List of trigonometric identities

Original article: wikipedia:List of trigonometric identities

Cosines and sines around the unit circle

수학(mathematics)에서, 삼각 항등식(trigonometric identities)은 삼각 함수(trigonometric functions)를 포함하는 상등이고 상등의 양쪽 변이 정의된 곳에서 변수(variables)에 발생하는 모든 각 값에 대해 참입니다. 기하학적으로, 이들은 하나 이상의 각도(angle)의 특정 함수를 포함하는 항등식(identities)입니다. 그들은 삼각형 항등식(triangle identities)과 구별되며, 이것은 각도를 잠재적으로 포함하지만 삼각형(triangle)의 변의 길이 또는 다른 길이를 포함하는 항등식입니다.

이들 항등식은 삼각 함수를 포함하는 표현을 단순화해야 할 때 유용합니다. 중요한 적용은 비-삼각 함수의 적분화(integration)입니다: 공통적인 기술은 먼저 삼각 함수와 함께 치환 규칙하고, 그런-다음 삼각 항등식과 함께 결과 적분을 단순화하는 것입니다.

Notation

Angles

Signs of trigonometric functions in each quadrant. The mnemonic "All Science Teachers (are) Crazy" lists the basic functions ('All', sin, tan, cos) which are positive from quadrants I to IV. This is a variation on the mnemonic "All Students Take Calculus".

이 기사는 각도를 표현하기 위해 알파(alpha) (α), 베타(beta) (β), 감마(gamma) (γ), 및 세타(theta) (θ)와 같은 그리스 문자를 사용합니다. 여러 다른 각도 측정의 단위는 도(degree), 라디안(radian), 및 그라디안(gradian) (곤(gon))을 포함하여 널비 사용됩니다:

1 완전한 원 (바퀴(turn)) = 360 도 = 2π 라디안 = 400 곤.

만약 각도에 대해 (°) 또는 그라디안에 대해 ($^{\mathrm {g} }$)로 특별히 주석을 달지 않으면, 이 기사에서 각도에 대해 모든 값은 라디안에서 주어진 것으로 가정합니다.

다음 테이블은 공통적인 각도와 변환 및 기본 삼각 함수의 값을 보여줍니다:

공통 각도의 변환

바퀴	도	라디안	그라디안	사인	코사인	탄젠트
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm {g} }$	$0$	$1$	$0$
${\dfrac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{6}}$	$33{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {1}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{8}}$	$45^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{4}}$	$50^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{3}}$	$66{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {1}{4}}$	$90^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{2}}$	$100^{\mathrm {g} }$	$1$	$0$	Undefined
${\dfrac {1}{3}}$	$120^{\circ }$	${\dfrac {2\pi }{3}}$	$133{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{4}}$	$150^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{6}}$	$166{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{2}}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{\mathrm {g} }$	$0$	$-1$	$0$
${\dfrac {7}{12}}$	$210^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{6}}$	$233{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {2}{3}}$	$240^{\circ }$	${\dfrac {4\pi }{3}}$	$266{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{4}}$	$270^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{2}}$	$300^{\mathrm {g} }$	$-1$	$0$	Undefined
${\dfrac {5}{6}}$	$300^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{3}}$	$333{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {7}{8}}$	$315^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{4}}$	$350^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\dfrac {11\pi }{6}}$	$366{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^{\mathrm {g} }$	$0$	$1$	$0$

다른 각도에 대해 결과는 Trigonometric constants expressed in real radicals에서 찾을 수 있습니다. 니벤의 정리(Niven's theorem)에 따르면, $(0,\;30,\;90,\;150,\;180,\;210,\;270,\;330,\;360)$는, 각도에서 취해지는, 첫 번째 바퀴 이내의 해당하는 각도에 대해 유리수 사인-값의 결과를 얻는 유일한 유리수이며, 이것은 예제에서 인기를 설명할 수 있습니다. 단위 라디안에 대해 유사한 조건은 π로 나눈 인수가 유리수이어야 하고, 해 0, π/6, π/2, 5π/6, π, 7π/6, 3π/2, 11π/6(, 2π)를 산출합니다.

