Zermelo–Fraenkel set theory

Original article: w:Zermelo–Fraenkel set theory

"ZFC" redirects here. For other uses, see ZFC (disambiguation).

집합 이론(set theory)에서, 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)은, 수학자 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)와 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel)의 이름을 따서 지어졌으며, 러셀의 역설(Russell's paradox)과 같은 역설이 없는 집합의 이론(theory of sets)을 공식화하기 위해 20세기 초에 제안된 공리적 시스템(axiomatic system)입니다. 오늘날, 역사적으로 논쟁의 여지가 있는 선택의 공리(axiom of choice, 줄여서 AC)가 포함된 체르멜로–프렝켈 집합 이론은 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 표준 형식이고 이를테면 가장 공통적인 수학의 토대(foundation of mathematics)입니다. 선택 공리가 포함된 체르멜로–프렝켈 집합 이론은 ZFC로 축약되며, 여기서 C는 "선택(choice)"을 의미하고, ZF는 선택 공리가 제외된 체르멜로–프렝켈 집합 이론의 공리를 참조합니다.

비공식적으로, 체르멜로–프렝켈 집합 이론은 유전적으로 바른-토대(well-founded) 집합이라는 단일 원시 개념을 공식화하여, 담론의 우주(universe of discourse)에 있는 모든 개체(entities)가 그러한 집합이 되도록 하기 위한 것입니다. 따라서 체르멜로–프렝켈 집합 이론의 공리는 순수한 집합(pure sets)만 참조하고 그 모델(models)이 원시-원소(urelements, 자체 집합이 아닌 집합의 원소)를 포함하는 것을 방지합니다. 게다가, 적절한 클래스 (모음이 너무 커서 집합을 만들 수 없는 그것들 구성원에 의해 공유된 속성에 의해 정의된 수학적 대상의 모음)는 간접적으로만 처리될 수 있습니다. 구체적으로 특별히, 체르멜로–프렝켈 집합 이론은 보편적 집합(universal set, 모든 집합을 포함하는 집합)의 존재 또는 무제한 이해(unrestricted comprehension)를 허용하지 않고, 그것에 의하여 러셀의 역설을 피합니다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) (NBG)은 적절한 클래스의 명시적 처리를 허용하는 체르멜로–프렝켈 집합 이론의 공통적으로 사용되는 보수적 확장(conservative extension)입니다.

체르멜로–프렝켈 집합 이론의 공리는 많은 동등한 형식화가 있습니다. 대부분의 공리는 다른 집합에서 정의된 특정 집합의 존재를 말합니다. 예를 들어, 쌍화의 공리(axiom of pairing)는 임의의 두 집합 $a$와 $b$가 주어지면 정확히 $a$와 $b$를 포함하는 새로운 집합 $\{a,b\}$가 있다고 말합니다. 다른 공리는 집합 구성원의 속성을 설명합니다. 공리의 목표는 폰 노이만 우주(von Neumann universe) (누적 계층-구조이라고도 함)에서 모든 집합 모음에 대한 명제로 해석되면 각 공리가 참이어야 한다는 것입니다. 형식적으로 ZFC는 일-차 논리에서 일-정렬된 이론(one-sorted theory)입니다. 시그니처(signature)는 보통 $\in$로 표시되는 집합 구성원(set membership)을 형식화하기 위한 상등과 단일 원시 이항 관계(binary relation)를 가집니다. 형식(formula) $a\in b$는 집합 $a$가 집합 $b$의 구성원임을 의미합니다 ("$a$는 $b$의 원소입니다" 또는 "$a$는 $b$ 안에 있습니다"라고도 읽습니다).

체르멜로–프렝켈 집합 이론의 메타-수학(metamathematics)은 광범위하게 연구되어 왔습니다. 이 영역의 획기적인 결과는 남아있는 체르멜로–프렝켈 공리로부터 선택의 공리(Axiom of choice § Independence 참조)와 ZFC에서 연속체 가설(continuum hypothesis)의 논리적 독립성(logical independence)을 확립했습니다. ZFC와 같은 이론의 일관성(consistency)은 괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness theorem)에서 볼 수 있듯이 이론 자체 내에서 입증될 수 없습니다.

History

집합 이론의 현대적 연구는 1870년대 게오르크 칸토어(Georg Cantor)와 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에 의해 시작되었습니다. 어쨌든, 러셀의 역설(Russell's paradox)과 같은 소박한 집합 이론(naive set theory)에서 역설(paradoxes)의 발견은 이들 역설에서 자유로운 집합 이론의 보다 엄격한 형식에 대해 열망으로 이어졌습니다.

