Square root of 2

Square root of 2
	The square root of 2 is equal to the length of the hypotenuse of an isosceles right triangle with legs of length 1.
Representations
Decimal	1.4142135623730950488...
Continued fraction
Binary	1.01101010000010011110...
Hexadecimal	1.6A09E667F3BCC908B2F...

2의 제곱근(square root of 2, 근사적으로 1.4142)은 자체와 곱할 때 숫자 2와 같은 양의 실수(real number)입니다. 그것은 수학에서 ${\sqrt {2}}$ 또는 $2^{1/2}$ 로 쓸 수 있고, 대수적 숫자(algebraic number)입니다. 기술적으로, 그것은 같은 속성을 갖는 음수와 그것을 구별하기 위해 2의 주요 제곱 근(square root)이라 불러야 합니다.

기하학적으로, 2의 제곱근은 일 단위 길이의 변을 갖는 정사각형을 가로지르는 대각선의 길이입니다;^[1] 이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에서 따릅니다. 그것은 아마도 무리수(irrational)로 알려진 최초의 숫자였을 것입니다.^[2] 분수 99/70 (≈ 1.4142857)은 때때로 합리적으로 작은 분모(denominator)를 가진 좋은 유리수 근사(rational approximation)로 사용됩니다.

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences에서 수열 A002193는 2의 제곱근의 십진 전개(decimal expansion)에서 자릿수로 구성되며, 여기서 십진 점 이하 65자리로 잘립니다:^[3]

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

History

Babylonian clay tablet YBC 7289 with annotations. Besides showing the square root of 2 in sexagesimal (1 24 51 10), the tablet also gives an example where one side of the square is 30 and the diagonal then is 42 25 35. The sexagesimal digit 30 can also stand for 0 30 = 1/2, in which case 0 42 25 35 is approximately 0.7071065.

바빌로니아 점토판 YBC 7289 (기원전 약 1800–1600년)은 4개의 육십-진수(sexagesimal) 자릿수 1 24 51 10으로 ${\sqrt {2}}$ 의 근사를 제공하며, 이는 약 6 개의 십진(decimal) 자릿수까지 정확하고,^[4] ${\sqrt {2}}$ 의 가장 가까운 가능한 세-자리 육십진수 표현입니다:

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.

또 다른 초기 근사가 고대 인도의 수학 문헌, Sulbasutras (기원전 약 800–200년)에는 다음과 같이 제공됩니다: [변의] 길이를 그것의 3분의 1만큼 더하고 이 3분의 1의 4분의 1에서 34분의 1을 뺀 것을 더하십시오.^[5] 즉,

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.

이 근사는 ${\sqrt {2}}$ 의 연속된 분수(continued fraction) 전개에서 유도될 수 있는 펠 숫자(Pell numbers)의 수열을 기반으로 점점 더 정확한 근사 수열에서 일곱 번째입니다. 더 작은 분모를 가짐에도 불구하고, 그것은 바빌로니아 근사보다 약간 덜 정확합니다.

피타고라스-학파(Pythagoreans)는 정사각형(square)의 대각선이 그 변과 비-정수-비율-가능(incommensurable)이라는 것, 또는 현대 언어에서, 2의 제곱근은 무리수(irrational)라는 것을 발견했습니다. 이 발견의 시기나 상황에 대해 확실하게 알려진 것은 거의 없지만, 메타폰툼의 히파주스(Hippasus of Metapontum)라는 이름이 자주 언급됩니다. 한동안, 피타고라스-학파는 2의 제곱근이 무리수라는 발견을 공식적인 비밀로 취급했고, 전설에 따르면, 히파주스는 그것을 누설했다는 이유로 살해당했습니다..^[1]^[6]^[7]^[8] 2의 제곱근은 예를 들어, Conway & Guy (1996)에 의해 피타고라스-학파의 숫자(Pythagoras's number) 또는 피타고라스-학파의 상수(Pythagoras's constant)라고 때때로 불립니다.^[9]

