Closure (mathematics)

수학(mathematics)에서, 집합(set)은 만약 집합의 구성원에 대한 해당 연산을 수행하는 것이 항상 해당 집합의 구성원을 생성하면 연산(operation) 아래에서 닫혀 있습니다(closed). 예를 들어, 양의 정수(integer)는 덧셈 아래에서 닫혀 있지만, 뺄셈 아래에서 닫혀 있지 않습니다: 1 − 2는 비록 1과 2 둘 다가 양의 정수일지라도 양의 정수가 아니기 때문입니다. 또 다른 예제는 오직 영을 포함하는 집합이며, 이것은 덧셈, 뺄셈과 곱셈 아래에서 닫혀 있습니다. (왜냐하면 0 + 0 = 0, 0 − 0 = 0, 및 0 × 0 = 0이기 때문입니다.

유사하게, 집합은 만약 그것이 개별적인 각각의 연산 아래에서 닫혀 있으면 연산의 모든 아래에서 닫혀 있다고 말합니다.

Basic properties

연산 또는 연산의 모음 아래에서 닫혀 있는 집합은 닫힘 속성(closure property)을 만족시키는 것으로 말합니다. 종종 닫힘 속성은 공리로 도입되며, 이것은 그런-다음 보통 닫힘의 공리(axiom of closure)라고 불려집니다. 현대 집합-이론적 정의는 보통 연산을 집합 사이의 맵으로 정의하므로, 구조에 닫힘을 공리로 더하는 것은 불필요합니다; 어쨌든 실제에서 연산은 종종 질문에서 그 집합의 초월집합 위에 초기에 정의되고 닫힘 증명은 해당 집합으로부터 쌍에 적용된 연산이 해당 집합의 구성원을 오직 생성한다는 것을 수립하기 위해 요구됩니다. 예를 들어, 짝수 정수의 집합은 덧셈 아래에서 닫혀 있지만, 홀수 정수의 집합은 그렇지 않습니다.

집합 S가 일부 연산 아래에서 닫혀 있지 않을 때, 우리는 보통 닫혀 있는 S를 포함하는 가장-작은 집합을 찾을 수 있습니다. 이 가장-작은 닫힌 집합은 (이들 연산에 관한) S의 닫힘(closure)이라고 불립니다.^[1] 예를 들어, 자연수의 집합의 뺄셈 아래에서 닫힘은, 실수의 부분집합으로 보이며, 정수(integers)의 집합입니다. 중요한 예제는 토폴로지적 닫힘(topological closure)의 그것입니다. 닫힘의 개념은 갈루아 연결(Galois connection)에 의해, 및 나아가서 모나드(monad)에 의해 일반화됩니다.

집합 S는 닫힌 연산자에 대해 닫혀 있기 위해 닫힌 집합의 부분집합이어야 합니다. 이전 예제에서, 실수가 뺄셈 아래에서 닫혀 있는 것이 중요합니다; 자연수의 도메인에서 뺄셈은 항상 정의되지 않습니다.

단어 "닫힘"의 두 사용은 혼동되어서는 안됩니다. 전자의 사용은 닫혀 있는 속성을 참조하고, 후자는 닫혀 있지 않을 수 있는 것을 포함하는 가장-작은 닫힌 집합을 참조합니다. 요컨대, 집합의 닫힘은 닫힘 속성을 만족시킵니다.

Closed sets

집합은 만약 연산이 집합의 구성원에 대해 평가할 때 집합의 구성원을 반환하면 연산 아래에서 닫혀 있습니다.^[2] 때때로 연산이 집합으로 평가되어야 한다는 요구사항이 명시적으로 언급되며, 이 경우에서 그것은 닫힘의 공리(axiom of closure)로 알려져 있습니다. 예를 들어, 우리는 그룹(group)을 여러 공리를 따르는 이항 곱 연산자를 갖는 집합으로 정의할 수 있으며, 그룹의 임의의 두 원소의 곱이 다시 원소라는 공리를 포함합니다. 어쨌든 연산의 현대적 정의는 이 공리를 불필요하게 만듭니다; S 위에 n-항(n-ary) 연산(operation)은 단지 Sⁿ⁺¹의 부분집합입니다. 그것의 바로 그 정의에 의해, 집합 위의 연산자는 집합 외부의 값을 가질 수 없습니다.