1908년에, 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)는 최초의 공리적 집합 이론(axiomatic set theory), 체르멜로 집합 이론(Zermelo set theory)을 제안했습니다. 어쨌든, 1921년 체르멜로에게 보낸 편지에서 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel)에 의해 처음 지적한 바와 같이, 이 이론은 당시 대부분의 집합 이론가들에 의해 그 존재가 허용되는 것으로 여겼던 특정 집합과 세는 숫자(cardinal numbers), 특히 세는 숫자 $\aleph _{\omega }$와 집합 $\{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\}$의 존재를 입증할 수 없었으며, 여기서 $Z_{0}$는 무한 집합이고 ${\mathcal {P}}$는 거듭제곱 집합(power set) 연산입니다. 더욱이, 체르멜로의 공리 중 하나는 그것의 연산 의미가 명확하지 않은 "확정" 속성의 개념을 불러일으켰습니다. 1922년에, 프랭켈과 토랄프 스콜렘(Thoralf Skolem)은 그것의 원자 형식(atomic formulas)이 구성원과 항등원을 설정하는 것으로 제한되어 있는 일차 논리(first-order logic)에서 잘-형성된 공식으로 형식화될 수 있는 것으로 "확정" 속성을 조작하는 것을 독립적으로 제안했습니다. 그들은 역시 사양의 공리 스키마(axiom schema of specification)를 대체의 공리 스키마(axiom schema of replacement)로 대체하는 것을 독립적으로 제안했습니다. 이 스키마와 정칙성의 공리(axiom of regularity) (John von Neumann에 의해 처음 제안됨)를 체르멜로 집합 이론에 덧붙이면, ZF에 의해 표시되는 이론을 산출합니다. ZF에 선택의 공리(axiom of choice, AC) 또는 그것과 동등한 명제를 추가하면 ZFC를 산출합니다.

Axioms

ZFC의 공리는 많은 동등한 형식화가 있습니다; 이에 대한 논의에 대해 Fraenkel, Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973를 참조하십시오. 다음 특정 공리 집합은 Kunen (1980)에 있습니다. 공리 자체는 일-차 논리(first order logic)의 기호주의에서 표현됩니다. 관련된 산문은 직관을 돕기 위한 것일 뿐입니다.

ZFC의 모든 형식화는 적어도 하나의 집합이 존재함을 의미합니다. Kunen은 아래에 주어진 공리 외에도 (비록 그는 오직 "강조를 위해" 그렇게 한다고 언급했지만), 집합의 존재를 직접적으로 주장하는 공리를 포함합니다. 여기서 그것의 생략은 두 가지 방법에서 정당화될 수 있습니다. 첫째, ZFC가 전형적으로 형식화되는 일-차 논리의 표준 의미론에서, 담론의 도메인(domain of discourse)은 비-빈이어야 합니다. 따라서, 그것은 어떤 것이 존재한다는 일-차 논리의 논리적 정리입니다 — 보통 어떤 것이 자체와 동일하다, $\exists x(x=x)$는 주장으로 표현됩니다. 결과적으로, 그것은 어떤 것이 존재한다는 모든 각 일-차 이론의 정리입니다. 어쨌든, 위에서 언급한 바와 같이, ZFC의 의도된 의미론에서 집합만 있기 때문에, ZFC의 맥락에서 이 논리적 정리의 해석은 일부 집합이 존재한다는 것입니다. 따라서, 집합이 존재한다고 주장하는 별도의 공리가 필요하지 않습니다. 둘째, 어쨌든, 심지어 ZFC가 어떤 것이 존재한다는 것을 논리 단독으로 증명할 수 없는 이른바 자유 논리(free logic)에서 공식화되더라도, 무한대의 공리 (아래)는 무한 집합이 존재한다고 주장합니다. 이것은 집합이 존재한다는 것을 의미하고 따라서, 다시 한번 말하지만, 그만큼 주장하는 공리를 포함하는 것은 불필요합니다.

1. Axiom of extensionality

Main article: Axiom of extensionality

두 집합은 그것들이 같은 원소를 가지면 같습니다 (같은 집합입니다).

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$

이 공리의 전환은 상등(equality)의 치환 속성에서 나옵니다. 만약 배경 논리가 상등 "$=$"을 포함하지 않으면, $x=y$는 다음 공식의 약어로 정의될 수 있습니다:

$\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].$

이 경우에서, 확장성의 공리는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다:

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],$

이는 만약 $x$와 $y$가 같은 원소를 가지고 있으면, 그것들은 같은 집합에 속한다고 말합니다.

2. Axiom of regularity (also called the axiom of foundation)

Main article: Axiom of regularity

모든 각 비-빈 집합 $x$는 $x$와 $y$가 서로소 집합(disjoint sets)임을 만족하는 구성원 $y$를 포함합니다.