Ancient Roman architecture

고대 로마 건축에서, 비트루비우스(Vitruvius)는 2의 제곱근 진행 또는 ad quadratum 기법의 사용을 설명합니다. 그것은 기본적으로 정사각형을 두 곱하는, 산술이 아닌, 기하학적 방법으로 구성되며, 이것에서 원래 정사각형의 대각선은 결과 정사각형의 변과 같습니다. 비트루비우스는 그 아이디어를 플라톤에게서 기인합니다. 그 시스템은 정사각형의 45도에서 원래 정사각형의 모서리에 접하는 정사각형을 만듦으로써 포장을 만들기 위해 사용되었습니다. 비율은 역시 정사각형에서 취한 대각선과 같은 길이를 그것들에 부여함으로써 심방(atria)을 설계하기 위해 사용되었으며, 그것의 변은 의도된 심방의 너비와 동등합니다.^[10]

Decimal value

Computation algorithms

${\sqrt {2}}$ 를 정수(integers) 비율 또는 십진수로 근사화하는 데 여러 가지 알고리듬(algorithms)이 있습니다. 이에 대한 가장 공통적인 알고리듬은, 많은 컴퓨터와 계산기에서 기본으로 사용되며, 제곱근을 계산하기 위한 바빌로니아 방법(Babylonian method)입니다.^[11] 그것은 다음과 같이 진행됩니다:

먼저, 하나의 추측, $a 0 > 0$ 를 선택합니다; 추측 값은 특정 정확도의 근사에 도달하는 데 필요한 반복 횟수에만 영향을 미칩니다. 그런-다음, 해당 추측을 사용하여, 다음 재귀(recursive) 계산을 반복합니다:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.

그 알고리듬을 통한 반복 횟수가 많을수록 (즉, 더 많은 계산이 수행되고 " $n$ "이 커질수록), 근사가 더 좋아집니다. 각 반복은 정확한 자릿수의 숫자를 대략 두 배로 늘립니다. $a 0 = 1$ 에서 시작하여, 그 알고리듬 결과는 다음과 같습니다:

1 ( $a 0$ )
3/2 = 1.5 ( $a 1$ )
17/12 = 1.416... ( $a 2$ )
577/408 = 1.414215... ( $a 3$ )
665857/470832 = 1.4142135623746... ( $a 4$ )

Rational approximations

단순 유리 근사 99/70 (≈ 1.4142857)는 때때로 사용됩니다. 분모가 70에 불과하지만, 그것은 정확한 값에서 1/10,000 (대략, +0.72×10⁻⁴)보다 작게 다릅니다.

그 다음 두 개의 더 나은 유리 근사는 조금 더 작은 오차 (대략, −0.72×10⁻⁴)을 갖는 140/99 (≈ 1.4141414...)이고, 대략 −0.12×10⁻⁴의 오차를 갖는 239/169 (≈ 1.4142012)입니다.

$a 0 = 1$ (665,857/470,832)으로 시작한 후 바빌로니아 방법의 4회 반복에서 유도된 2의 제곱근의 유리 근사는 약 1.6×10⁻¹²만큼 더 큽니다; 그 제곱은 ≈ 2.0000000000045입니다.

Records in computation

1997년에 ${\sqrt {2}}$ 의 값은 야스마사 카나다(Yasumasa Kanada)의 팀에 의해 십진 점 이하 137,438,953,444 자리까지 계산되었습니다. 2006년 2월에, ${\sqrt {2}}$ 의 계산 기록은 가정용 컴퓨터를 사용하면서 사라졌습니다. 시게루 곤도(Shigeru Kondo)는 2010년에 십진 점 이하 1조 자리를 계산했습니다.^[12] 계산적으로 어려운 십진 전개를 갖는 수학적 상수(mathematical constants) 중, $π$ , $e$ , 및 황금 비율(golden ratio)만이 2022년 3월 당시 더 정확하게 계산되었습니다.^[13] 그러한 계산은 그러한 숫자가 정규적(normal)인지 여부를 경험적으로 확인하는 것을 목표로 합니다.

