Inclusion map

수학(mathematics)에서, 만약 $A$ 가 $B$ 의 부분집합(subset)이면 포함 맵(inclusion map, 역시 inclusion function, insertion,^[1] 또는 canonical injection)은 $A$ 의 각 원소 $x$ 를 $B$ 의 원소로 취급되는 $x$ 로 보내는 함수(function) $\iota$ 입니다: $\iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.$

"갈고리 화살표" (U+21AA ↪ RIGHTWARDS ARROW WITH HOOK)^[2]는 때때로 포함 맵을 나타내기 위해 위의 함수 화살표 대신 사용됩니다; 따라서: $\iota :A\hookrightarrow B.$

(어쨌든, 일부 저자는 임의의 삽입(embedding)에 대해 이 갈고리 화살표를 사용합니다.)

이것과 부분구조(substructures)로부터 다른 유사한 단사(injective) 함수는^[3] 때때로 자연스러운 단사(natural injections)라고 불립니다.

대상(objects) $X$ 와 $Y$ 사이의 임의의 사상(morphism) $f$ 가 주어졌을 때, 만약 도메인(domain)으로의 포함 맵 $\iota :A\to X$ 이 있으면, $f$ 의 제한(restriction) $f\,\iota$ 를 형성할 수 있습니다. 많은 사례에, $f$ 의 치역(range)으로 알려진 코도메인(codomain)으로의 정식의 포함 $R\to Y$ 을 구성할 수도 있습니다.

Applications of inclusion maps

포함 맵은 대수적 구조(algebraic structures)의 준동형(homomorphisms)인 경향이 있습니다; 따라서, 그러한 포함 맵은 삽입(embeddings)입니다. 보다 정확하게, 일부 연산 아래에서 닫힌 부분구조가 주어졌을 때, 포함 맵은 동어반복적 이유로 삽입이 됩니다. 예를 들어, 일부 이진 연산 $\star$ 에 대해, 다음임을 요구하는 것은 $\iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)$ 간단히 $\star$ 는 부분-구조와 큰 구조에서 일관되게 계산된다고 말하는 것입니다. 단항 연산(unary operation)의 경우도 비슷합니다; 그러나 상수 원소를 선택하는 영항(nullary) 연산도 살펴봐야 합니다. 여기서 요점은 클로저(closure)는 그러한 상수가 부분-구조에 이미 제공되어야 함을 의미한다는 것입니다.

포함 맵은 만약 $A$ 가 $X$ 의 강한 변형 수축(strong deformation retract)이면, 포함 맵이 모든 호모토피 그룹 사이에 동형사상을 산출하는 (즉, 호모토피 동등성임) 대수적 토폴로지(algebraic topology)에서 볼 수 있습니다.

기하학(geometry)에서 포함 맵은 다양한 종류가 있습니다; 예를 들어 부분매니폴드(submanifolds)의 삽입(embeddings)이 있습니다. 미분 형식(differential forms)과 같은 반변(Contravariant) 대상 (다시 말해, 당김(pullbacks)을 가지는 대상; 이전 용어와 비-관계된 용어에서 공변(covariant)이라고 불림)은 부분매니폴드로 제한되어, 다른 방향에서 매핑을 제공합니다. 보다 정교한 또 다른 예제는 아핀 스킴(affine schemes)의 예제이며, 이것에 대해 다음 포함은 $\operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)$ 그리고 $\operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)$ $R$ 은 교환 링(commutative ring)이고 $R$ 은 $R$ 의 아이디얼(ideal)인 곳에서 다른 사상(morphisms)일 수 있습니다.

References

^ MacLane, S.; Birkhoff, G. (1967). Algebra. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. p. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Note that "insertion" is a function $S \to U$ and "inclusion" a relation $S \subset U$ ; every inclusion relation gives rise to an insertion function.
^ "Arrows – Unicode" (PDF). Unicode Consortium. Retrieved 2017-02-07.
^ Chevalley, C. (1956). Fundamental Concepts of Algebra. New York, NY: Academic Press. p. 1. ISBN 0-12-172050-0.

[1] MacLane, S.; Birkhoff, G. (1967). Algebra. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. p. 5. ISBN 0-8218-1646-2. Note that "insertion" is a function $S \to U$ and "inclusion" a relation $S \subset U$ ; every inclusion relation gives rise to an insertion function.

[Unicode_Arrows-2] "Arrows – Unicode" (PDF). Unicode Consortium. Retrieved 2017-02-07.

[3] Chevalley, C. (1956). Fundamental Concepts of Algebra. New York, NY: Academic Press. p. 1. ISBN 0-12-172050-0.

[1]

[2]

[3]

Applications of inclusion maps

See also

References