$\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].$

또는 현대 표기법에서: $\forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).$

이것은 (쌍화 공리와 함께), 예를 들어, 어떤 집합도 그 자체의 원소가 아니고 모든 각 집합은 순서-숫자(ordinal) 랭크를 ​​가지고 있음을 의미합니다.

3. Axiom schema of specification (also called the axiom schema of separation or of restricted comprehension)

Main article: Axiom schema of specification

부분집합은 공통적으로 집합-구성 표기법(set-builder notation)을 사용하여 구성됩니다. 예를 들어, 짝수 정수는 합동 모듈로(congruence modulo) 술어 $x\equiv 0{\pmod {2}}$를 만족시키는 정수 $\mathbb {Z}$의 부분-집합으로 구성될 수 있습니다:

$\{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.$

일반적으로, 하나의 자유 변수 $x$를 갖는 형식$\varphi (x)$를 따르는 집합 $z$의 부분-집합은 다음과 같이 작성될 수 있습니다:

$\{x\in z:\varphi (x)\}.$

사양의 공리 스키마는 이 부분-집합이 항상 존재한다고 명시합니다 (그것은 각 $\varphi$에 대해 하나의 공리가 있기 때문에 공리 스키마(axiom schema)입니다). 공식적으로, $\varphi$를 $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}$ 중에 모든 자유 변수를 갖는 ZFC의 언어에서 임의의 형식으로 놓습니다 ($y$는 $\varphi$에서 자유가 아닙니다). 그런-다음:

$\forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].$

사양의 공리 스키마는 부분-집합만 구성할 수 있고, 보다 일반적인 형식의 엔터티 구성을 허용하지 않음에 주목하십시오:

$\{x:\varphi (x)\}.$

이 제한은 러셀의 역설(Russell's paradox) ($y=\{x:x\notin x\}$로 놓으면 $y\in y\Leftrightarrow y\notin y$)과 무제한 이해(unrestricted comprehension)와 소박한 집합 이론을 동반하는 그것의 변형을 피하기 위해 필요합니다.

ZF의 일부 다른 공리화에서, 이 공리는 대체의 공리 스키마(axiom schema of replacement)와 빈 집합의 공리(axiom of the empty set)를 따른다는 점에서 중복됩니다.

다른 한편으로, 사양의 공리는 한번 적어도 하나의 집합이 존재하는 것으로 알려지면 (위를 참조) $\varnothing$로 표시된 빈 집합(empty set)의 존재를 입증하기 위해 사용될 수 있습니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 집합이 가지지 않는 속성 $\varphi$를 사용하는 것입니다. 예를 들어, 만약 $w$가 임의의 기존 집합이면, 빈 집합은 다음과 같이 구성될 수 있습니다:

$\varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.$

따라서 빈 집합의 공리(axiom of the empty set)는 여기에 제시된 9개의 공리에 의해 암시됩니다. 확장성의 공리는 빈 집합이 고유함을 의미합니다 ($w$에 의존하지 않습니다). ZFC의 언어에 "∅" 기호를 추가하는 정의의 확장(definitional extension)을 만드는 것이 공통적입니다.

4. Axiom of pairing

Main article: Axiom of pairing

만약 $x$와 $y$가 집합이면, $x$와 $y$를 원소로 포함하는 집합이 존재합니다.

$\forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).$

사양의 공리 스키마는 이것을 정확하게 이들 두 원소를 갖는 집합으로 축소하기 위해 사용되어야 합니다. 쌍화의 공리는 Z의 일부이지만, 만약 적어도 두 개의 원소를 갖는 집합을 제공했으면, 대체의 공리 스키마를 따르기 때문에 ZF에서 중복됩니다. 적어도 두 개의 원소를 갖는 집합의 존재는 무한대의 공리(axiom of infinity) 또는 사양의 공리 스키마와 임의의 집합에 두 번 적용되는 거듭제곱 집합의 공리(axiom of the power set)에 의해 보증됩니다.

5. Axiom of union

Main article: Axiom of union

집합의 원소에 걸쳐 합집합(union)이 존재합니다. 예를 들어, 집합 $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$의 원소에 걸쳐 합집합은 $\{1,2,3\}$입니다.

합집합의 공리는 집합 ${\mathcal {F}}$의 임의의 집합에 대해 ${\mathcal {F}}$의 일부 구성원의 구성원인 모든 각 원소를 포함하는 집합 $A$가 있다고 말합니다:

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].$

비록 이 형식이 $\cup {\mathcal {F}}$의 존재를 직접적으로 주장하지는 않지만, 사양의 공리 스키마를 사용하여 위에서 $A$로부터 집합 $\cup {\mathcal {F}}$가 구성될 수 있습니다:

$\cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.$

6. Axiom schema of replacement

Main article: Axiom schema of replacement

대체의 공리 스키마는 임의의 정의-가능 함수(function) 아래에서 집합의 이미지도 집합 안에 떨어질 것이라고 주장합니다.