이것은 ${\sqrt {2}}$ 의 자릿수를 계산하는 최근 기록의 테이블입니다.^[13]

Date	Name	Number of digits
January 5, 2022	Tizian Hanselmann	10000000001000
June 28, 2016	Ron Watkins	10000000000000
April 3, 2016	Ron Watkins	5000000000000
January 20, 2016	Ron Watkins	2000000000100
February 9, 2012	Alexander Yee	2000000000050
March 22, 2010	Shigeru Kondo	1000000000000

Proofs of irrationality

${\sqrt {2}}$ 의 무리성에 대한 짧은 증명(proof)은 유리 근 정리(rational root theorem)에서 얻을 수 있습니다. 즉, $p (x)$ 가 정수 계수(coefficients)를 갖는 일계수(monic) 다항식(polynomial)이면, $p (x)$ 의 임의의 유리(rational) 근(root)은 반드시 정수입니다. 이것을 다항식 $p (x) = x 2 - 2$ 에 적용하면 ${\sqrt {2}}$ 는 정수이거나 무리수라는 것이 따라옵니다. ${\sqrt {2}}$ 는 정수가 아니므로 (2는 완전 제곱(perfect square)이 아님), ${\sqrt {2}}$ 는 따라서 무리수여야 합니다. 이 증명은 완전 제곱이 아닌 임의의 자연수의 임의의 제곱근이 무리수임을 보여주기 위해 일반화될 수 있습니다.

임의의 비-제곱 자연수의 제곱근이 무리수라는 다른 증명에 대해, 이차 무리수(Quadratic irrational number) 또는 무한 하강(Infinite descent)을 참조하십시오.

Proof by infinite descent

숫자의 무리성에 대한 한 가지 증명은 다음에 오는 무한 하강에 의한 증명(proof by infinite descent)입니다. 그것은 역시 반박에 의한 부정의 증명(proof of a negation by refutation)이기도 합니다: 그것은 " ${\sqrt {2}}$ 는 유리수가 아니다"라는 명제가 그것이 유리수라고 가정하고 그런-다음 거짓을 도출함으로써 입증합니다.

${\sqrt {2}}$ 가 유리수라고 가정하며, 그 비율이 정확하게 ${\sqrt {2}}$ 인 정수의 쌍이 존재한다는 것을 의미합니다.
만약 두 정수가 공통 인수(factor)를 가지면, 그것은 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)을 사용하여 제거될 수 있습니다.
그런 다음 ${\sqrt {2}}$ 는 $a$ 와 $b$ 가 서로소 정수(coprime integers, 공통 약수가 없음)임을 만족하는 기약 분수(irreducible fraction) $a / b$ 로 쓸 수 있으며, 이는 추가적으로 $a$ 또는 $b$ 중 적어도 하나가 홀수여야 함을 의미합니다.
$a 2 / b 2 = 2$ 와 $a 2 = 2 b 2$ 가 따라옵니다. ( $(a / b) n = a n / b n$ ) ( $a 2 와 b 2$ 는 정수입니다)
그러므로, $a 2$ 은 그것이 $2 b 2$ 과 같기 때문에 짝수(even)입니다. ( $2 b 2$ 은 반드시 짝수여야 하는데 왜냐하면 그것은 2 곱하기 또 다른 정수이기 때문입니다.)
$a$ 는 짝수여야 함이 따라옵니다 (왜냐하면 홀수 정수의 제곱은 결코 짝수가 아니기 때문입니다).
$a$ 가 짝수이기 때문에, $a = 2 k$ 를 충족하는 정수 $k$ 가 존재합니다.
단계 4의 두 번째 방정식에서 $a$ 를 단계 7의 $2 k$ 로 대입하면: $2 b 2 = a 2 = (2 k) 2 = 4 k 2$ 이며, 이는 $b 2 = 2 k 2$ 와 동등합니다.
$2 k 2$ 는 2로 나눌 수 있고 따라서 짝수이고, $2 k 2 = b 2$ 이기 때문에, $b 2$ 은 역시 짝수임을 따르고, 이는 $b$ 가 짝수임을 의미합니다.
단계 5와 8에 의해, $a$ 와 $b$ 는 둘 다 짝수이고, 이는 $a / b$ 가 단계 3에서 명시했던 기약이라는 것에 모순됩니다.

