Law of excluded middle

Original article: w:Law of excluded middle

Not to be confused with fallacy of the excluded middle.

This article uses forms of logical notation. For a concise description of the symbols used in this notation, see List of logic symbols.

논리학(logic)에서, 제외된 중간의 법칙 (또는 제외된 중간의 원리)은 임의의 제안(proposition)에 대해, 해당 제안이 참(true) 또는 그것의 부정(negation) 중 하나(either)이 참이라고 말합니다. 그것은 비-모순의 법칙(law of noncontradiction)과 정체성의 법칙(law of identity)에 따라, 소위 사고의 세 법칙(three laws of thought) 중 하나입니다. 제외된 중간의 법칙은 드 모르간의 법칙(De Morgan's law)에 의한 비-모순의 법칙과 논리적으로 동등합니다; 어쨌든, 논리의 시스템이 단지 이들 법률에 구축되지 않고, 이들 법칙 중 어느 것도 긍정 논법(modus ponens) 또는 드 모르간의 법칙과 같은, 추론 규칙(inference rules)을 제공하지 않습니다.

그 법칙은 제외된 세 번째의 법칙 (또는 원리), 라틴어에서 principium tertii exclusi로 역시 알려져 있습니다. 이 법칙에 대해 또 다른 라틴어 명칭은 tertium non datur: "세 번째 [가능성]은 없습니다"입니다. 그것은 동의어-반복(tautology)입니다.

그 원칙은 의미론적 이원성의 원리(principle of bivalence)와 혼동되어서는 안되며, 이것은 모든 각 제안가 참 또는 거짓 중 하나임을 말합니다.

Analogous laws

일부 논리 시스템은 다르지만 유사한 법칙을 가집니다. 유한 n-값 논리(n-valued logics)에 대해, 제외된 n+1번째의 법칙으로 불리는 유사한 법칙이 있습니다. 만약 부정은 순환적(cyclic)이고 "∨"가 "최대 연산자"이면, 그 법칙은 (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P)에 의해 대상 언어로 표현될 수 있으며, 여기서 "~...~"는 n−1 부정 기호 및 "∨ ... ∨"는 n−1 분리 기호를 나타냅니다. 문장이 n 진리 값(truth value) 중 적어도 하나 (및 n의 하나가 아닌 한 값이 아닌)를 받아야 하는지를 쉽게 확인할 수 있습니다.

다른 시스템은 전적으로 법칙을 거부합니다.

Examples

예를 들어, 만약 P가 다음 제안이면:

소크라테스는 불멸이다.

제외된 중간의 법칙은 논리적 합(logical disjunction):

소크라테스가 불멸이다, 또는 소크라테스가 불변이 아닌 경우가 있다.

는 단독으로 그것의 형식의 힘으로 참입니다. 즉, 소크라테스는 불멸도 아니고 불멸이 아닌 것도 아닌, "중간" 위치는 논리에 의해 제외되고, 따라서 첫 번째 가능성 (소크라테스는 불멸이다) 또는 그것의 부정 (소크라테스가 불멸이 아닌 경우가 있다) 중 하나는 반드시 참이어야 합니다.

제외된 중간의 법칙에 의존하는 논증의 예제는 다음입니다. 우리는 다음을 만족하는 두 무리수(irrational number) $a$ and $b$가 존재함을 증명하려고 노력합니다:

$a^{b}$는 유리수이다.

${\sqrt {2}}$는 무리수임이 알려져 있습니다 (증명(proof)을 참조하십시오). 다음 숫자를 생각해 보십시오:

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$.

분명히 (제외된 중간) 이 숫자는 유리수 또는 무리수입니다. 만약 그것이 유리수이면, 증명이 완료되고, 다음입니다:

$a={\sqrt {2}}$와 $b={\sqrt {2}}$.

그러나 만약 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$가 무리수이면, 다음을 놓습니다:

$a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$와 $b={\sqrt {2}}$.

그런-다음

$a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2$,

및 2는 분명히 유리수입니다. 이것으로 증명이 끝납니다.

위의 논증에서, 주장 "이 숫자는 유리수 또는 무리수 중에 하나입니다"는 제외된 중간의 법칙을 호출합니다. 직관주의자(intuitionist)는, 예를 들어, 그 명제에 대해 추가적인 지원없이 이 논증을 받아들이지 않을 것입니다. 이것은 문제에서 숫자가 실제로는 무리수 (또는 경우에 따라 유리수)라는 증명의 형식; 또는 숫자가 유리수인지 여부를 결정할 수 있는 유한 알고리듬으로 올 수 있습니다.

