Functional (mathematics)

The arc length functional has as its domain the vector space of rectifiable curves – a subspace of $C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$ – and outputs a real scalar. This is an example of a non-linear functional.

수학(mathematics)에서, 함수형 (명사)은 특정 유형의 함수(function)입니다. 그 용어의 정확한 정의는 부분-필드에 따라 다릅니다 (그리고 때때로 심지어 저자까지 다르게 정의합니다).

선형 대수(linear algebra)에서, 그것은 벡터 공간 $V$ 에서 그것의 스칼라의 필드(field of scalars) (즉, 이중 공간(dual space) $V^{*}$ 의 원소)로의 선형 매핑인 선형 형식(linear form)과 동의어입니다.^[1]
함수형 해석학(functional analysis)과 관련된 분야에서, 그것은 보다 일반적으로 공간 $X$ 에서 실수(real) 또는 복소수(complex numbers)로의 매핑으로 참조됩니다.^[2] 함수형 해석학에서, 용어 선형 함수형(linear functional)은 선형 형식(linear form)의 동의어입니다;^[3]^[4] 즉, 그것은 스칼라-값 선형 맵입니다. 저자에 따라, 그러한 매핑은 선형으로 가정될 수 있거나 가정되지 않을 수 있거나, 전체 공간 $X$ 위에 정의될 수 있거나 정의되지 않을 수 있습니다.^{[citation needed]}
컴퓨터 과학(computer science)에서, 그것은 고차 함수, 즉, 함수를 인수로 취하거나 함수를 반환하는 함수와 동의어입니다.

이 기사는 주로 18세기 초에 변화의 계산법(calculus of variations)의 일부로 발생했던 두 번째 개념에 관한 것입니다. 더 현대적이고 추상적인 첫 번째 개념은 이름 선형 형식(linear form) 아래에서 별도의 기사에서 자세히 논의됩니다. 세 번째 개념은 고차 함수(higher-order functions)에 대한 컴퓨터 과학 기사에서 자세히 설명됩니다.

공간 $X$ 가 함수의 공간인 경우에서, 함수형은 "함수의 함수"이고,^[5] 일부 오래된 저자는 실제로 용어 "함수형"을 "함수의 함수"를 의미하는 것으로 정의합니다. 어쨌든, $X$ 가 함수의 공간이라는 사실은 수학적으로 필수가 아니므로, 이 오래된 정의는 더 이상 널리 사용되지 않습니다.

그 용어는 주어진 함수형을 최소화 (또는 최대화)하는 함수에 대해 검색하는 변화의 계산법(calculus of variations)에서 유래합니다. 물리학(physics)에서 특히 중요한 응용은 동작(action)을 최소화 (또는 최대화)하는 시스템 상태, 또는 다른 말로 라그랑주(Lagrangian)의 시간 적분을 찾는 것입니다.

Details

Duality

다음 매핑은 $x_{0}\mapsto f(x_{0})$ 하나의 함수이며, 여기서 $x_{0}$ 는 함수 $f$ 의 인수입니다. 동시에, 한 점에서 함수의 값에 대한 함수의 매핑은 $f\mapsto f(x_{0})$ 함수형(functional)입니다; 여기서, $x_{0}$ 는 매개변수(parameter)입니다.

$f$ 가 벡터 공간에서 놓여있는 스칼라 필드로의 선형 함수라는 조건으로 하여, 위의 선형 맵은 서로 이중(dual)이고, 함수형 해석학에서 둘 다는 선형 함수형(linear functional)이라고 불립니다.

Definite integral

다음과 같은 적분(Integral)은

f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu ({\mbox{d}}x)

함수형의 특별한 경우를 형성합니다. 그것들은 함수 $f$ 를 실수로 매핑하며, $H$ 가 실수-값이라는 조건으로 합니다. 예제는 다음을 포함합니다:

양의 함수 $f$ 의 그래프 아래의 넓이 $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x$
집합 $E$ 에 대한 함수의 $L^{p}$ 노름 $f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$
이-차원 유클리드 공간에서 곡선의 호길이(arclength) $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x$

Inner product spaces

안의 곱 공간(inner product space) $X$ 와 고정된 벡터 ${\vec {x}}\in X$ 가 주어지면, ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ 에 의해 정의된 맵은 $X$ 에 대한 선형 함수형입니다. ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ 가 영을 만족하는 벡터 ${\vec {y}}$ 의 집합은 함수형의 널 공간 또는 커널(kernel), 또는 $\{{\vec {x}}\}^{\perp }$ 라고 표시되는 ${\vec {x}}$ 의 직교 여(orthogonal complement)라고 불립니다.

