}{\frac {1}{S}}=\infty$ 이 것은 필요충분 조건이며, 여기서 만약 $\inf _{}S>0$ 이면, ${\frac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\frac {1}{S}}$ 입니다.^{[note 1]}

Duality

만약 우리가 $P^{\operatorname {op} }$ 에 의해 반대 순서 관계(opposite order relation)를 갖는 부분적으로-순서화된 집합 $P$ 을 나타내면; 즉, 모든 $x{\text{ and }}y$ 에 대해, 다음을 선언하면 $x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,$

$P$ 에서 부분집합 $S$ 의 하한은 $P^{\operatorname {op} }$ 에서 $S$ 의 상한과 같고 그 반대도 마찬가지입니다.

실수의 부분집합에 대해, 또 다른 이중성의 종류가 유지됩니다: $\inf S=-\sup(-S),$ 여기서 $-S:=\{-s~:~s\in S\}.$

Examples

Infima

숫자의 집합 $\{2,3,4\}$ 의 하한은 $2$ 입니다. 숫자 $1$ 은 아래쪽 경계지만, 가장 큰 아래쪽 경계가 아니고, 따라서 하한은 아닙니다.
보다 일반적으로, 만약 집합이 가장 작은 원소를 가지면, 가장 작은 원소가 그 집합에 대해 하한입니다. 이 경우에서, 그것은 역시 그 집합의 최솟값(minimum)이라고 불립니다.
$\inf\{1,2,3,\ldots \}=1.$
$\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$
$\inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.$
$\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.$
만약 $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 이 극한 $x$ 를 갖는 감소하는 수열이면, $\inf x_{n}=x$ 입니다.

Suprema

숫자의 집합 $\{1,2,3\}$ 의 상한은 $3$ 입니다. 숫자 $4$ 는 위쪽 경계이지만, 그것은 가장 작은 위쪽 경계가 아니고, 따라서 상한이 아닙니다.
$\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.$
$\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.$
$\sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.$
$\sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.$

마지막 예제에서, 유리수(rationals)의 집합의 상한은 무리수(irrational)이며, 이것은 유리수가 비완비(incomplete)임을 의미합니다.

상한의 하나의 기본 속성은 임의의 함수형(functionals) $f$ 와 $g$ 에 대해 다음입니다: $\sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}$ $(\mathbb {N} ,\mid \,)$ 의 부분집합 $S$ 의 상한은, 여기서 $\,\mid \,$ 는 "나누기"를 의미하며, $S$ 의 원소의 최소 공통 배수(lowest common multiple)입니다.

$(P,\subseteq )$ 의 부분집합 $S$ 의 상한은, 여기서 $P$ 는 어떤 집합의 거듭제곱 집합(power set)이며, $S$ 의 원소의 합집합(union)인 $P$ 의 부분집합 $S$ 의 $\,\subseteq \,$ (부분집합)에 관한 상한입니다.

Notes

^ ^a ^b The definition ${\frac {1}{\infty }}:=0$ is commonly used with the extended real numbers; in fact, with this definition the equality ${\frac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\frac {1}{S}}$ will also hold for any non-empty subset $S\subseteq (0,\infty ].$ However, the notation ${\frac {1}{0}}$ is usually left undefined, which is why the equality ${\frac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\frac {1}{S}}$ is given only for when $\inf _{}S>0.$

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
^ Rockafellar & Wets 2009, pp. 1–2.
^ Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. pp. 39–42.

Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

External links

"Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum and supremum". MathWorld.

[DivisionByInfinityOr0-4] The definition ${\frac {1}{\infty }}:=0$ is commonly used with the extended real numbers; in fact, with this definition the equality ${\frac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\frac {1}{S}}$ will also hold for any non-empty subset $S\subseteq (0,\infty ].$ However, the notation ${\frac {1}{0}}$ is usually left undefined, which is why the equality ${\frac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\frac {1}{S}}$ is given only for when $\inf _{}S>0.$

[BabyRudin-1] Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.

[FOOTNOTERockafellarWets20091–2-2] Rockafellar & Wets 2009, pp. 1–2.

[zakon-3] Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. pp. 39–42.

[1]

[2]

[3]

[note 1]