Non-constructive proofs over the infinite

위의 증명은 직관주의자에 의해 허용되지 않는 비-구성적(non-constructive) 증명의 예제입니다:

그 증명은 비-구성적인데 왜냐하면 그것은 이론을 만족시키는 특정 숫자를 $a$와 $b$를 제공하지 않았지만 오직 두 분리된 가능성을 제공하며, 그것의 하나는 반드시 작동해야 합니다. (실제로 $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$는 무리수이지만 해당 사실의 쉬운 증명은 알려져 있지 않습니다.) (Davis 2000:220)

(위의 특정 예제의 구성적 증명은 생성하는 것이 어렵지 않습니다; 예를 들어 $a={\sqrt {2}}$ 및 $b=\log _{2}9$는 모두 무리수임을 쉽게 알 수 있고, $a^{b}=3$입니다; 직관주의자에 의해 허용되는 증명입니다).

비-구성적에 의해, 데이비스는 "특정 조건을 만족시키는 수학 엔터디가 실제로 있다는 증명은 문제에서 엔터디를 명시적으로 표시하는 방법을 제공해야 할 필요가 없음"을 의미합니다. (p. 85). 그러한 증명은 전체, 즉 완전성, 무한으로 확장될 때 직관론자들에 의해 허용되지 않는 개념의 존재를 가정합니다–그들에 대해 그 무한은 절대 완전하게 되지 않습니다:

고전 수학에서, 직관론자들이 받아들이지 않는, 비-구성적 또는 간접 존재 증명이 일어납니다. 예를 들어, P(n)을 만족하는 n이 존재함을 입증하기 위해, 고전 수학자는 모든 n에 대해, P(n)이 아닌 가정으로부터 모순을 추론할 수 있습니다. 고전적 및 직관적인 논리 둘 다 아래에서, reductio ad absurdum에 의해 이것은 모든 n에 대해, P(n)이 아닌 것이 아님을 제공합니다. 고전적 논리는 이 결과를 P(n)을 만족하는 n이 존재로 변환되는 것을 허용하지만, 일반적으로 직관적이지 않습니다... 자연수의 완성된 무한 전체에서 어딘가에 P(n)을 만족하는 n이 발생한다는, 고전적인 의미는 그에게 사용할 수 없었는데, 왜냐하면 그는 자연수를 완성된 전체로 이해하지 않았기 때문입니다. (클레이니 1952:49–50)

다비트 힐베르트(David Hilbert)와 라위천 에흐베르튀스 얀 브라우어르(Luitzen E. J. Brouwer) 둘 다는 무한으로 확장된 제외된 중간의 법칙의 예제를 제시합니다. 힐베르트의 예제: "오직 유효하게 많은 소수가 있음 또는 무한하게 많이 있음 중 하나라는 주장" (데이비스 2000:97에서 인용); 그리고 브라우어르의 것: "모든 각 수학적 종은 유한 또는 무한 중에 하나입니다." (반 헤이지노트 1967:336에서 브라우어르 1923).

일반적으로, 직관론자들은 제외된 중간의 법칙의 사용을 그것이 유한 모음 (집합)에 걸쳐 논설에 국한되어 있을 때 허용하지만, 그것이 무한 집합 (예를 들어, 자연수)에 걸쳐 논설에 사용될 때 허용되지 않습니다. 따라서 직관론자는 포괄적인 주장: "무한 집합 D에 관한 모든 제안 P에 대해: P 또는 ~P"를 절대적으로 허용하지 않습니다 (클레이니 1952:48).

직관주의자 (예를 들어, 브라우어르)와 형식주의자 (힐베르트) 사이의 갈등에 대한 자세한 내용에 대해 수학의 기초(foundations of mathematics) 및 직관론(Intuitionism)을 참조하십시오.

제외된 중간의 법칙에 대한 추정적 반대-예제는 거짓말쟁이 역설(liar paradox) 또는 콰인의 역설(Quine's paradox)을 포함합니다. LP로 공식화되는 이들 역설, 특히 그레이엄 프리스트(Graham Priest)의 변증법(dialetheism)의 어떤 해결은 제외된 중간의 법칙을 정리로 가지지만, 거짓말쟁이를 참과 거짓 둘 다로 해결합니다. 이 방법에서, 제외된 중간의 법칙은 참이지만, 진리 자체이고, 따라서 분리가 배타적이지 않기 때문에, 만약 그 분리 중 하나가 역설적, 또는 참과 거짓 둘 다이면 아무것도 말하지 않습니다.