공식적으로, $\varphi$를 특히 $B$가 $\varphi$에서 자유가 아니도록 그것의 자유 변수(free variables)가 $x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n}$ 중에 있는 ZFC의 언어에서 임의의 형식(formula)이라고 놓습니다. 그런-다음:

$\forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.$

$\exists !$의 의미에 대해, 고유성 정량화(uniqueness quantification)를 참조하십시오.

다시 말해서, 관계 $\varphi$가 정의-가능 함수 $f$를 나타내고, $A$가 그것의 도메인을 나타내고, $f(x)$가 모든 각 $x\in A$에 대한 집합이면, $f$의 치역(range)은 일부 집합 $B$의 부분-집합입니다. $B$가 엄격하게 필요한 것보다 클 수 있는 여기에 언급된 형식은 때때로 모음의 공리 스키마(axiom schema of collection)라고 불립니다.

7. Axiom of infinity

Main article: Axiom of infinity

First few von Neumann ordinals
0	= {}	= ∅
1	= {0}	= {∅}
2	= {0, 1}	= {∅, {∅}}
3	= {0, 1, 2}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4	= {0, 1, 2, 3}	= {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

$S(w)$를 $w\cup \{w\}$의 약칭으로 놓으며, 여기서 $w$는 일부 집합입니다. (우리는 $\{w\}$가 집합 z가 $\{w\}$가 되도록 $x=y=w$를 쌍화의 공리를 적용함으로써 유효한 집합임을 알 수 있습니다.) 그런-다음 공리적으로 정의된 빈 집합 $\varnothing$가 X의 구성원이고 집합 y가 X의 구성원일 때마다 $S(y)$도 X의 구성원임을 만족하는 집합 X가 있습니다.

$\exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e))\land e\in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].$

더 구어체로, 무한하게 많은 구성원을 가지는 집합 X가 존재합니다. (어쨌든, 만약 두 원소가 같으면, 수열은 집합의 유한한 주기에서 순환하기 때문에, 이들 구성원이 모두 다르다는 것이 수립되어야 합니다. 정치성의 공리는 이러한 일이 발생하지 않도록 방지합니다.) 무한대의 공리를 만족시키는 최소 집합 X는 역시 자연수(natural numbers) $\mathbb {N}$의 집합으로 생각될 수 있는 폰 노이만 순서-숫자(von Neumann ordinal) ω입니다.

8. Axiom of power set

Main article: Axiom of power set

정의에 의해 집합 $z$가 집합 $x$의 부분집합(subset)인 것과 $z$의 모든 각 원소가 역시 $x$의 원소인 것은 필요충분 조건입니다:

$(z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).$

거듭제곱 집합의 공리는 임의의 집합 $x$에 대해, $x$의 모든 각 부분-집합을 포함하는 집합 $y$가 있음을 나타냅니다:

$\forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].$

사양의 공리 스키마는 그런-다음 거듭제곱 집합(power set) ${\mathcal {P}}(x)$를 정확하게 $x$의 부분-집합을 포함하는 그러한 $y$의 부분-집합으로 정의하기 위해 사용됩니다:

${\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.$

공리 1–8은 ZF를 정의합니다. 이들 공리의 대안적인 형식이 종종 발견되며, 그 중 일부는 Jech (2003)에 나열되어 있습니다. 일부 ZF 형식화는 빈 집합이 존재한다고 주장하는 공리를 포함합니다. 쌍화, 합집합, 대체, 및 거듭제곱 집합의 공리는 종종 그 존재가 주장되는 집합 $x$의 구성원이 그 공리가 주장하는 $x$가 포함해야 하는 그들 집합이 되도록 명시됩니다.

다음 공리는 ZF를 ZFC로 바꾸기 위해 추가되었습니다:

9. Well-ordering theorem

Main article: Well-ordering theorem

임의의 집합 $X$에 대해, $X$를 바른-순서(well-orders)인 이항 관계(binary relation) $R$이 있습니다. 이것은 $R$이 $X$의 모든 각 비-빈 부분집합이 $R$ 아래에서 최소인 구성원을 가짐을 만족하는 $X$ 위에 선형 순서(linear order)임을 의미합니다.