그럼에도 불구하고, 집합 위에 연산자의 닫힘 속성은 여전히 같은 도구를 가집니다. 집합 위의 닫힘은 반드시 모든 부분집합 위의 닫힘을 의미하지는 않습니다. 따라서 그룹의 부분그룹(subgroup)은 이항 곱과 역(inversion)의 단항 연산(unary operation)이 닫힘 공리를 만족시키는 부분집합 위에 부분집합입니다.

다른 종류의 연산은 토폴로지적 공간(topological space)의 부분집합의 극한 점(limit point)을 찾는 것입니다. 이 연산 아래에서 닫혀 있는 집합은 보통 토폴로지(topology)의 문맥에서 닫힌 집합(closed set)으로 참조됩니다. 임의의 그 이상의 자격없이, 그 문구는 보통 이 의미에서 닫혀 있음을 의미합니다. [1,2] = {x : 1 ≤ x ≤ 2}와 같은 닫힌 구간(Closed interval)은 이 의미에서 닫혀 있습니다.

부분적으로 순서화된 집합의 부분집합은 만약 부분집합의 모든 각 원소에 대해, 모든 더 작은 원소가 역시 부분집합에 있으면 아래로 닫힌 집합(downward closed set) (역시 아래쪽 집합(lower set)이라고 불림)입니다. 이것은 예를 들어 실수 구간 (−∞, p)과 (−∞, p], 및 구간 [0, p)으로 표현되는 순서 숫자(ordinal number) p에 적용됩니다. 순서 집합의 모든 각 아래로 닫힌 집합은 자체로 순서 집합입니다. 위로 닫힌 집합(upward closed sets) (역시 위쪽 집합이라고 불림)은 유사하게 정의됩니다.

Examples

토폴로지(topology)와 관련 가지에서, 관련 연산이 극한을 취하는 것입니다. 집합의 토폴로지적 닫힘(topological closure)은 해당하는 닫힘 연산자입니다. Kuratowski 폐쇄 공리는이 연산자의 특징입니다. 쿠라토프스키 클로저 공리(Kuratowski closure axioms)는 이 연산자를 특성화합니다.
선형 대수(linear algebra)에서, 벡터의 집합 X의 선형 스팬(linear span)은 해당 집합의 닫힘입니다; 그것은 X를 포함하는 벡터 공간(vector space)의 가장-작은 부분공간이고 선형 조합(linear combination)의 연산 아래에서 닫혀 있습니다. 이 부분집합은 부분공간(subspace)입니다.
매트로이드(matroid) 이론에서, X의 닫힘은 X의 같은 랭크를 가지는 X의 가장-큰 초월집합입니다.
집합 이론(set theory)에서, 집합(set)의 전이적 닫힘(transitive closure).^[3]
집합 이론(set theory)에서, 이항 관계(binary relation)의 전이적 닫힘(transitive closure).^[3]
대수학(algebra)에서, 필드(field)의 대수적 닫힘(algebraic closure).^[4]
교환 대수(commutative algebra)에서, 정수 닫힘(integral closure)과 단단한 닫힘(tight closure)처럼, 아이디얼에 대해 닫힘 연산
기하학(geometry)에서, 점의 집합 S의 볼록 껍질(convex hull)은 S가 부분집합(subset)인 가장-작은 볼록 집합(convex set)입니다.^[5]
형식적 언어(formal language)에서, 언어의 클레이니 닫힘(Kleene closure)은 해당 언어에서 영 이상의 문자열을 연쇄함으로써 만들어질 수 있는 문자열의 집합으로 설명될 수 있습니다.
그룹 이론(group theory)에서, 그룹(group) 원소의 집합의 켤레 닫힘(conjugate closure) 또는 정규 닫힘은 그 집합을 포함하는 가장-작은 정규 부분그룹입니다.
수학적 해석학(mathematical analysis)과 확률 이론(probability theory)에서, 셀-수-있게 많은(countably many) 집합 연산(set operations) 아래에서 X의 부분집합의 모음의 닫힘은 모음에 의해 생성된 σ-대수(σ-algebra)라고 불립니다.

Closure operator

집합 X 위에 연산이 주어지면, 우리는 X의 부분집합 S의 닫힘 C(S)를, 만약 임의의 그러한 부분집합이 존재하면, S를 부분집합으로 포함하는 해당 연산 아래에서 닫혀 있는 가장-작은 부분집합으로 정의할 수 있습니다. 결과적으로, C(S)는 S를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합입니다. 예를 들어, 그룹의 부분집합의 닫힘은 해당 집합에 의해 생성된(generated) 부분그룹입니다.