History

Aristotle

알려진 가장 초기의 공식화는, On Interpretation에서 처음 제안된, 비-모순의 원리(principle of non-contradiction)의 아리스토텔레스의 논의에서, 여기서 그는 두 모순(contradictory) 제안 (즉, 하나의 제안가 다른 것의 부정)의 주장 중 하나는 참이어야 하고, 다른 하나는 거짓이어야 한다고 말합니다. 그는 Metaphysics 책 3에서 그것을 원리로 역시 말하며, 모든 각 경우에서 확인 또는 거부하는 것이 필요하고, 모순의 두 부분 사이에 무언이든 있어야 하는 것은 불가능하다고 말합니다.

아리스토텔레스(Aristotle)는 모호성이 모호한 이름의 사용으로부터 발생할 수 있지만, 사실 자체에서 절대 존재할 수 없다고 썼습니다:

그런-다음, "사람이다"는 만약 "사람"이 한 주제에 대해 무언가를 의미할뿐만 아니라 하나의 의미를 가지면, 정확히 "사람이 아님"을 의미하는 것은 불가능합니다. ...그리고 우리가 "사람"이라고 부르는 누구와 다른 사람들이 "사람-아님"이라고 부르는 것처럼, 모호성의 미덕을 제외하고는, 같은 것이 되는 것 또는 되지 않는 것은 가능하지 않습니다; 그러나 문제에서 요점은 이것, 같은 것이 이름에서 동시에 사람인 것 및 사람이 아닌 것이 될 수 있는 여부가 아니라, 그것이 실제로 될 수 있는지 여부에 관한 것입니다. (Metaphysics 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525–526).

아리스토텔레스의 주장 "...같은 것이 되는 것과 되지 않는 것은 가능하지 않을 것입니다"는, 이것은 ¬(P ∧ ¬P)로 제안적 논리로 쓰일 것이며, 현대 논리학자들이 제외된 중간의 법칙 (P ∨ ¬P)이라고 부를 수 있는 명제이며, 아리스토텔레스의 주장의 부정의 분배는 전자가 어떤 제안도 참과 거짓 둘 다는 아니라고 주장하지만, 후자는 임의의 명제가 참 또는 거짓 중 하나라고 요구함에도 불구하고 그것들을 동등하게 만듭니다.

어쨌든, 아리스토텔레스는 역시 썼습니다, "모순이 같은 것의 동시에 참이 되어야 하는 것이 불가능하므로, 분명히 반대 명제는 같은 것에 동시에 역시 속할 수는 없습니다" (책 IV, 6장, 531페이지). 그는 그런-다음 제안합니다, "모순 사이에 중간이 될 수는 없지만, 한 가지 주제의 우리는 반드시 임의의 한 술어를 확인 또는 거부해야 합니다" (책 IV, 7장, 531페이지). 아리스토텔레스의 전통적인 논리(traditional logic)의 문맥에서, 이것은 제외된 중간의 법칙, P ∨ ¬P에 대한 놀랍도록 정확한 명제입니다.

역시 해석에서, 아리스토텔레스는, 해상 전투에 대한 토론에서, 미래의 분담액(future contingents)의 경우에서 제외된 중간 법칙을 거부하는 것처럼 보였습니다.

Leibniz

그것의 보통 형식, "모든 각 판단은 참 또는 거짓 중 하나입니다" [각주 9]..."(반 헤이지노트에서 콜모고로프 421페이지) 각주 9: "이것은 라이프니츠(Leibniz)의 매우 간단한 공식화입니다 (Nouveaux Essais, IV,2를 참조하십시오)...." (ibid p 421)

Bertrand Russell and Principia Mathematica

그 원리는 Principia Mathematica에서 러셀(Russell)과 화이트헤드(Whitehead)에 의해 제안적 논리(propositional logic)의 정리(theorem)로 다음으로 언급되었습니다:

$\mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p$.

그래서 단지 "진리"와 "허위"란 무엇입니까? 개시 PM에서 몇 가지 정의를 신속하게 발표합니다:

진리-값. 제안의 "진리-값"은 만약 그것이 참이면 진리이고 만약 그것이 거짓이면 허위입니다* [*이 문구는 프레게에 기인합니다]..."p ∨ q"의 진리-값은 만약 p 또는 q의 진리-값이 진리이면 진리이고 그렇지 않으면 허위입니다 ... "~p"의 값은 p의 값의 반대입니다..." (p. 7-8)

이것은 별로 도움이 되지 않습니다. 그러나 나중에, 더 깊이있는 논의에서, ("진리와 허위에 대한 정의와 체계적인 모호성" 2장 부분 III, 41페이지) PM은 "a"와 "b"와 "지각자" 사이의 관계의 관점에서 진리와 허위를 정의합니다. 예를 들어, "이것 'a'는 'b'입니다" (즉, "이것 '대상 a'는 '빨강'입니다")는 실제로 "'대상 a'는 의미-자료"이고 "'빨강'은 의미-자료"을 의미하고, 그들은 서로 "관계를 받고" "나"와 관계를 받습니다. 따라서 우리가 정말로 의미하는 것은: "나는 '이 대상이 빨강입니다'라고 인식입니다" 및 이것은 부인할-수-없는 "진리"라는 것입니다.