$\forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).$

공리 1 – 8이 주어지면, 공리 9와 동등한 것으로 입증되는 많은 명제가 있으며, 그 중 가장 잘 알려진 것은 선택의 공리(axiom of choice, AC)이며 다음과 같습니다. $X$를 그것의 구성원이 모두 비-빈인 집합이라고 놓습니다. 그런-다음 모든 $Y\in X$에 대해 $f(Y)\in Y$를 가짐을 만족하는, "선택 함수(choice function)"라고 불리는, $X$에서 $X$의 구성원의 합집합으로의 함수 $f$가 존재합니다. 이를 "선택 함수"라고 합니다. $X$가 유한 집합일 때 선택 함수의 존재는 공리 1–8에서 쉽게 입증되기 때문에, AC는 특정 무한 집합(infinite sets)에 대해서만 중요합니다. AC는 선택 집합의 존재를 주장하지만 선택 집합이 "구성"되는 방법에 대해서는 아무 말도 하지 않기 때문에 비-구성적(nonconstructive)으로 특징짓습니다. AC가 존재한다고 주장하는 특정 집합의 정의 가능성을 특성화하기 위해 많은 연구가 추구되어 왔습니다.

Motivation via the cumulative hierarchy

Further information: Von Neumann universe

ZFC 공리에 대해 동기 중 하나는 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 도입된 집합의 누적 계층-구조(the cumulative hierarchy)입니다. 이러한 관점에서, 집합 이론의 우주는 각 순서 숫자(ordinal number)에 대해 하나의 단계로 단계적으로 구성됩니다. 0단계에서는 아직 집합이 없습니다. 각 다음 단계에서, 집합은 만약 그것의 모든 원소가 이전 단계에서 더해져 왔으면, 우주에 더합니다. 따라서 빈 집합은 1 단계에서 더해지고, 빈 집합을 포함하는 집합은 2 단계에서 더합니다. 모든 단계에 걸쳐 이러한 방법으로 얻어진 모든 집합의 모음은 V로 알려져 있습니다. V에서 집합은 해당 집합이 V에 더해진 첫 번째 단계를 각 집합에 할당함으로써 계층 구조로 정렬될 수 있습니다.

집합이 V 안에 있는 것과 그 집합이 순수(pure)하고 바른-토대된(well-founded) 것은 필요충분임을 입증할 수 있습니다. 그리고 V는 순서-숫자의 클래스가 적절한 반사 속성을 가지면 ZFC의 모든 공리를 만족시킵니다. 예를 들어, 집합 x가 단계 α에서 더해진다고 가정하며, 이는 x의 모든 각 원소가 α보다 이전 단계에서 더해졌음을 의미합니다. 그런-다음 x의 모든 각 부분-집합도 단계 α (또는 이전)에 더해지는데, 왜냐하면 x의 임의의 부분-집합의 모든 원소도 단계 α 이전에 더해졌기 때문입니다. 이것은 분리의 공리가 구성할 수 있는 x의 임의의 부분-집합이 α 단계 (또는 이전)에 더해지고, x의 거듭제곱 집합이 α 후 다음 단계에 더해질 것임을 의미합니다. V가 ZFC를 만족시킨다는 완전한 주장에 대해, Shoenfield (1977)를 참조하십시오.

누적 계층-구조로 계층화된 집합의 우주의 그림은 ZFC와 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) (종종 NBG라고 불림)와 모스-켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory)과 같은 관련된 공리적 집합 이론의 특징입니다. 누적 계층-구조는 새로운 토대(New Foundations)와 같은 다른 집합 이론과 호환되지 않습니다.

각 단계에서, 이전 단계의 합집합의 모든 부분-집합을 더하는 대신, 만약 그것들이 특정 의미에서 정의할 수 있으면 부분-집합이 오직 더해지도록 V의 정의를 변경할 수 있습니다. 이것은 선택 공리를 포함하여 ZFC의 모든 공리도 만족시키는 구성-가능 우주(constructible universe) L을 제공하는 보다 "좁은" 계층-구조를 초래합니다. V = L인지 여부는 ZFC 공리와 독립적입니다. L의 구조가 V의 구조보다 더 규칙적이고 잘 동작하지만, V = L을 ZFC에 추가 "구성가능성의 공리(axiom of constructibility)"로 더해져야 한다고 주장하는 수학자는 거의 없습니다.