Q.E.D.

우리가 거짓임을 도출했으므로, ${\sqrt {2}}$ 가 유리수라는 가정 (1)은 거짓이어야 합니다. 이것은 ${\sqrt {2}}$ 가 유리수가 아님을 의미합니다; 다시 말해서, ${\sqrt {2}}$ 는 무리수입니다.

이 증명은 그의 Analytica Priora, §I.23에서 아리스토텔레스(Aristotle)에 의해 암시되었습니다.^[14] 그것은 유클리드(Euclid)의 원론(Elements)에서 책 X의 제안 117에서 완전한 증명으로 처음 나타났습니다. 어쨌든, 19세기 초 이래로, 역사가들은 이 증명이 유클리드에 기인한 것이 아니라 보간(interpolation)이라는 데 동의했습니다.^[15]

Proof by unique factorization

무한 하강에 의한 증명과 마찬가지로, $a^{2}=2b^{2}$ 를 얻습니다. 같은 양이므로, 같은 변은 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의해 같은 소수 인수분해(prime factorization)를 가지고, 특히, 인수 2가 같은 횟수 발생해야 합니다. 어쨌든, 인수 2는 오른쪽에는 홀수 번 나타나지만, 왼쪽에는 짝수 번 나타납니다—모순입니다.

Geometric proof

간단한 증명은 존 호턴 콘웨이(John Horton Conway)에 의해 스탠리 테넨바움(Stanley Tennenbaum)가 1950년대 초에 학생이었을 때 기인한 것이고^[16] 그것의 가장 최근 등장은 American Scientist 2016년 5–6월호에 Noson Yanofsky에 의한 기사에 있습니다.^[17]

각각 정수 변 a와 b를 갖는 두 개의 정사각형이 주어지면, 그 중 하나는 다른 것의 넓이(area)의 두 배를 가지며, 그림 1과 같이 더 작은 정사각형의 두 복사본을 더 큰 정사각형에 배치합니다. 중간에서 정사각형 중첩 영역 ( $(2 b - a) 2$ )은 두 개의 덮지 않은 정사각형의 합 ( $2(a - b) 2$ )과 같아야 합니다. 어쨌든, 대각선에 있는 이들 정사각형은 원래 정사각형보다 작은 양의 정수 변을 가집니다. 이 과정을 반복하면, 하나는 다른 하나의 넓이의 두 배이지만, 둘 다 양의 정수 변을 가지는 임의적인 작은 정사각형이 있으며, 이는 양의 정수가 1보다 작을 수 없기 때문에 불가능합니다.

2000년 American Mathematical Monthly에 ${\sqrt {2}}$ 가 무리수임을 보여주는 또 다른 기하 귀류법(reductio ad absurdum) 논증이 등장했습니다.^[18] 그것은 역시 무한 하강에 의한 증명의 예제입니다. 그것은 고전적인 나침반과 직선자(compass and straightedge) 구성을 사용하여, 고대 그리스 기하학자에 의해 사용되었던 유사한 방법으로 정리를 입증합니다. 그것은 본질적으로 또 다른 방법에서 기하학적으로 볼 때 이전 단락에서 처럼 같은 대수적 증명입니다.

$△ ABC$ 를 그림 2에서 보인 것처럼 빗변 길이 $m$ 과 다리 $n$ 을 갖는 직각 이등변삼각형이라고 놓습니다. 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)에 의해, ${\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}$ 입니다. 여기서 $m$ 과 $n$ 이 정수라고 가정합니다. $m : n$ 을 가장 낮은 항(lowest terms)에서 주어진 비율(ratio)이라고 놓습니다.

중심 $A$ 를 갖는 호 $BD$ 와 $CE$ 를 그립니다. $DE$ 를 연결합니다. 따라서 $AB = AD$ , $AC = AE$ , 및 $∠ BAC$ 와 $∠ DAE$ 가 일치합니다. 그러므로, 삼각형(triangles) $ABC$ 와 $ADE$ 는 SAS에 의해 합동(congruent)입니다.