PM은 나아가서 "의미-자료"와 "감정" 사이의 구별을 정의합니다:

즉, 우리가 "이것은 빨강입니다"라고 판단할 (말할) 때, 발생하는 것은 세 용어, 마음과 "이것", 및 "빨강"의 관계입니다. 다른 한편으로, 우리가 "이것의 빨강성질"을 인식할 때, 두 용어, 즉 마음과 복잡한 대상 "이것의 빨강성질"의 관계가 있습니다 (페이지. 43-44).

러셀은 PM (1910–1913)과 같은 시기에 출판된 그의 저서 The Problems of Philosophy (1912)에서 "의미-자료"와 "감정" 사이의 그의 구별을 되풀이했습니다:

감정에서 즉시 알려진 것들: 색깔, 소리, 냄새, 경도, 거칠기 등과 같은 "의미-자료"의 이름을 부여합시다. 우리는 이들 것들을 즉시 인식하는 경험에 "감정"이라는 이름을 부여할 것입니다... 색깔 자체는 감정이 아닌 의미-자료입니다. (p. 12)

러셀은 나아가서 같은 책 (12장 Truth and Falsehood)에서 "진리"와 "허위"의 그의 정의 뒤에 그의 추론을 설명했습니다.

Consequences of the law of excluded middle in Principia Mathematica

Principia Mathematica에서 공식 ✸2.1, 제외된 중간의 법칙으로부터, 화이트헤드 및 러셀은 논리학자의 입론 툴킷에서 가장 강력한 도구 중 일부를 도출합니다. (Principia Mathematica에서, 공식과 제안는, "✸2.1"와 같은, 별표와 숫자로 이어지는 것에 의해 식별됩니다.)

✸2.1 ~p ∨ p "이것이 제외된 중간의 법칙입니다" (PM, p. 101).

✸2.1의 증명은 대략 다음과 같습니다: "원시 아이디어" 1.08은 p → q = ~p ∨ q를 정의합니다. 이 규칙에서 q를 p로 대체하면 p → p = ~p ∨ p를 산출합니다. p → p가 참이므로 (이것은 개별적으로 증명되는 정리 2.08입니다) 그런-다음 ~p ∨ p는 참이어야 합니다.

✸2.11 p ∨ ~p (역설의 교환은 공리 1.4에 의해 허용됩니다)
✸2.12 p → ~(~p) (이중 부정의 원리, 부분 1: 만약 "이 장미는 빨강입니다"가 참이면 '이 장미는 빨간이 아닙니다"가 참이라는 것은 사실이 아닙니다.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (2.12와 함께 보조정리는 2.14를 유도하기 위해 사용됩니다)
✸2.14 ~(~p) → p (이중 부정의 원리, 부분 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (네 "전치의 원리" 중 하나. 1.03, 1.16 및 1.17과 유사합니다. 매우 긴 시연이 여기서 요구됩니다.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (만약 "이 장미가 빨강이면 이 돼지가 날아갑니다"는 것이 참이면, "이 돼지가 날지 않으면 이 장미는 빨강이 아닙니다"라는 것이 참입니다.)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) ("전치의 원리"의 또 다른 것.)
✸2.18 (~p → p) → p ("reductio ad absurdum의 여"로 불림. "그것은 자신의 허위의 가설에서 따르는]] 제안가 참이라고 말합니다" (PM, pp. 103–104).)

이들 정의 대부분—특히 ✸2.1, ✸2.11, 및 ✸2.14—은 직관론에 의해 거부됩니다. 이들 도구들은 콜모고로프가 "힐베르트의 함축의 네 공리"와 "힐베르트의 두 부정의 공리"로 인용한 또 다른 형식으로 다시-만들어졌습니다 (반 헤이지노트에서 콜모고로프, 페이지. 335).

제안 ✸2.12 및 ✸2.14, "이중 부정": 브라우어르(L. E. J. Brouwer)의 직관주의(intuitionist) 글은 그가 "여러 종의 상호성 원리, 즉, 모든 각 시스템에 대해 속성의 정확성이 이 속성의 불가능성의 불가능을 따른다는 원리"를 참조합니다 (브라우어르, ibid, 페이지. 335).