Metamathematics

Virtual classes

앞서 언급했듯이, 적절한 클래스 (그것들의 구성원에 의해 공유되는 속성에 의해 정의되고 집합이 되기에 너무 큰 수학적 대상의 모음)는 ZF (및 따라서 ZFC)에서 간접적으로만 처리될 수 있습니다. ZF와 ZFC 내에 머무르는 동안 적절한 클래스에 대한 대안은 Quine (1969)에 의해 도입된 가상 클래스(virtual class) 표기법 구성이며, 여기서 전체 구성 y ∈ { x | Fx }는 단순히 Fy로 정의됩니다. 이것은 집합을 포함할 수 있지만 자체가 집합일 필요는 없는 클래스에 대해 간단한 표기법을 제공하지만, 클래스의 존재론에 전념하지는 않습니다 (왜냐하면 표기법은 집합만 사용하는 표기법으로 구문적으로 변환될 수 있기 때문입니다). Quine의 접근 방식은 Bernays & Fraenkel (1958)의 초기 접근 방식을 기반으로 합니다. 가상 클래스는 Takeuti & Zaring (1982), 및 ZFC의 Metamath 구현에서도 사용됩니다.

Von Neumann–Bernays–Gödel set theory

대체와 분리의 공리 스키마는 각각 무한하게 많은 예시를 포함합니다. Montague (1961)는 그의 1957년 Ph.D. 주제에서 처음으로 입증된 결과를 포함했습니다: 만약 ZFC가 일관적이면, 유한하게 많은 공리만을 사용하여 ZFC를 공리화하는 것은 불가능합니다. 다른 한편으로, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) (NBG)은 유한하게 공리화될 수 있습니다. NBG의 존재론은 적절한 클래스(proper classes)와 마찬가지로 집합을 포함합니다; 집합은 또 다른 클래스의 구성원이 될 수 있는 임의의 클래스입니다. NBG와 ZFC는 한 이론에서 클래스를 언급하지 않고 입증할 수 있는 임의의 정리(theorem)가 다른 이론에서도 입증될 수 있다는 점에서 동등한 집합 이론입니다.

Consistency

괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness theorem)는 로빈슨 산술(Robinson arithmetic)을 해석할 수 있는 재귀적으로 공리화-가능한 시스템이 오직 그것이 비-일관적이면 그것 자신의 일관성을 입증할 수 있다고 말합니다. 더욱이, 로빈슨 산술은 ZFC의 작은 단편, 일반 집합 이론(general set theory)으로 해석될 수 있습니다. 그러므로 ZFC의 일관성(consistency)은 ZFC 자체 내에서 (그것이 실제로 비-일관적이 아닌 한) 입증될 수 없습니다. 따라서, ZFC가 보통의 수학과 동일시되는 확장에서, ZFC의 일관성은 보통의 수학에서 입증될 수 없습니다. ZFC의 일관성은 약하게 비-접근가능 세는-숫자(inaccessible cardinal)의 존재에서 비롯되며, 이는 ZFC가 일관적이면 ZFC에서 입증할 수 없습니다. 그럼에도 불구하고, ZFC가 예상치 못한 모순을 품고 있을 것 같지는 않습니다; ZFC가 비-일관적이었다면, 지금쯤 그 사실이 밝혀졌을 것이라고 널리 믿어지고 있습니다. 이 정도는 확실합니다 — ZFC는 소박한 집합 이론(naive set theory)의 고전적인 역설, 러셀의 역설(Russell's paradox), 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox), 및 칸토어의 역설(Cantor's paradox)에 영향을 받지 않습니다.

Abian & LaMacchia (1978)는 확장가능성, 합집합, 거듭제곱-집합, 대체, 및 선택의 공리를 구성하는 ZFC의 부분이론(subtheory)을 연구했습니다. 모델(models)을 사용하여, 그것들은 이 부분이론이 일관적임을 입증하고, 확장가능성, 대체, 및 거듭제곱 집합의 각 공리가 이 부분이론의 네 개의 남아있는 공리와 무관함을 입증했습니다. 만약 이 부분이론이 무한대의 공리로 보강되면, 합집합, 선택, 및 무한대의 각 공리는 다섯 가지 남아있는 공리와 무관합니다. 정칙성 공리를 제외하는 ZFC의 각 공리를 만족시키는 비-바른-토대된 모델이 있기 때문에, 해당 공리는 다른 ZFC 공리와 독립적입니다.

만약 일관적이면, ZFC는 카테고리 이론(category theory)이 요구하는 비-접근가능 세는-숫자(inaccessible cardinals)의 존재를 입증할 수 없습니다. ZF에 타르스키의 공리(Tarski's axiom)를 보강하면, 이러한 본성의 거대한 집합이 가능합니다. 공리가 무한대, 거듭제곱 집합, 및 선택 (위의 7 – 9)의 공리를 정리로 바꾼다고 가정합니다.