일부 연산에 관한 집합의 닫힘은 X의 부분집합 위에 닫힘 연산자를 정의합니다. 닫힌 집합은 닫힘 연산자로부터 결정될 수 있습니다; 집합은 만약 그것이 그것 자체 닫힘과 같으면 닫혀 있습니다. 모든 닫힘 연산의 전형적인 구조적 속성은 다음입니다:^[6]

닫힘은 증가하거나 광대한 것입니다: 대상의 닫힘은 대상을 포함합니다.
닫힘은 거듭상등(idempotent)입니다: 닫힘의 닫힘은 닫힘과 같습니다.
닫힘은 단조적입니다. 즉, 만약 X가 Y에 포함되면, 역시 C(X)는 C(Y)에 포함됩니다.

그것 자체의 닫힘인 대상은 닫혀 있는 것이라고 불립니다. 거듭상등성에 의해, 대상이 닫혀 있는 것과 그것이 일부 대상의 클로저인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

이들 세 속성이 추상 닫힘 연산자를 정의합니다. 전형적으로, 추상 닫힘은 집합의 모든 부분집합의 클래스 위에 작동합니다.

만약 X가 연산 아래에서 닫혀 있는 집합에 포함되면, X의 모든 각 부분집합은 닫힘을 가집니다.

Binary relation closures

먼저 동종 관계(homogeneous relation) R ⊆ A × A를 생각해 보십시오. 만약 관계 S가 aSb ⇒ bSa를 만족시키면, 그것은 대칭 관계(symmetric relation)입니다. 임의의 동종 관계 R은 대칭이 아닐 수 있지만 그것은 항상 일부 대칭 관계: R ⊆ S에 포함됩니다. R ⊆ S. 가장-작은 그러한 S를 찾는 것의 연산은 대칭 닫힘(symmetric closure)이라고 불리는 닫힘 연산자에 해당합니다.

전이 관계 T는 aTb ∧ bTc ⇒ aTc를 만족시킵니다. 임의의 동종 관계 R은 전이적이지 않을 수 있지만 그것은 항상 일부 전이 관계: R ⊆ T에 포함됩니다. 가장-작은 그러한 T를 찾는 것의 연산은 전이 닫힘(transitive closure)이라고 불리는 닫힘 연산자에 해당합니다.

이종 관계 사이에, 쌍-함수형 닫힘(difunctional closure)과 접촉 닫힘(contact closure)으로 이어지는 쌍-함수성과 접촉의 속성이 있습니다.^[7] 이항 관계에서 이들 닫힘 연산자의 존재는 토폴로지(topology)로 이어지는데 왜냐하면 열린-집합 공리가 쿠라토프스키 닫힘 공리(Kuratowski closure axioms)로 대체될 수 있기 때문입니다. 따라서, 각 속성 P, 대칭성, 전이성, 쌍-함수성, 또는 접촉은 관계형 토폴로지에 해당합니다.^[8]

재작성(rewriting) 시스템의 이론에서, 우리는 종종 반사적 전이적 닫힘(reflexive transitive closure) R^*–R을 포함하는 가장-작은 준순서(preorder), 또는 반사적 전이적 대칭 닫힘(reflexive transitive symmetric closure) R^≡–R을 포함하는 가장 작은 동치 관계(smallest equivalence relation)와 같은 더 많은 단어 개념을 사용하고, 따라서 동치 닫힘(equivalence closure)으로 알려져 있습니다. 특정 항 대수(term algebra)를 고려할 때, 대수의 모든 연산과 호환되는 동치 관계를 합동 관계(congruence relation)라고 불립니다.^{[note 1]} R의 합동 닫힘(congruence closure)은 R을 포함하는 가장-작은 합동 관계로 정의됩니다.