이 원리는 공통적으로 "이중 부정의 원리" (PM, 페이지. 101–102)라고 불립니다. 제외된 중간의 법칙 (✸2.1 및 ✸2.11)에서, PM은 원리 ✸2.12을 즉시 도출합니다. 우리는 2.11에서 ~p ∨ ~(~p)를 산출하기 위해 p에 대해 ~p를 대체하고, 함축의 정의 (즉, 1.01 p → q = ~p ∨ q)에 의해 그런-다음 ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p)입니다. QED (2.14의 파생은 조금 더 얽혀 있습니다.)

Reichenbach

적어도 둘-값 논리—즉, 그것은 카르노 맵(Karnaugh map)에서 보일 수 있습니다–에 대해 이 법칙이 그의 법칙 (3)에서 사용된 포괄적-또는(inclusive-or)의 "그 중간"을 제거하는 것이 옳습니다. 그리고 이것이 일부 사람들은 배타적-또는(exclusive-or)이 포괄적-또는(inclusive-or)의 자리를 대신해야 한다는 라이헨바흐의 시연의 요점입니다.

이 문제에 대해 (일반적으로 인정하듯이 매우 기술적인 용어에서) 라이헨바흐는 다음을 관찰합니다:

The tertium non datur

29. (x)[f(x) ∨ ~f(x)]

는 주요 용어에서 포괄적이고 따라서 부풀어 오른 공식입니다. 이 사실은 아마도 일부 사람들이 포괄적-'또는'으로 (29)를 쓰는 것이 불합리하다고 생각하고 배타적-'또는'의 기호로 그것을 쓰고 싶어하는 이유를 설명할 수 있습니다

30. (x)[f(x) ⊕ ~f(x)], 여기서 기호 "⊕"는 배타적-또는(exclusive-or)를 의미합니다

이 형식에서 전체적으로 포괄적이고 따라서 더 좁은 의미에서 명칭론적입니다 (라이헨바흐, 페이지. 376)

줄 (30)에서 "(x)"는 "모두에 대해" 또는 "모두 각각에 대해"를 의미하며, 러셀과 라이헨바흐에 의해 사용된 형식힙니다; 오늘날의 그 상징은 보통 $\forall$ x입니다. 따라서 표현의 예제는 이것처럼 보일 것입니다:

• (돼지): (날다(돼지) ⊕ ~날다(돼지))
• (보이는 및 보이지-않는 "돼지"의 모든 예제에 대해): ("돼지는 납니다" 또는 "돼지는 날지 않습니다" 그러나 동시에 둘 다는 아닙니다)

Logicians versus Intuitionists

1800년대 후반부터 1930년대에 걸쳐서, 힐베르트와 그의 추종자 대 허르만 바일(Hermann Weyl)과 브라우어르(Brouwer) 사이에서 격렬하고 지속적인 논쟁이 벌어졌습니다. 직관주의(intuitionism)라고 불리는 브라우어르의 철학은 1800년대 후반에서 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)와 함께 본격적으로 시작되었습니다.

힐베르트는 크로네커의 아이디어를 강하게 싫어했습니다:

...크로네커는 구성없이 존재할 수 없다고 주장했습니다. 그에 대해, 파울 고르단 [또 다른 원로 수학자]은, 불변 시스템의 기초의 유한성의 힐베르트의 증명은 단순히 수학이 아니었습니다. 힐베르트는, 다른 한편으로, 그의 생애 동안 만약 우리가 한 개념에 할당된 속성이 결코 모순으로 이어지지 않을 것이라는 것을 입증할 수 있으면, 그 개념의 수학적 존재가 그것에 따라 확립된다고 주장했습니다 (리드, 34쪽)

어떤 것이 만약 양의 정수의 유한 숫자로 실제로 구성될 수 없다면 수학적 존재를 가지는 것을 말할 수 없다는 것이 그의 [크로네커의] 주장이었습니다 (리드, 26쪽)

토론은 힐베르트에게 깊은 영향을 미쳤습니다. 리드는 힐베르트의 두 번째 문제(Hilbert's second problem) (1900년 파리에서 열린 두 번째 국제 회의에서 얻은 힐베르트의 문제(Hilbert's problems) 중 하나)는 이 논쟁에서 발전했다는 것을 나타냅니다 (원본의 이탤릭체):

그의 두 번째 문제에서 [힐베르트]는 실수 산술의 공리의 일관성의 수학적 증명을 요구했습니다.