Independence

많은 중요한 명제는 ZFC와 독립적(independent)입니다 (ZFC와 독립적인 명제의 목록을 참조하십시오). 독립성은 일반적으로 강제화(forcing)에 의해 입증되며, 이로써 ZFC의 모든 각 셀-수-있는 전이 모델(model) (때로는 큰 세는-숫자 공리로 보강됨)이 문제에서 명제를 만족시키기 위해 확장될 수 있음을 보여줍니다. 다른 확장이 그런-다음 명제의 부정을 만족시키는 것을 보여줍니다. 강제화에 의한 독립성 증명은 산술적 명제, 다른 구체적인 명제, 및 큰 세는-숫자 공리로부터의 독립을 자동으로 입증합니다. ZFC와 독립적인 일부 명제는 구성-가능 우주(constructible universe)에서와 같은 특정 내부 모델(inner models)에 유지하기 위해 입증될 수 있습니다. 어쨌든, 구성-가능 집합에 대해 참인 일부 명제는 가정된 큰 세는-숫자 공리와 일치하지 않습니다.

강제화는 다음 명제가 ZFC와 독립적임을 입증합니다:

• 연속체 가설(Continuum hypothesis)
• 다이아몬드 원리(Diamond principle)
• 수슬린 가설(Suslin hypothesis)
• 마틴의 공리(Martin's axiom) (이것은 ZFC 공리가 아닙니다)
• 구성-가능성의 공리(Axiom of Constructibility) (V=L) (이것도 ZFC 공리가 아닙니다).

주목:

• V=L의 일관성은 내부 모델(inner models)에 의해 입증할 수 있지만 강제하지는 않습니다: ZF의 모든 각 모델은 ZFC + V=L의 모델이 되기 위해 정돈될 수 있습니다.
• 다이아몬드 원리는 연속체 가설과 수슬린 가설의 부정을 의미합니다.
• 마틴의 공리 더하기 연속체 가설의 부정은 수슬린 가설을 의미합니다.
• 구성-가능 우주(constructible universe)는 일반화된 연속체 가설(Generalized Continuum Hypothesis), 다이아몬드 원리, 마틴의 공리, 및 쿠레파 가설을 만족시킵니다.
• 쿠레파 가설(Kurepa hypothesis)의 실패는 강력하게 비-접근가능 세는-숫자(strongly inaccessible cardinal)의 존재와 동등-일관적입니다.

강제화(forcing)의 방법의 변종은 선택의 공리(axiom of choice)의 일관성과 증명-불가능성을 시연하기 위해 사용할 수도 있으며, 즉, 선택의 공리는 ZF와 독립입니다. 선택의 일관성은 내부 모델 L이 선택을 만족함을 입증함으로써 (상대적으로) 쉽게 검증될 수 있습니다. (따라서 ZF의 모든 각 모델은 Con(ZF)가 Con(ZFC)를 의미하도록 ZFC의 부분-모델을 포함합니다.) 강제화는 선택을 보존하기 때문에, 우리는 선택을 만족하는 모델에서 선택과 모순되는 모델을 직접 생성할 수 없습니다. 어쨌든, 우리는 강제화를 적절한 부분모델, 즉 ZF는 만족시키지만 C는 만족시키지 않는 부분모델을 포함하는 모델을 만들기 위해 사용할 수 있습니다.

강제화에 어떤 것도 기인하지 않는 독립성 결과를 입증하는 또 다른 방법은 괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness theorem)를 기반으로 합니다. 이 접근법은 그것의 독립성이 조사되는 명제를 ZFC의 집합 모델의 존재를 입증하기 위해 사용하며, 이 경우에서 Con(ZFC)가 참입니다. ZFC는 괴델의 두 번째 정리의 조건을 만족시키므로, ZFC의 일관성은 ZFC에서 입증될 수 없습니다 (ZFC가, 실제로, 일관성이 있다는 것을 조건으로 합니다). 그러므로, 그러한 증명을 허용하는 명제는 ZFC에서 입증될 수 없습니다. 이 방법은 ZFC에서 큰 세는-숫자(large cardinals)의 존재가 입증될 수 없음을 입증할 수 있지만, ZFC가 주어졌을 때 그러한 세는-숫자를 가정하는 것이 모순이 없음을 입증할 수는 없습니다.

Proposed additions

연속체 가설 또는 가른 메타-수학적 모호성을 해결하기 위해 추가 공리 뒤에 집합 이론가를 통합하는 프로젝트는 때때로 "괴델의 프로그램"으로 알려져 있습니다. 수학자들은 현재 어떤 공리가 가장 그럴듯하거나 "자명한"지, 어떤 공리가 다양한 도메인에서 가장 유용하고, 유용성과 그럴듯함(plausibility)을 어느 정도까지 상쇄해야 하는지에 대해 토론하고 있습니다; 일부 "다중-우주(multiverse)" 집합 이론가들은 유용성이 공리들이 관례적으로 채택하는 유일한 궁극적 기준이어야 한다고 주장합니다. 한 학파는 강제화 공리를 채택함으로써 흥미롭고 복잡하지만 합리적으로 다루기 쉬운 구조를 가진 집합 이론 우주를 생성하기 위해 집합의 "반복적" 개념을 확장하는 데 의존합니다; 또 다른 학파는 아마도 "핵심" 내부 모델에 초점을 맞춘 더 깔끔하고 덜 어수선한 우주를 옹호합니다.