예를 들어, 안의 곱을 고정된 함수 $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 와 취하는 것은 $[-\pi ,\pi ]$ 위에 제곱 적분-가능 함수의 힐베르트 공간(Hilbert space) $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ 에서 (선형) 함수형을 정의합니다: $f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g$

Locality

만약 함수형의 값이 입력 곡선의 작은 부분에 대해 계산되고 그런-다음 전체 값을 찾기 위해 합해질 수 있으면, 그 함수형은 지역적이라고 불립니다. 그렇지 않으면 그것은 비-지역적이라고 불립니다. 예를 들어: 다음은 $F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x$

지역적이고 반면에 다음은 $F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}$

비-지역적입니다. 이것은 질량 중심의 계산과 같이 방정식의 분자와 분모에서 적분이 별도로 발생할 때 공통적으로 발생합니다.

Functional equations

전통적인 사용법은 함수형 사이의 방정식을 의미하는 함수형 방정식에 대해 이야기할 때도 적용됩니다: 함수형 사이의 방정식 $F=G$ 는 '해결하기 위한 방정식'으로 읽힐 수 있으며, 해는 자체 함수입니다. 그러한 방정식에서, 덧셈 맵 $f$ 는 코시의 함수형 방정식을 만족시키는 맵이라고 할 때와 같이 미지수 변수의 여러 집합이 있을 수 있습니다: $f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.$

Derivative and integration

함수형 도함수(Functional derivative)는 라그랑주 역학(Lagrangian mechanics)에서 사용됩니다. 그것들은 함수의 도함수입니다; 즉, 그것들은 입력 함수가 작은 총양만큼 변할 때 함수형이 얼마나 변하는지에 대한 정보를 전달합니다.

리처드 파인만(Richard Feynman)은 양자 역학(quantum mechanics)의 역사에 걸쳐 합(sum over the histories) 공식화에서 중심 아이디어로 함수형 적분(functional integrals)을 사용했습니다. 이 사용법은 일부 함수 공간(function space)에 걸쳐 취해진 적분을 의미합니다.

References

^ Lang 2002, p. 142 "Let E be a free module over a commutative ring A. We view A as a free module of rank 1 over itself. By the dual module E^∨ of E we shall mean the module Hom(E, A). Its elements will be called functionals. Thus a functional on E is an A-linear map f : E → A."
^ Kolmogorov & Fomin 1957, p. 77 "A numerical function f(x) defined on a normed linear space R will be called a functional. A functional f(x) is said to be linear if f(αx + βy) = αf(x) βf(y) where x, y ∈ R and α, β are arbitrary numbers."
^ Axler (2015) p. 101, §3.92
^ Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Linear functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
^ Kolmogorov & Fomin 1957, pp. 62-63 "A real function on a space R is a mapping of R into the space R¹ (the real line). Thus, for example, a mapping of Rⁿ into R¹ is an ordinary real-valued function of n variables. In the case where the space R itself consists of functions, the functions of the elements of R are usually called functionals."

Axler, Sheldon (2015), Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-11079-0
Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
Lang, Serge (2002), "III. Modules, §6. The dual space and dual module", Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 142–146, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Sobolev, V.I. (2001) [1994], "Functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Linear functional in nLab
Nonlinear functional in nLab
Rowland, Todd. "Functional". MathWorld.
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[LangAlgebra2002DefFunctional-1] Lang 2002, p. 142 "Let E be a free module over a commutative ring A. We view A as a free module of rank 1 over itself. By the dual module E^∨ of E we shall mean the module Hom(E, A). Its elements will be called functionals. Thus a functional on E is an A-linear map f : E → A."

[KolmogorovDefFunctionalOnLinearSpace-2] Kolmogorov & Fomin 1957, p. 77 "A numerical function f(x) defined on a normed linear space R will be called a functional. A functional f(x) is said to be linear if f(αx + βy) = αf(x) βf(y) where x, y ∈ R and α, β are arbitrary numbers."

[Axler2015-3] Axler (2015) p. 101, §3.92

[EOFLinearFunctional-4] Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Linear functional", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[KolmogorovDefFunctionalAsMapDefinedOnSetOfFunctions-5] Kolmogorov & Fomin 1957, pp. 62-63 "A real function on a space R is a mapping of R into the space R¹ (the real line). Thus, for example, a mapping of Rⁿ into R¹ is an ordinary real-valued function of n variables. In the case where the space R itself consists of functions, the functions of the elements of R are usually called functionals."

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