Identity matrix

Original article: w:Identity matrix

Not to be confused with matrix of ones, unitary matrix, or matrix unit.

3×3 identity matrix

선형 대수에서, 크기 n의 항등 행렬은 주요 대각선(main diagonal)에 일과 나머지 모든 곳에 영을 갖는 n × n 정사각 행렬(square matrix)입니다. 그것은 크기가 중요하기 않거나 문맥에 의해 자명하게 결정될 수 있으면 I_n, 또는 간단히 I에 의해 표시됩니다.

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

용어 단위 행렬(unit matrix)은 역시 광범위하게 사용되어 왔지만, 용어 항등 행렬이 이제 표준입니다. 용어 단위 행렬은 모호한데, 왜냐하면 그것은 역시 일들의 행렬(matrix of ones)과 모든 n×n 행렬의 링에 대해 사용되기 때문입니다.

그룹 필드(group theory) 또는 양자 역학(quantum mechanics)과 같은 일부 분야에서, 항등 행렬은 때때로 굵은-글씨 일, 1에 의해 표시되거나 (항등에 대한 축약) "id"로 불립니다; 그렇지 않으면, 그것은 I와 동일합니다. 덜 자주, 일부 수학 책은 항등 행렬을 나타내기 위해 U 또는 E를 사용하며, 각각 "단위 행렬"과 독일어 단어 Einheitsmatrix를 의미합니다.

A가 m×n일 때, 그것은 다음과 같은 행렬 곱셈(matrix multiplication)의 속성입니다:

$I_{m}A=AI_{n}=A.$

특히, 항등 행렬은 모든 n×n 행렬의 링의 곱셈의 항등원(multiplicative identity), 및 일반적인 선형 그룹(general linear group) (모든 역가능(invertible) n×n 행렬을 구성하는 그룹)의 항등 원소(identity element)로 역할을 합니다. 특히, 항등 행렬은 역가능이고, 그것의 역은 정확하게 자신입니다.

n×n 행렬이 n-차원 벡터 공간에서 자체로의 선형 변환(linear transformation)을 나타내기 위해 사용되는 곳에서, I_n은 기저(basis)에 관계없이 항등 함수(identity function)를 나타냅니다.

항등 행렬의 i번째 열은 단위 벡터(unit vector) e_i (i번째 엔트리가 1이고 다른 곳은 0인 벡터)입니다. 따라서 단위 행렬의 행렬식(determinant)은 1이고, 대각합(trace)은 n입니다.

대각 행렬(diagonal matrices)을 간결하게 설명하기 위해 때때로 사용되는 표기법을 사용하여, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$

항등 행렬은 역시 크로네커 델타(Kronecker delta) 표기법을 사용하여 쓸 수 있습니다:

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$

항등 행렬이 두 정사각 행렬의 곱일 때, 두 행렬은 서로의 역이라고 말합니다.

항등 행렬은 비-영 행렬식을 갖는 유일한 거듭상등 행렬(idempotent matrix)입니다. 즉, 그것은 다음을 만족하는 유일한 행렬입니다:

1. 자신과 곱해질 때, 결과가 자신입니다.
2. 행의 모두와 열의 모두는 선형적으로 독립(linearly independent)입니다.

항등 행렬의 주요 제곱근(principal square root)은 자체이고, 이것은 그것의 유일한 양의-한정(positive-definite) 제곱근입니다. 어쨌든, 적어도 둘의 행과 열을 갖는 모든 각 항등 행렬은 대칭 제곱근의 무한대가 있습니다.

항등 행렬의 랭크(rank)는 크기 n, 즉, 다음과 같습니다:

$rank(I_{n})=n.$

See also

• Binary matrix (zero-one matrix)
• Elementary matrix
• Exchange matrix
• Matrix of ones
• Pauli matrices (the identity matrix is the zeroth Pauli matrix)
• Square root of a 2 by 2 identity matrix
• Unitary matrix
• Zero matrix