Criticisms

For criticism of set theory in general, see Objections to set theory

ZFC는 과도하게 강하다는 점과 과도하게 약하다는 점과 마찬가지로 적절한 클래스와 보편적 집합(universal set)과 같은 대상을 포획하지 못한다는 점에서 비판받아 왔습니다.

많은 수학적 정리는 페아노 산술(Peano arithmetic)과 이-차 산술(second-order arithmetic) (역 수학(reverse mathematics)의 프로그램에 의해 탐구됨)과 같이 ZFC보다 훨씬 약한 시스템에서 입증될 수 있습니다. 손더스 맥 레인(Saunders Mac Lane)과 솔로몬 페퍼맨(Solomon Feferman)은 모두 이 점을 지적해 왔습니다. "주류 수학" (공리적 집합 이론과 직접 연결되지 않은 수학) 중 일부는 페아노 산술과 이-차 산술을 넘어선 것이지만 여전히, 모든 그러한 수학은 ZC (선택을 갖는 체르멜로 집합 이론), ZFC보다 약한 또 다른 이론에서 수행될 수 있습니다. 정칙성의 공리와 대체의 공리 스키마를 포함한 ZFC의 힘의 대부분은 주로 집합 이론 자체의 연구를 용이하게 하기 위해 포함됩니다.

다른 한편으로, 공리적 집합 이론(axiomatic set theories) 중에서, ZFC는 상대적으로 약합니다. 새로운 토대(New Foundations)와 달리, ZFC는 보편적 집합의 존재를 인정하지 않습니다. 그러므로, ZFC 아래에서 집합의 우주(universe)는 집합의 대수(algebra of sets)의 기본 연산에서 닫혀 있지 않습니다. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) (NBG) 및 모스-켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory) (MK)과 달리, ZFC는 적절한 클래스(proper classes)의 존재를 인정하지 않습니다. ZFC의 더 나아가서 비교 약점은 ZFC에 포함된 선택의 공리(axiom of choice)가 NBG와 MK에 포함된 전역 선택의 공리(axiom of global choice)보다 약하다는 것입니다.

ZFC와 독립적인 수많은 수학적 명제가 있습니다. 여기에는 연속체 가설(continuum hypothesis), 화이트헤드 문제(Whitehead problem), 및 정규 무어 공간 추측(normal Moore space conjecture)이 포함됩니다. 이들 추측 중 일부는 ZFC에 마틴의 공리(Martin's axiom) 또는 큰 세는-숫자 공리(large cardinal axioms)와 같은 공리를 추가하여 입증할 수 있습니다. 일부 다른 것들은 ZF+AD에서 결정되며, 여기서 AD는 선택과 양립할 수 없는 강력한 가정, 결정성의 공리(axiom of determinacy)입니다. 큰 세는-숫자 공리의 매력 중 하나는 그것들이 ZF+AD로부터 많은 결과를 일부 큰 세는-숫자 공리에 인접된 ZFC에서 설립될 수 있도록 하는 것입니다 (투영 결정성(projective determinacy)을 참조하십시오). Mizar system과 Metamath는 그로텐디크 우주(Grothendieck universe) (카테고리 이론과 대수적 기하학에서 발생)와 관련된 증명이 형식화될 수 있도록 ZFC의 확장, 타르스키–그로텐디크 집합 이론(Tarski–Grothendieck set theory)을 채택해 왔습니다.

See also

• Foundations of mathematics
• Inner model
• Large cardinal axiom

Related axiomatic set theories:

• Morse–Kelley set theory
• Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
• Tarski–Grothendieck set theory
• Constructive set theory
• Internal set theory

External links

• "ZFC", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Stanford Encyclopedia of Philosophy articles by Thomas Jech:
  • Set Theory;
  • Axioms of Zermelo–Fraenkel Set Theory.
• Metamath version of the ZFC axioms — A concise and nonredundant axiomatization. The background first order logic is defined especially to facilitate machine verification of proofs.
  • A derivation in Metamath of a version of the separation schema from a version of the replacement schema.
• Weisstein, Eric W. "Zermelo-Fraenkel Set Theory". MathWorld.