$∠ EBF$ 는 직각이고 $∠ BEF$ 는 직각의 절반이므로, $△ BEF$ 도 직각 이등변 삼각형입니다. 따라서, $BE = m - n$ 은 $BF = m - n$ 를 의미합니다. 대칭에 의해, $DF = m - n$ 이고, $△ FDC$ 도 직각 이등변 삼각형입니다. 역시 $FC = n - (m - n) = 2 n - m$ 임이 따라옵니다.

따라서, 빗변 길이 $2 n - m$ 와 다리 $m - n$ 을 갖는 훨씬 더 작은 직각 이등변 삼각형이 있습니다. 이들 값은 $m$ 과 $n$ 보다 훨씬 작은 정수이고 같은 비율에서, $m : n$ 이 가장 낮은 항이라는 가설과 모순됩니다. 그러므로, $m$ 과 $n$ 은 모두 정수일 수 없으므로, ${\sqrt {2}}$ 는 무리수입니다.

Constructive proof

무한 하강에 의한 증명은 "무리수"가 "유리수가 아님"을 의미하는 것으로 정의될 때 구성적으로 타당하지만, "모든 각 유리수와 정량화할 수 있게 분리된" 것으로 "무리수"의 긍정적인 정의를 사용함으로써 구성적으로 더 강력한 명제를 얻을 수 있습니다. $a$ 와 $b$ 를 $1< a / b < 3/2$ 를 만족하는 양의 정수라고 놓습니다 (왜냐하면 $1<2< 9/4$ 가 이들 경계를 만족시키기 때문입니다). 이제 $2 b 2$ 과 $a 2$ 은 같을 수 없는데, 왜냐하면 첫 번째는 인수 2의 홀수 개를 가지고, 반면에 두 번째는 인수 2의 짝수 개를 가지기 때문입니다. 따라서 $| 2 b 2 - a 2 | \geq 1$ 입니다. 절대 차이 $\left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|$ 에 분자와 분모에서 $b^{2}+\left|{\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right|$ 를 곱하면, 다음을 얻습니다:^[19]

\left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},

후자의 부등식(inequality)은 참인데 왜냐하면 $1< a / b < 3/2$ 로 가정되어, ${\frac {a}{b}}+{\sqrt {2}}\leq 3$ 를 제공하기 때문입니다 (그렇지 않으면 정량적 분리가 자명하게 설정될 수 있습니다). 이것은 차이 $\left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|$ 에 대해 $1 / 3 b 2$ 의 아래쪽 경계를 제공하며, 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle)에 의존하지 않고 구성적으로 더 강한 형식으로 무리성의 직접적인 증명을 산출합니다; Errett Bishop (1985, p. 18)를 참조하십시오. 이 증명은 ${\sqrt {2}}$ 와 임의의 유리수 사이의 명백한 불일치를 구성적으로 보여줍니다.

Proof by Pythagorean triples

이 증명은 원시 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triples)의 다음 속성을 사용합니다:

만약

a

,

b

, 및

c

가

a 2 + b 2 = c 2

를 만족하는 서로소 양의 정수이면,

c

는 결코 짝수가 아닙니다.^[20]

이 보조정리는 두 개의 동일한 완전 제곱이 또 다른 완전 제곱을 생성하기 위해 더할 수 없음을 보여주는 데 사용될 수 있습니다.

반대로 ${\sqrt {2}}$ 가 무리수라고 가정합니다. 그러므로,

{\sqrt {2}}={a \over b}

여기서

a,b\in \mathbb {Z}

이고

\gcd(a,b)=1

양쪽 변을 제곱하면,

2={a^{2} \over b^{2}}

2b^{2}=a^{2}

b^{2}+b^{2}=a^{2}

여기서, $(b, b, a)$ 는 원시 피타고라스 세-쌍이고, 보조정리로부터 $a$ 는 결코 짝수가 아닙니다. 어쨌든, 이것은 $a$ 가 짝수여야 한다는 방정식 $2 b 2 = a 2$ 와 모순됩니다.