이 문제의 중요성을 보이기 위해, 그는 다음 관찰을 추가했습니다:

"만약 모순된 속성이 개념에 할당되면, 나는 수학적으로 개념이 존재하지 않습니다라고 말합니다"... (리드, 71쪽)

따라서 힐베르트는 "만약 p와 ~p가 모두 사실인 것으로 보이면, p는 존재하지 않습니다"라고 말하였고 그는 그것에 따라서 제외된 중간의 법칙을 모순의 법칙의 형식에 던져 불러들였습니다.

그리고 마지막으로 구성론자들은 ... 유한 또는 잠재적 (그러나 사실은 아닌) 무한한 구조에 대한 구체적인 연산의 연구로 제한된 수학; 완성된 무한 전체 ... 배척되며, 제외된 중간 법칙에 근거한 간접적인 증명과 마찬가지로. 구성론자들 중에서 가장 급진적인 것은 직관론자였으며, 이전의 위상학자 브라우어르에 의해 이어지는 ... (도슨, 49쪽)

거친 논쟁은 1900년대 초부터 1920년대를 통해 계속되었습니다; 1927년에 브라우어르는 "비웃는-듯한 논조에서 그것 [직관주의]에 대항하여 논쟁하는 것"에 대해 불평했습니다 (반 헤이지노트에서 바이버, 페이지. 492). 어쨌든, 그 논쟁은 비옥해져 왔습니다: 그것은 Principia Mathematica (1910–1913)를 초래했었고, 해당 연구는 제외된 중간의 법칙에 대한 정밀한 정의를 제공했고, 이 모든 것이 20세기 초의 수학자에게 필요한 지적 환경과 도구를 제공했습니다:

신랄에서 벗어나고, 그것에 의해 부분에서 낳으며, 몇 가지 중요한 논리적 발전이 일어났습니다...체르멜로의 집합 이론의 공리화 (1908a) ... Principia Mathematica의 첫 번째 판보다 2년 나중에 뒤따랐으며 ... 그것에서 러셀과 화이트헤드는, 유형의 이론을 통해, 얼마나 많은 산술의 양이 논리주의 수단에 의해 개발될 수 있는지를 보였습니다 (도슨, 49쪽)

브라우어르는 "부정" 또는 "비-존재" 대 "구성적" 증명으로부터 설계된 증명의 사용에 대한 토론을 줄였습니다:

브라우어르에 따르면, 주어진 속성을 가지는 대상이 존재한다는 명제는, 원칙적으로 적어도 그러한 대상을 찾거나 구성될 수 있는 방법이 알려져 있을 때, 오직 입증된다는 것을 의미합니다...

힐베르트는 자연스럽게 동의하지 않았습니다.

"...순수한 존재 증명은 우리 과학의 역사적 발전에서 가장 중요한 획기적인-사건이었습니다," 그는 주장했습니다. (리드, 155쪽)

브라우어르 ... 제외된 중간의 논리적인 원리를 받아들이는 것을 거부했으며... 그의 주장은 다음이었습니다:

"A는 명제 "속성 P를 가지는 집합 S의 구성원이 존재합니다"라고 가정합니다. 만약 집합이 유한이면, 원칙적으로 S의 각 구성원을 검사하고 속성 P를 갖는 S의 구성원이 있는지 또는 S의 모든 각 구성원이 속성 P가 없는지 여부를 결정할 수 있습니다. 유한 집합에 대해, 따라서, 브라우어르는 제외된 중간의 원리를 유효한 것으로 받아들였습니다. 그는 무한 집합에 대해 그것을 받아들이는 것을 거부했는데 왜냐하면 만약 집합 S가 무한이면, 우리는집합의 각 구성원을 절대–심지어 원칙적으로–검사할 수 없기 때문입니다. 만약, 우리의 검사 과정 동안, 우리가 속성 P를 갖는 집합의 구성원을 발견하면, 첫 번째 대안이 입증됩니다; 그러나 만약 우리가 그러한 구성원을 절대 찾지 못하면, 두 번째 대안은 여전히 입증되지 않습니다.

수학적 이론은 종종 부정이 모순에 빠질 것이라는 사실을 수립함으로써 입증되므로, 브라우어르가 제안한 세 번째 가능성은 현재 받아들여진 많은 수학적 명제에 의문을 제기할 것입니다.

"수학자들로부터 제외된 중간의 원리를 취하는 것은", 힐레르트는 말했습니다, "권투 선수에게 주먹을 사용하는 것을 금지하는 것과 ... 같습니다."

