Integral curve

수학(mathematics)에서, 적분 곡선(integral curve)은 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation) 또는 방정식의 시스템에 대한 특정 해를 나타내는 매개변수 곡선(parametric curve)입니다.

Name

적분 곡선은 미분 방정식 또는 벡터 필드의 본성과 해석에 따라 다양한 다른 이름으로 알려져 있습니다. 물리학(physics)에서, 전기 필드(electric field) 또는 자기 필드(magnetic field)에 대해 적분 곡선은 필드 선(field lines)으로 알려져 있고, 유체(fluid)의 속도 필드(velocity field)에 대해 적분 곡선은 유선(streamlines)으로 알려져 있습니다. 동역학적 시스템(dynamical systems)에서, 시스템(system)을 지배하는 미분 방정식에 대해 적분 곡선은 궤적(trajectories) 또는 궤도(orbits)라고 참조됩니다.

Definition

F가 정적 벡터 필드, 즉, 데카르트 좌표 (F₁,F₂,...,F_n)를 갖는 벡터-값 함수(vector-valued function)이고, x(t)가 데카르트 좌표 (x₁(t),x₂(t),...,x_n(t))를 갖는 매개변수 곡선(parametric curve)이라고 가정합니다. 그런-다음 x(t)는 만약 그것이 보통의 미분 방정식의 자율 시스템(autonomous system)의 해이면 F의 적분 곡선입니다:

{\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

그러한 시스템은 단일 벡터 방정식으로 쓸 수 있습니다:

\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,

이 방정식은 곡선을 따라 임의의 점 x(t)에서 곡선에 접하는 벡터가 정확히 벡터 F(x(t))이고, 따라서 곡선 x(t)는 각 점에서 벡터 필드 F에 접한다고 말합니다.

만약 주어진 벡터 필드가 립시츠 연속(Lipschitz continuous)이면, 피카르-린델뢰프 정리(Picard–Lindelöf theorem)는 작은 시간 동안 고유한 흐름이 존재함을 의미합니다.

Examples

만약 미분 방정식이 벡터 필드(vector field) 또는 기울기 필드(slope field)로 표시되면, 해당하는 적분 곡선은 각 점에서 필드에 접합니다.

Generalization to differentiable manifolds

Definition

M을 r ≥ 2을 갖는 클래스 C^r의 바나흐 매니폴드(Banach manifold)라고 놓습니다. 평소와 같이, TM은 다음에 의해 주어진 자연스러운 투영(projection) π_M : TM → M을 갖는 M의 접 다발(tangent bundle)을 나타냅니다:

\pi _{M}:(x,v)\mapsto x.

M 위의 벡터 필드는 접 다발 TM의 교차-단면(cross-section)이며, 즉, 해당 점에서 M에 대한 접 벡터의 매니폴드 M의 모든 각 점에 대한 할당입니다. X를 클래스 C^r−1의 M 위의 벡터 필드라고 놓고 p ∈ M라고 놓습니다. 시간 t₀에서 p를 통과하는 X에 대한 적분 곡선은 다음임을 만족하는 t₀를 포함하는 실수 직선 R의 열린 구간 위에 정의된 클래스 C^r−1의 곡선 α : J → M입니다:

\alpha (t_{0})=p;\,

\alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ for all }}t\in J.

Relationship to ordinary differential equations

시간 t₀에서 p를 통과하는 벡터 필드 X에 대한 적분 곡선 α의 위의 정의는 α가 보통의 미분 방정식/초기 값 문제에 대한 지역적 해라고 말하는 것과 같습니다:

\alpha (t_{0})=p;\,

\alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,

그것은 J에서 시간에 대해서만 정의되고, 반드시 모든 t ≥ t₀ (t ≤ t₀은 말할 것도 없이)에 대해 정의되지 않는다는 점에서 지역적입니다. 따라서, 적분 곡선의 존재와 고유성을 입증하는 문제는 보통의 미분 방정식/초기 값 문제의 해를 찾아 고유함을 보이는 것과 같습니다.

Remarks on the time derivative

위에서, α′(t)는 시간 t에서 α의 도함수를 나타내고, 시간 t에서 "방향 α가 가리키는 것"을 나타냅니다. 보다 추상적인 관점에서, 이것은 프레셰 도함수(Fréchet derivative)입니다:

(\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.

M이 Rⁿ의 일부 열린 부분집합(open subset)인 특수한 경우에서, 이것은 친숙한 도함수입니다:

\left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),

여기서 α₁, ..., α_n는 보통의 좌표 방향에 관한 α에 대한 좌표입니다.

같은 것은 유도된 맵(induced maps)의 관점에서 훨씬 더 추상적으로 표현될 수 있습니다. J의 접 다발 TJ는 자명한 다발(trivial bundle) J × R이고 모든 t ∈ J에 대해 ι(t) = 1 (또는 보다 정확하게, (t, 1) ∈ ι)임을 만족하는 이 다발의 정식의(canonical) 교차-단면 ι가 있음에 유의하십시오. 곡선 α는 다음 다이어그램이 교환하도록 다발 맵(bundle map) α_∗ : TJ → TM을 유도합니다:

그런-다음 시간 도함수 α′는 합성(composition) α′ = α_∗ o ι이고 α′(t)는 일부 점 t ∈ J에서의 값입니다.

References

Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.