Multiplicative inverse

2의 제곱근의 곱셈 역(multiplicative inverse, 즉, 1/2의 제곱근)는 널리 사용되는 상수(constant)입니다.

{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=

0.70710678118654752440084436210484903928483593768847... (OEIS에서 수열 A010503)

${\sqrt {2}}$ 의 절반은, 역시 ${\sqrt {2}}$ 의 역수이며, 기하학(geometry)과 삼각법(trigonometry)에서 공통적인 양인데 왜냐하면 평면에서 축과 45° 각도(angle)를 이루는 단위 벡터(unit vecto)가 다음 좌표를 가지기 때문입니다:

\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.

이 숫자는 다음을 만족시킵니다:

{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.

Properties

${\sqrt {2}}$ 의 하나의 흥미로운 속성은 다음과 같습니다:

\!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

왜냐하면

\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.

이것은 은 비율(silver ratios)의 속성과 관련이 있습니다.

${\sqrt {2}}$ 는 만약 제곱근 기호가 복소수(complex numbers) $i$ 및 $- i$ 에 대해 적절하게 해석되면 제곱근(square root)과 산술 연산(arithmetic operations)만 사용하여 허수 단위(imaginary unit) $i$ 의 복사본의 관점에서 표현될 수도 있습니다:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}

${\sqrt {2}}$ 는 역시 그것의 무한 테트레이트(tetrate, 즉, 무한 지수 탑)가 그것의 제곱과 같은 1이 아닌 유일한 실수입니다. 다시 말해서: 만약 $c > 1$ 에 대해, $x 1 = c$ 이고 $n > 1$ 에 대해 $x n +1 = c x n$ 이면, $n \to \infty$ 일 때 $x n$ 의 극한(limit)은 (만약 이 극한이 존재한다면) $f (c)$ 라고 불릴 것입니다. 그런-다음 ${\sqrt {2}}$ 는 $f (c) = c 2$ 에 대해 유일한 숫자 $c > 1$ 입니다. 또는 기호적으로,

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.

${\sqrt {2}}$ 는 $π$ 에 대해 비에타의 공식(Viète's formula)에서 나타납니다:

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ as }}m\to \infty

여기서 $m$ 은 제곱근이고 오직 하나의 음의 부호를 가집니다.^[21]

모양이 비슷하지만 유한한 항의 개수를 갖는 것에서, ${\sqrt {2}}$ 는 다양한 삼각 상수(trigonometric constants)로 나타납니다:^[22]

{\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}

${\sqrt {2}}$ 가 무리성보다 강한 속성인 정규 숫자(normal number)인지는 알 수 없지만, 이진 전개(binary expansion)의 통계적 분석은 밑수 2(base two)에 정규 숫자라는 가설과 일치합니다.^[23]

Representations

Series and product

항등식 $cos π / 4 = sin π / 4 = 1 / \sqrt 2$ 은, 사인과 코사인에 대해 무한 곱 표현과 함께, 다음과 같은 곱으로 이어집니다:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots

그리고

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots

또는 동등하게,

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .

그 숫자는 삼각 함수(trigonometric function)의 테일러 급수(Taylor series)를 취함으로써 표현될 수도 있습니다. 예를 들어, $cos π / 4$ 에 대한 급수는 다음과 같습니다:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.

$x = 1$ 과 두 배 팩토리얼(double factorial) $n!!$ 을 사용하는 ${\sqrt {1+x}}$ 의 테일러 급수는 다음을 제공합니다:

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .

이 급수의 수렴(convergence)은 오일러 변환(Euler transform)으로 가속화될 수 있으며, 다음을 생성합니다:

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .

${\sqrt {2}}$ 가 BBP-유형 공식(BBP-type formula)으로 표현될 수 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다. 어쨌든, BBP-유형 공식은 $\pi {\sqrt {2}}\,$ 와 ${\sqrt {2}}\ln(1+{\sqrt {2}})$ 에 대해 알려져 있습니다.^[24]

그 숫자는 피보나치-같은 재귀 관계(recurrence relation) a(n) = 34a(n−1) − a(n−2), a(0) = 0, a(1) = 6의 2ⁿ 번째 항에 의해 정의되는 분모를 갖는 이집트 분수(Egyptian fractions)의 무한 급수로 나타낼 수 있습니다.^[25]

{\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)

Continued fraction

2의 제곱근은 다음과 같은 연속된 분수(continued fraction) 표현을 가집니다:

\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.