"가능한 손실은 바일을 귀찮게하지 않은 것으로 보입니다... 브라우어르의 프로그램이 다가올 것이라고, 취리히에 있는 친구들에게 주장했습니다." (리드, 149쪽)}}

1941년에 예일에서 그의 강의와 그 이후의 논문에서 괴델(Gödel)은 해결책을 제안했습니다: "...보편적 제안의 부정은 ... 반례의 존재를 주장하는 것으로 이해되어야 합니다" (도슨, 157쪽))

제외된 중간의 법칙에 대한 괴델의 접근은 "'비-단정적 정의'의 사용"에 반하는 반대가 "제외된 중간의 법칙과 제안된 계산법의 관련된 정리"보다 "더 큰 비중을 차지한다"고 주장하는 것이었습니다 (도슨, 156쪽). 그는 자신의 "시스템 Σ ... 및 그는 그의 해석의 몇 가지 응용을 언급함으로써 결론을 내렸습니다. 그 중에서도 원리 ~ (∀A: (A ∨ ~A))의 직관론적인 논리와의 일관성의 증명이 있었습니다 (가정의 불일치에도 불구하고 ∃ A: ~ (A ∨ ~A)...)" (도슨, 157쪽)

그 논쟁은 약화된 것으로 보입니다: 수학자, 논리학자 및 공학자는 일상 업무에서 제외된 중간 (및 이중 부정)의 법칙을 계속 사용하고 있습니다.

Intuitionist definitions of the law (principle) of excluded middle

다음은 "안다"는 것이 무엇을 의미하는지 뒤에 수학적 및 철학적 문제를 강조하고, "법칙"이 의미하는 것 (즉, 법칙이 실제로 의미하는 것)을 밝히는 데 역시 도움이 됩니다. 법칙과 함께 그들의 어려움은 드러납니다: 그들은 검증할 수 없는 (믿을 수 없는, 알 수 없는) 것으로부터 또는 불가능하거나 잘못된 것으로부터 도출된 진정한 함축으로 받아들이고 싶지 않습니다. (모든 인용구는 반 헤이지노트에서 인용되었으며, 기울임 꼴로 추가되었습니다.)

브라우어러는 "제외된 중간의 원리"의 그의 정의를 제공합니다; 우리는 "테스트-가능성"의 문제 역시 여기서 볼 수 있습니다:

방금 언급한 테스트-가능성의 바탕 위에, 특정 유한 주요 시스템 이내에서 품는 속성에 대해, "제외된 중간의 원리", 즉, 모든 각 시스템에 대해 모든 각 속성이 정확한 [옳은] 또는 불가능 중 하나라는 원리, 및 특히 여(complementary) 종의 상호관계의 원리, 즉, 모든 각 시스템에 대해 속성의 정확성이 이 속성의 불가능성의 불가능성에 따른다는 원리가 유지됩니다. (335)

브라우어르의 직관주의는 형식적인 논리와 우리가 살고 있는 물리적 우주 사이의 근본적인 동형사상의 의미입니다. 구성-가능성과 테스트-가능성은 물리적으로 만질 수 있는 것들의 필수적인 추상화입니다. 그에게, 모든 논리적 규칙은 원칙적으로 물리적으로 실현-가능한 모델의 속성과 반드시 유사해야 합니다.

콜모고로프의 정의는 힐베르트의 부정의 두 공리를 인용합니다:

5. A → (~A → B)
6. (A → B) → { (~A → B) → B}

힐베르트의 부정의 첫 번째 공리는, "거짓을 따르는 어떤 것", 기호적 논리의 상승으로 오직 그것의 등장을 만들었으며, 함축의 첫 번째 공리와 마찬가지로.... 반면에... 고려-사항 아래에서 공리 [공리 5]는 불가능한 어떤 것의 결과에 대한 어떤 것을 주장합니다: 우리가 만약 참 판단 A가 거짓으로 여겨진다면 B를 받아 들여야 합니다...

힐베르트의 부정의 두 번째 공리는 제외된 중간의 원리를 표현합니다. 그 원리는 도출에 사용되는 형식으로 여기에 표현됩니다: 만약 B가 ~A뿐만 아니라 A에서 따르면, B는 참입니다. 그것의 보통 형식, "모든 각 판단이 참인지 거짓인지"는 위에 주어진 것과 동등합니다.

부정의 첫 번째 해석, 즉, 판단을 참으려 여기는 것으로부터 금지로부터, 제외된 중간의 원리가 참이라는 확신을 얻는 것은 불가능합니다... 브라우어르는 그러한 초월유한 판단의 경우에서 제외된 중간의 원리가 명백한 것으로 여길 수 없음을 보였습니다.

