Classification of discontinuities

수학에서, 연속 함수(Continuous function)는 함수와 응용에서 가장 중요합니다. 어쨌든, 모든 함수(functions)가 연속은 아닙니다. 만약 함수가 그의 도메인(domain) 안의 한 점에서 연속이 아니면, 그곳에서 불연속(discontinuity)이라고 말합니다. 함수의 불연속의 모든 점의 집합은 이산 집합(discrete set), 조밀 집합(dense set), 또는 심지어 함수의 전체 도메인일 수 있습니다. 이 기사는 실수 값을 취하는 단일 실수(real) 변수의 함수 중 가장 단순한 경우에서 불연속의 분류(classification of discontinuities)를 설명합니다.

한 점에서 함수의 진동(oscillation)은 다음처럼 이들 불연속을 정량화합니다:

제거-가능한 불연속에서, 함수의 값이 떨어지는 거리는 진동입니다;
점프 불연속에서, 점프의 크기가 진동입니다 (그 점에서 값은 양 측으로부터 이들 극한 사이에 놓이는 것을 가정합니다);
본질적인 불연속에서, 진동은 극한이 존재하지 않는 것을 측정합니다. 극한은 상수입니다.

특수한 경우는 만약 함수가 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면, 이 경우에서 진동은 정의되지 않습니다 (확장된 실수에서, 이것은 제거-가능한 불연속입니다).

Classification

다음의 각각에 대해, $f$ 가 불연속인 점 x₀의 이웃에서 정의된, 실수 변수 $x$ 의 실수 값 함수 $f$ 를 생각해 보십시오.

Removable discontinuity

다음 함수를 생각해 보십시오:

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}

점 $x 0$ = 1은 제거-가능한 불연속입니다. 불연속의 이 종류에 대해:

$x 0$ 에서 음의 방향으로부터 한-쪽 극한(one-sided limit):

L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)

및 양의 방향으로부터 한-쪽 극한:

L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)

둘 다가 존재하고, 유한하고, $L$ = $L -$ = $L +$ 와 같습니다. 달리 말해서, 두 개의 한-쪽 극한이 존재하고 같으므로, $f (x)$ 의 극한 $L$ 은 $x$ 가 $x 0$ 로 접근할 때 존재하고 이 같은 값과 같습니다. 만약 $f (x 0)$ 의 실제 값이 $L$ 과 같지 않으면, $x 0$ 는 제거-가능한 불연속으로 불립니다. 이 불연속은 $x 0$ 에서 $f$ 를 연속으로 만들기 위해 제거될 수 있거나, 보다 정확하게, 함수

g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}

는 $x$ = $x 0$ 에서 연속입니다.

용어 제거-가능한 불연속은 양쪽 방향에서 극한이 존재하고 같지만, 함수는 점 $x 0$ 에서 정의되지 않는(undefined) 경우에 대해 때때로 용어의 남용(abuse of terminology)입니다..^[a] 이 사용은 남용하는 것인데 왜냐하면 함수의 연속성(continuity)과 불연속성은 함수의 도메인에서 점에 대해 오직 정의된 개념이기 때문입니다. 도메인 안에 있지 않은 그러한 점은 제거-가능한 특이점(removable singularity)으로 적절하게 불러야 합니다.

Jump discontinuity

다음 함수를 생각해 보십시오:

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}

그런-다음, 점 $x 0$ = 1는 점프 불연속입니다.

이 경우에서, 단일 극한은 존재하지 않는데 왜냐하면 한-쪽 극한, $L -$ 와 $L +$ 은 존재하고, 유한이지만, 같지 않기 때문입니다: $L -$ ≠ $L +$ 이므로, 극한 $L$ 은 존재하지 않습니다. 그런-다음, $x 0$ 은 점프 불연속, 계단 불연속, 또는 첫 번째 종류의 불연속으로 불립니다. 불연속의 이 유형에 대해, 함수 $f$ 는 $x 0$ 에서 임의의 값을 가질 수 있습니다.

Essential discontinuity

본질적인 불연속성에 대해, 두 한-쪽 극한 중 오직 하나가 존재하지 않거나 무한일 필요가 있습니다. 다음 극한을 생각해 보십시오:

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}

그런-다음, 점 $x_{0}=1$ 은 본질적인 불연속입니다.

이 경우에서, $L^{-}$ 이 존재하지 않고 $L^{+}$ 은 무한입니다 – 따라서 본질적인 불연속의 조건을 두번 만족시킵니다. 그래서 x₀는 본질적인 불연속, 무한 불연속, 또는 두 번째 종류의 불연속입니다. (이것은 본질적인 특이점(essential singularity)과 구별되며, 이것은 복소 변수의 함수(functions of complex variables)를 연구할 때 종종 사용됩니다.)

The set of discontinuities of a function

함수가 연속인 점에서 점의 집합은 항상 $G δ$ 집합입니다. 불연속의 집합은 $F σ$ 집합입니다.

단조 함수(monotonic function)의 불연속의 집합은 많아야 셀-수-있는(at most countable) 것입니다. 이것은 프로다의 정리(Froda's theorem)입니다.

토메의 함수(Thomae's function)는 모든 각 유리수 점(rational point)에서 불연속적이지만, 모든 각 무리수 점에서는 연속입니다.

디리클레 함수(Dirichlet function)로 역시 알려진, 유리수의 지시 함수(indicator function)는 어디에서나 불연속(discontinuous everywhere)입니다.

Notes

^ See, for example, the last sentence in the definition given at Mathwords.^[1]

References

^ http://www.mathwords.com/r/removable_discontinuity.htm

Sources

Malik, S.C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

External links

"Discontinuous". PlanetMath.
"Discontinuity" by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Weisstein, Eric W. "Discontinuity". MathWorld.
Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994], "Discontinuity point", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[2] See, for example, the last sentence in the definition given at Mathwords.^[1]

[1] ttp://www.mathwords.com/r/removable_discontinuity.htm

[a]

[1]