이 표현을 자름으로써 형성된 수렴(convergents) $p / q$ 는 정확도를 높이기 위해 2의 제곱근을 근사화하고, 펠 숫자(Pell numbers, 즉, $p 2 - 2 q 2 = \pm1$ )에 의해 설명되는 분수의 수열을 형성합니다. 첫 번째 수렴은 $1 / 1, 3 / 2, 7 / 5, 17 / 12, 41 / 29, 99 / 70, 239 / 169, 577 / 408$ 이고 $p / q$ 를 따르는 수렴은 $p + 2 q / p + q$ 입니다. 수렴 $p / q$ 는 ${\sqrt {2}}$ 와 거의 정확히 ${\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}$ 만큼 차이나며, 이는 다음에서 따라옵니다:

\left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}

Nested square

다음 중첩된 제곱 표현은 ${\sqrt {2}}$ 로 수렴됩니다:

{\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}

Applications

Paper size

1786년에, 독일의 물리학 교수 게오르크 크리스토프 리히텐베르크(Georg Christoph Lichtenberg)는 긴 쪽이 짧은 쪽보다 ${\sqrt {2}}$ 배 긴 임의의 종이를 반으로 접고 짧은 쪽과 정렬하면 원본과 정확히 같은 비율의 종이를 만들 수 있음을 발견했습니다.^[26] 짧은 면에 걸쳐 더 긴 길이의 비율은 종이를 직선을 따라 반으로 자르면 더 작은 종이가 원래 종이와 같은 (근사) 비율을 가짐을 보장합니다. 20세기 초 독일이 종이 크기를 표준화할 때, 그것들은 리히텐베르크의 비율을 사용하여 종이 크기의 "A" 시리즈를 만들었습니다.^[26] 오늘날, ISO 216 (A4, A0, 등)에 따른 종이 크기의 (근사) 종횡비(aspect ratio)는 1: ${\sqrt {2}}$ 입니다.

Proof:
종이의 측면 $S=$ 짧은 길이이고 $L=$ 긴 길이이며, 다음을 가집니다:

R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}

as required by ISO 216.

$R'={\frac {L'}{S'}}$ 를 절반된 종이의 유사한 비율로 놓으면,

R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R

.

Physical sciences

물리적 과학(physical sciences)에서 2의 제곱근과 관련된 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다:

2의 제곱근은 12-음 평균율(equal temperament) 음악에서 트리톤(tritone) 음정의 주파수 비율(frequency ratio)입니다.
2의 제곱근은 사진 렌즈에서 f-스톱(f-stops)의 관계를 형성하며, 이는 차례로 두 개의 연속적인 조리개(apertures) 사이의 넓이의 비율이 2임을 의미합니다.
행성의 천문 교차-분기 일(cross-quarter day) 지점 동안 태양의 천구 위도 (적위)는 행성 축의 기울기를 ${\sqrt {2}}$ 로 나눈 값과 같습니다.

Notes

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External links

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[14] All that Aristotle says, while writing about proofs by contradiction, is that “the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate”.

[15] The edition of the Greek text of the Elements published by E. F. August in Berlin in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with J. L. Heiberg's edition (1883–1888).

[16] Proof 8‴ Archived 2016-04-22 at the Wayback Machine

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[19] See Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), "Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?", Intellectica, 56 (2): 223–302 (see esp. Section 2.3, footnote 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U

[Sierpinski-20] Sierpiński, Wacław (2003), Pythagorean Triangles, Dover, pp. 4–6, ISBN 978-0-486-43278-6

[21] Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, London: Oxford University Press, p. 124

[22] Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Archived 2009-05-06 at the Wayback Machine

[23] Good & Gover (1967).

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