임의의 P와 R에 대해, R의 P 닫힘은 존재하지 않아도 됩니다. 위의 예제에서, 이것들은 반사성, 전이성과 대칭이 임의적 교집합 아래에서 닫혀 있기 때문에 존재합니다. 그러한 경우에서, P 닫힘은 R을 포함하는 속성 P를 갖는 모든 집합의 교집합으로 직접적으로 정의될 수 있습니다.^[9]

일부 중요한 특정 닫힘은 다음처럼 구성적으로 얻어질 수 있습니다:

cl_ref(R) = R ∪ { ⟨x,x⟩ : x ∈ S }는 R의 반사적 대칭(reflexive closure)입니다,
cl_sym(R) = R ∪ { ⟨y,x⟩ : ⟨x,y⟩ ∈ R }는 그것의 대칭 닫힘입니다,
cl_trn(R) = R ∪ { ⟨x₁,x_n⟩ : n >1 ∧ ⟨x₁,x₂⟩, ..., ⟨x_n-1,x_n⟩ ∈ R }는 그것의 전이적 닫힘(transitive closure)입니다,
cl_emb,Σ(R) = R ∪ { ⟨f(x₁,…,x_i-1,x_i,x_i+1,…,x_n), f(x₁,…,x_i-1,y,x_i+1,…,x_n)⟩ : ⟨x_i,y⟩ ∈ R ∧ f ∈ Σ n-ary ∧ 1 ≤ i ≤ n ∧ x₁,...,x_n ∈ S }는 고정된 애리티를 갖는 각각이, S 위의 연산의 주어진 집합 Σ에 관한 그것의 삽입 닫힘입니다.

관계 R은 만약 R = cl_xxx(R)이면 일부 cl_xxx 아래에서 닫힘을 가진다고 말합니다; 예를 들어 R은 만약 R = cl_sym(R)이면 대칭이라고 불립니다.

이들 네 가지 클로저 중 임의의 것은 대칭을 보존합니다. 즉, 만약 R이 대칭이면, 임의의 cl_xxx(R)도 마찬가지입니다. ^{[note 2]} 유사하게, 모든 넷은 반사성을 보존합니다. 게다가, cl_trn은 임의의 Σ에 대해, cl_emb,Σ 아래에서 닫힘을 보존합니다. 결과로써, 임의의 이항 관계 R의 동치 닫힘은 cl_trn(cl_sym(cl_ref(R)))로 얻어질 수 있고, 일부 Σ에 관한 합동 닫힘은 cl_trn(cl_emb,Σ(cl_sym(cl_ref(R))))로 얻어질 수 있습니다. 후자의 경우에서, 중첩 순서가 중요합니다; 예를 들어, 만약 S가 Σ = { a, b, c, f } 및 R = { ⟨a,b⟩, ⟨f(b),c⟩ }에 걸쳐 항의 집합이면, 쌍 ⟨f(a),c⟩는 R의 합동 닫힘 cl_trn(cl_emb,Σ(cl_sym(cl_ref(R))))에 포함되지만, 관계 cl_emb,Σ(cl_trn(cl_sym(cl_ref(R))))에 포함되지 않습니다.

Notes

^ that is, such that e.g. xRy implies f(x,x₂) R f(y,x₂) and f(x₁,x) R f(x₁,y) for any binary operation f and arbitrary x₁,x₂ ∈ S
^ formally: if R = cl_sym(R), then cl_xxx(R) = cl_sym(cl_xxx(R))

References

^ Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25. The closure of a set A is the smallest closed set containing A
^ Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25. A set S and a binary operator * are said to exhibit closure if applying the binary operator to two elements S returns a value which is itself a member of S.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
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^ Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.
^ Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.
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^ Schmidt, Gunter; Winter, M. (2018). Relational Topology. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2208. Springer Verlag. ISBN 978-3-319-74451-3.
^ Baader, Franz; Nipkow, Tobias (1998). Term Rewriting and All That. Cambridge University Press. pp. 8–9. ISBN 9780521779203.

Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". MathWorld.

[9] that is, such that e.g. xRy implies f(x,x₂) R f(y,x₂) and f(x₁,x) R f(x₁,y) for any binary operation f and arbitrary x₁,x₂ ∈ S

[11] rmally: if R = cl_sym(R), then cl_xxx(R) = cl_sym(cl_xxx(R))

[1] Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25. The closure of a set A is the smallest closed set containing A

[2] Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25. A set S and a binary operator * are said to exhibit closure if applying the binary operator to two elements S returns a value which is itself a member of S.

[:0-3] Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.

[4] Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.

[5] Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.

[6] Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.

[7] Schmidt, Gunter (2011). "Relational Mathematics". Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 132. Cambridge University Press. pp. 169, 227. ISBN 978-0-521-76268-7.

[8] Schmidt, Gunter; Winter, M. (2018). Relational Topology. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2208. Springer Verlag. ISBN 978-3-319-74451-3.

[10] Baader, Franz; Nipkow, Tobias (1998). Term Rewriting and All That. Cambridge University Press. pp. 8–9. ISBN 9780521779203.

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