Infinite set
집합 이론(set theory)에서, 무한 집합(infinite set)은 유한 집합(finite set)이 아닌 집합(set)입니다. 무한 집합은 셀-수-있는(countable) 것 또는 셀-수-없는(uncountable) 것일 수 있습니다.[1][2][3]
Properties
자연수(natural numbers)의 집합 (그 존재는 무한대의 공리(axiom of infinity)에 의해 가정됨)은 무한합니다.[3][4] 그것은 무한이 되기 위해 공리(axiom)에 의해 직접적으로 요구되는 유일한 집합입니다. 임의의 다른 무한 집합의 존재는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory) (ZFC)에서 입증될 수 있지만, 오직 자연수의 존재에서 나온다는 것을 보여줌으로써 입증될 수 있습니다.
집합이 무한인 것과 모든 각 자연수에 대해, 그 집합이 그것의 카디널리티(cardinality)가 해당 자연수인 부분집합(subset)을 가진다는 것은 필요충분 조건입니다.[citation needed]
만약 선택의 공리(axiom of choice)가 유지되면, 집합이 무한인 것과 그것이 셀-수-있는 무한 부분집합을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.
만약 집합의 집합(set of sets)이 무한 또는 무한 원소를 포함하면, 그것의 합집합은 무한입니다. 무한 집합의 거듭제곱 집합은 무한입니다.[5] 무한 집합의 임의의 초월집합(superset)은 무한입니다. 만약 무한 집합이 유한하게 많은 부분집합으로 분할되면, 그것들 중 적어도 하나는 무한이어야 합니다. 무한 집합 위로(onto) 맵핑될 수 있는 임의의 집합은 무한입니다. 무한 집합과 비-빈 집합의 데카르트 곱(Cartesian product)은 무한입니다. 각각 적어도 두 원소를 포함하는, 집합의 무한 숫자의 데카르트 곱은 빈 것 또는 무한 중 하나입니다; 만약 선택의 공리가 유지되면, 그것은 무한입니다.
만약 무한 집합이 바른-순서된 집합(well-ordered set)이면, 그것은 최대 원소를 가지지 않는 비-빈, 비-자명한 부분집합을 가져야 합니다.
ZF에서, 집합이 무한인 것과 그것의 거듭제곱 집합의 거듭제곱 집합(power set)이 데데킨트-무한 집합(Dedekind-infinite set)인 것은 필요충분 조건이며, 자체와 같게-많은(equinumerous) 적절한 부분집합을 가집니다.[6] 만약 선택의 공리가 역시 참이면, 무한 집합은 정확하게 데데킨트-무한 집합입니다.
만약 무한 집합이 바른-순서가능 집합(well-orderable set)이면, 그것은 비-동형인 많은 바른-순서화를 가집니다.
Examples
Countably infinite sets
모든 정수(integer)의 집합, {..., -1, 0, 1, 2, ...}은 셀-수-있는 무한 집합입니다. 모든 짝수 정수의 집합은, 비록 그것이 정수의 적절한 부분집합일지라도, 역시 셀-수-있는 무한 집합입니다.[5]
모든 유리수(rational numbers)의 집합은 셀-수-있는 무한 집합인데 왜냐하면 정수의 집합으로 전단사가 있기 때문입니다.[5]
Uncountably infinite sets
모든 실수(real number)의 집합은 셀-수-없는 무한 집합입니다. 모든 무리수(irrational numbers)의 집합은 역시 셀-수-없는 무한 집합입니다.[5]
See also
References
- ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-29.
- ^ Weisstein, Eric W. "Infinite Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
- ^ a b "infinite set in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2019-11-29.
- ^ Bagaria, Joan (2019), Zalta, Edward N. (ed.), "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-30
- ^ a b c d Caldwell, Chris. "The Prime Glossary — Infinite". primes.utm.edu. Retrieved 2019-11-29.
- ^ Boolos, George (1994), "The advantages of honest toil over theft", Mathematics and mind (Amherst, MA, 1991), Logic Comput. Philos., Oxford Univ. Press, New York, pp. 27–44, MR 1373892. See in particular pp. 32–33.
External links