각주 9: "이것은 라이프니츠의 매우 간단한 공식화입니다 (Nouveaux Essais, IV,2을 참조하십시오). 공식화 "A는 B 또는 not-B 중 하나입니다"는 판단의 논리와 아무 관련이 없습니다.

각주 10: "기호적으로 두 번째 형태는 표현됩니다 따라서

A ∨ ~A

여기서 ∨는 "또는"을 의미합니다.두 형식의 동등성은 쉽게 입증됩니다... (421쪽)

Criticisms

많은 현대 논리 시스템은 제외된 중간의 법칙을 실패로 부정(negation as failure)의 개념을 대체합니다. 제안가 참 또는 거짓 중 하나라는 것 대신에, 제안는 참 또는 참으로 입증될 수 없는 것 중 하나입니다. 이들 두 가지 이분법은 완전(complete)하지 않은 논리적 시스템에서 오직 다릅니다. 실패로 부정의 원리는 자발성 논리(autoepistemic logic)에 대해 기초로 사용되고, 논리 프로그래밍(logic programming)에서 널리 사용됩니다. 이들 시스템에서, 프로그래머는 제외된 중간의 법칙을 참 사실로 자유롭게 주장할 수 있지만, 이들 시스템에 우선적으로 적용되는 것은 아닙니다.

브라우어르(Brouwer) 및 아런트 헤이팅(Arend Heyting)과 같은 수학자들은 현대 수학의 맥락에서 제외된 중간의 법칙의 유용성에 대해 역시 논쟁을 벌였습니다.

In mathematical logic

현대의 수학적 논리(mathematical logic)에서, 제외된 중간은 가능한 자기-모순(self-contradiction)을 초래하는 것으로 보여 왔습니다. 논리적으로 참도 아니고 거짓이 아닌 잘-구성된 제안를 만드는 것이 가능합니다; 이것의 일반적인 예제는 "거짓말쟁이의 역설(Liar's paradox)"이며, 명제 "이 명제는 거짓입니다", 이것은 자체로 참도 아니고 거짓도 아님이 될 수 있습니다. 제외된 중간의 법칙은 이 명제의 부정 "이 명제가 거짓이 아닙니다"가 참으로 할당될 수 있을 때, 여기서 여전히 유지됩니다. 집합 이론(set theory)에서, 그러한 자기-참조 역설은 집합 "자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합"을 검사함으로써 구성될 수 있습니다. 이 집합은 명확하게 정의되지만, 러셀의 역설(Russell's paradox)로 이어집니다: 집합은 그 원소 중 하나로서 자신을 포함합니까? 어쨌든, 현대의 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에서, 모순의 이 유형은 더 이상 인정되지 않습니다.

See also

• Brouwer–Hilbert controversy: an account on the formalist-intuitionist divide around the Law of the excluded middle
• Consequentia mirabilis
• Diaconescu's theorem
• Law of excluded fourth
• Law of excluded middle is untrue in many-valued logics such as ternary logic and fuzzy logic
• Laws of thought
• Limited principle of omniscience
• Logical graphs: a graphical syntax for propositional logic
• Peirce's law: another way of turning intuition classical
• Logical determinism: the application excluded middle to modal propositions
• Non-affirming negation in the Prasangika school of Buddhism, another system in which the law of excluded middle is untrue

References

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• Aristotle, "Metaphysics", W.D. Ross (trans.), vol. 8 in Robert Maynard Hutchins (ed.), Great Books of the Western World, Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Cited as GB 8. 1st published, W.D. Ross (trans.), The Works of Aristotle, Oxford University Press, Oxford, UK.
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• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927, On the domains of definitions of functions,[reprinted with commentary, p. 446, van Heijenoort] Although not directly germane, in his (1923) Brouwer uses certain words defined in this paper.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927(2), Intuitionistic reflections on formalism,[reprinted with commentary, p. 490, van Heijenoort]
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• Bertrand Russell, The Art of Philosophizing and Other Essays, Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, 1974 edition (first published 1968). Includes a wonderful essay on "The Art of drawing Inferences".
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• David Hume, An Inquiry Concerning Human Understanding, reprinted in Great Books of the Western World Encyclopædia Britannica, Volume 35, 1952, p. 449 ff. This work was published by Hume in 1758 as his rewrite of his "juvenile" Treatise of Human Nature: Being An attempt to introduce the experimental method of Reasoning into Moral Subjects Vol. I, Of The Understanding first published 1739, reprinted as: David Hume, A Treatise of Human Nature, Penguin Classics, 1985. Also see: David Applebaum, The Vision of Hume, Vega, London, 2001: a reprint of a portion of An Inquiry starts on p. 94 ff

External links

• "Contradiction" entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy