Oscillation (mathematics)

Oscillation of a sequence (shown in blue) is the difference between the limit superior and limit inferior of the sequence.

수학(mathematics)에서, 함수(function) 또는 수열(sequence)의 진동(oscillation)은 수열 또는 함수가 무한대 또는 한 점에 접근할 때 그것의 극단 값(extreme values) 사이에서 얼마나 변하는지를 정량화하는 숫자입니다. 극한(limits)의 경우와 마찬가지로, 직관적인 개념을 수학적 처리에 적합한 형식으로 넣는 몇 가지 정의가 있습니다: 실수(real numbers)의 수열의 진동, 한 점에서 실수-값 함수(real-valued function)의 진동, 및 구간 (또는 열린 집합) 위에 함수의 진동 등이 있습니다.

Definitions

Oscillation of a sequence

$(a_{n})$ 을 실수의 수열이라고 놓습니다. 해당 수열의 진동 $\omega (a_{n})$ 은 $(a_{n})$ 의 극한 상부와 극한 하부(limit superior and limit inferior) 사이의 차이 (아마도 무한대)로 정의됩니다:

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

.

진동이 영인 것과 수열이 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 $\limsup _{n\to \infty }$ 와 $\liminf _{n\to \infty }$ 가 둘 다 +∞와 같거나 둘 다 −∞와 같으면, 즉, 수열이 +∞ 또는 −∞으로 가는 경향이 있으면 정의되지 않습니다.

Oscillation of a function on an open set

$f$ 를 실수 변수의 실수-값 함수라고 놓습니다. 그것의 도메인에서 구간 $I$ 위의 $f$ 의 진동은 $f$ 의 상한(supremum)과 하한(infimum) 사이의 차이입니다:

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

보다 일반적으로, 만약 $f:X\to \mathbb {R}$ 가 (메트릭 공간과 같은) 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 위의 함수이면, 열린 집합(open set) $U$ 위의 $f$ 의 진동은 다음과 같습니다:

\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).

Oscillation of a function at a point

점 $x_{0}$ 에서 실수 변수의 함수 $f$ 의 진동은 $x_{0}$ 의 $\epsilon$ -이웃 위에 $f$ 의 진동의 $\epsilon \to 0$ 일 때 극한으로 정의합니다:

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

이것은 점 $x_{0}$ 가 극한에서 제외되지 않는다는 조건으로 하여 $x_{0}$ 에서 함수의 극한 상부와 극한 하부 사이의 차이와 같습니다.

보다 일반적으로, 만약 $f:X\to \mathbb {R}$ 가 메트릭 공간(metric space) 위에 실수-값 함수이면, 진동은 다음과 같습니다:

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).

Examples

${\frac {1}{x}}$ 는 $x$ = 0에서 진동 ∞을 가지고, 다른 유한 $x$ 와 −∞와 +∞에서 진동 0을 가집니다.
$\sin {\frac {1}{x}}$ (토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve))은 $x$ = 0에서 진동 2를 가지고, 다른 곳에서 0을 가집니다.
$\sin x$ 는 모든 각 유한 $x$ 에서 진동 0을 가지고, −∞와 +∞에서 2를 가집니다.
$(-1)^{x}$ 또는 1, -1, 1, -1, 1, -1...는 진동 2를 가집니다.

마지막 예제에서 수열은 주기적(periodic)이고, 상수인 것 없이 주기적인 임의의 수열은 비-영 진동을 가질 것입니다. 어쨌든, 비-영 진동은 보통 주기성을 나타내지 않습니다.

기하학적으로, 실수 위에 진동하는 함수의 그래프는 점점 더 작은 영역에 정착하는 것 없이 xy-평면에서 일부 경로를 따릅니다. 잘-행동된(well-behaved) 경우에서, 경로는 자체적으로 되돌아오는 루프, 즉, 주기적인 행동처럼 보일 수 있습니다; 최악의 경우에서, 전체 영역을 덮는 매우 불규칙한 운동일 수 있습니다.

Continuity

진동은 함수의 연속성(continuity of a function)을 정의하기 위해 사용될 수 있고, (실수 직선의 모든 곳에서 정의된 함수의 경우에서) 보통의 ε-δ 정의와 쉽게 동등합니다. 함수 ƒ가 x₀에서 연속인 것과 진동이 영인 것은 필요충분 조건입니다;^[1] 기호로, $\omega _{f}(x_{0})=0.$ 이 정의의 이점은 불연속성을 정량화한다는 것입니다: 진동은 함수가 한 점에서 얼마나 불연속적인지를 나타냅니다.

예를 들어, 불연속의 분류(classification of discontinuities)에서:

제거-가능 불연속(removable discontinuity)에서, 함수의 값이 벗어난 거리는 진동입니다.
점프 불연속성(jump discontinuity)에서, 점프의 크기는 진동입니다 (그 점에서 값이 양쪽 변에서 이들 극한 사이에 놓인다고 가정합니다).
본질적 불연속(essential discontinuity)에서, 진동은 극한이 존재하지 않는 것을 측정합니다.

이 정의는 설명적 집합 이론(descriptive set theory)에서 불연속점과 연속 점의 집합을 연구하기 위해 유용하고 – 연속 점은 진동이 ε (따라서 G_δ 집합)보다 작은 집합의 교차점입니다 – 르베그 적분-가능 조건(Lebesgue integrability condition)의 한 방향의 매우 빠른 증명을 제공합니다.^[2]

진동은 간단한 재-배열에 의한 ε-δ 정의와 진동을 정의하기 위해 극한 (lim sup, lim inf)를 사용함으로써 동등합니다: 만약 (주어진 점에서) 주어진 ε₀에 대해 ε-δ 정의를 만족시키는 δ가 없으면, 진동은 적어도 ε₀이고, 반대로 만약 모든 각 ε에 대해 원하는 δ가 있으면, 진동은 0입니다. 진동 정의는 토폴로지적 공간에서 메트릭 공간으로의 맵으로 자연스럽게 일반화될 수 있습니다.

Generalizations

보다 일반적으로, 만약 f : X → Y가 토폴로지적 공간(topological space) X에서 메트릭 공간(metric space) Y로의 함수이면, f의 진동은 다음에 의해 각 x ∈ X에서 정의됩니다:

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}

References

^ Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
^ Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177