Figure 1 – A triangle. The angles α β γ a b c 삼각법(trigonometry) 에서, 탄젠트의 법칙 (law of tangents )[1] 삼각형(triangle) 의 두 각도의 탄젠트와 반대쪽 변의 길이 사이의 관계에 대한 명제입니다.
그림 1에서, a b c α β γ 반대쪽 각도입니다. 탄젠트(tangent) 의 법칙은 다음임을 말합니다:
a
−
b
a
+
b
=
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
tan
(
1
2
(
α
+
β
)
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}}
비록 사인의 법칙(law of sines) 또는 코사인의 법칙(law of cosines) 으로 공통적으로 알려져 있지 않을지라도, 탄젠트의 법칙은 사인의 법칙과 동등하고, 두 변과 포함된 각, 또는 두 각도와 한 변이 알려져 있는 임의의 곳에서 사용될 수 있습니다.
Proof 탄젠트의 법칙을 입증하기 위해, 우리는 사인의 법칙(law of sines) 으로 시작할 수 있습니다:
a
sin
α
=
b
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}
다음이 되도록
a
=
d
sin
α
and
b
=
d
sin
β
{\displaystyle a=d\sin \alpha \quad {\text{and}}\quad b=d\sin \beta }
다음을 놓습니다:
d
=
a
sin
α
and
d
=
b
sin
β
{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}\quad {\text{and}}\quad d={\frac {b}{\sin \beta }}}
다음임을 따릅니다:
a
−
b
a
+
b
=
d
sin
α
−
d
sin
β
d
sin
α
+
d
sin
β
=
sin
α
−
sin
β
sin
α
+
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
삼각 항등식(trigonometric identity) , 구체적으로 사인에 대해 인수 공식을 사용하여,
sin
(
α
)
±
sin
(
β
)
=
2
sin
(
α
±
β
2
)
cos
(
α
∓
β
2
)
,
{\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),}
우리는 다음을 얻습니다:
a
−
b
a
+
b
=
2
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
2
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
=
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
÷
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
=
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
tan
(
1
2
(
α
+
β
)
)
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}\div {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}.}
두 사인의 합 또는 차이에 대해 항등식을 사용하는 것에 대한 대안으로써, 우리는 삼각 항등식을 인용할 수 있습니다:
tan
(
α
±
β
2
)
=
sin
α
±
sin
β
cos
α
+
cos
β
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
(탄젠트 반-각 공식(tangent half-angle formula) 을 참조하십시오).
Application 탄젠트의 법칙은 두 변 a b γ
다음으로부터
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
=
a
−
b
a
+
b
tan
(
1
2
(
α
+
β
)
)
=
a
−
b
a
+
b
cot
(
γ
2
)
{\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)={\frac {a-b}{a+b}}\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)={\frac {a-b}{a+b}}\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}
우리는 α − β α + β = 180° − γ α β c 코사인의 법칙(law of cosines) c = √a 2 + b 2 − 2ab cos γ 로그 테이블(logarithm table) 에서 추가적인 조회하기 필요했기 때문입니다. 현대에서 탄젠트의 법칙은 코사인의 법칙보다 더 나은 수치적(numerical) 속성을 가질 수 있습니다: 만약 γ a b 유효-숫자의 손실(loss of significant digits) 을 의미합니다.
Spherical version 단위 반지름의 구에서, 삼각형의 변은 큰 원(great circle) 의 호입니다. 그것에 따르면, 그들의 길이는 라디안 또는 임의의 다른 각도 측정의 단위로 표현될 수 있습니다. A B C a b c [2]
tan
(
A
−
B
2
)
tan
(
A
+
B
2
)
=
tan
(
a
−
b
2
)
tan
(
a
+
b
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\tan \left({\dfrac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\dfrac {A+B}{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\dfrac {a-b}{2}}\right)}{\tan \left({\dfrac {a+b}{2}}\right)}}.}
History 구형 삼각형에 대해 탄젠트의 법칙은 13세기에 페르시아 수학자(Persian mathematician) 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī) (1201–1274)에 의해 기술되었으며, 그는 다섯-권 연구 Treatise on the Quadrilateral 에서 평면 삼각형에 대해 사인의 법칙을 역시 제시했습니다.[3] [4]
See also Notes
^ See Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton University Press , 2002.
^ Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 32nd Edition, CRC Press, 2011, page 219.
^
Marie-Thérèse Debarnot (1996). "Trigonometry". In Rushdī Rāshid, Régis Morelon (ed.). Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 ISBN 0-415-12411-5
^
Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). "Trigonometry". In C. E. Bosworth, M.S.Asimov (ed.). History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 ISBN 81-208-1596-3