Trigonometric functions

각도의 함수 사인(sine), 코사인(cosine) 및 탄젠트(tangent)는 때때로 주요(primary) 또는 기본(basic) 삼각 함수로 지칭됩니다. 그들의 보통 약어는 각각 sin(θ), cos(θ) 및 tan(θ)이며, 여기서 θ는 각도를 나타냅니다. 함수의 인수 주위로 괄호는 만약 해석이 명백하게 가능하다면, 종종 생략됩니다. 즉 sinθ 및 cosθ로 나타냅니다.

각도의 사인은, 직각 삼각형(right triangle)의 문맥에서, 각도에 반대되는 변의 길이를 삼각형의 가장 긴 변 (빗변(hypotenuse))의 길이로 나눈 비율로 정의됩니다.

$\sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}.$

이 문맥에서 각도의 코사인은 각에 인접한 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 비율입니다.

$\cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.$

이 문맥에서 각도의 탄젠트(tangent)는 각도에 반대되는 측면의 길이를 각도에 인접하는 변의 길이로 나눈 비율입니다. 이것은, 위의 사인과 코사인의 정의를 대체함으로써 볼 수 있듯이, 이 각도의 코사인에 대한 사인의 비율(ratio)과 같습니다.

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.$

남아있는 삼각 함수 시컨트 (sec), 코시컨트 (csc), 및 코탄젠트 (cot)는 각각 코사인, 사인, 및 탄젠트의 역수 함수(reciprocal functions)로 정의됩니다. 드물게, 이들은 이차 삼각 함수로 불립니다:

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

이들 정의는 때때로 비율 항등식(ratio identities)으로 참조됩니다.

Inverse functions

Main article: Inverse trigonometric functions

역삼각 함수는 삼각 함수에 대해 부분 역함수(inverse function)입니다. 예를 들어, 역 사인 (sin⁻¹) 또는 아크 사인(arcsine, arcsin 또는 asin)으로 알려진 사인에 대한 역함수는 다음을 만족시킵니다:

$\sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1$

및

$\arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.$

이 기사는 역 삼각 함수에 대해 아래 표기법을 사용합니다:

함수	sin	cos	tan	sec	csc	cot
역	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Pythagorean identities

Main article: Pythagorean trigonometric identity

삼각법에서, 사인과 코사인 사이에 기본 관계는 피타고라스 항등식에 의해 제공됩니다:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

여기서 sin² θ는 (sin(θ))²를 의미하고 cos² θ는 (cos(θ))²을 의미합니다.

이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 버전으로 보일 수 있고, 단위 원(unit circle)에 대해 방정식 x² + y² = 1으로부터 따릅니다. 이 방정식은 사인 또는 코사인에 대해 해결될 수 있습니다:

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

여기서 부호는 θ의 사분면(quadrant)에 따라 다릅니다.

이 항등식을 sin² θ 또는 cos² θ 중 하나로 나누면 다른 두 피티고라스 항등식을 산출합니다:

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta .$

이들 항등식과 함께 비율 항등식을 사용하면, 임의의 삼각 함수를 (양 또는 음의 부호까지(up to)) 임의의 다른 관점에서 표현할 수 있습니다:

다른 다섯의 각각의 관점에서 각각의 삼각 함수.

관점	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	$\csc \theta$	$\sec \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\sec \theta$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\cot \theta$

Historical shorthands

All of the trigonometric functions of an angle θ can be constructed geometrically in terms of a unit circle centered at O. Many of these terms are no longer in common use, however this diagram is not exhaustive.

벌사인(versine), 코벌사인(coversine), 헤벌사인(haversine), 및 엑시컨트(exsecant)는 항해에서 사용되었습니다. 예를 들어, 헤벌사인 공식(haversine formula)은 구 위의 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해 사용되었습니다. 그들은 오늘날 거의 사용되지 않습니다.

이름	약어	값
versed sine, 벌사인	$\operatorname {versin} \theta$ $\operatorname {vers} \theta$ $\operatorname {ver} \theta$	$1-\cos \theta$
versed cosine, 벌코사인	$\operatorname {vercosin} \theta$ $\operatorname {vercos} \theta$ $\operatorname {vcs} \theta$	$1+\cos \theta$
coversed sine, 코벌사인	$\operatorname {coversin} \theta$ $\operatorname {covers} \theta$ $\operatorname {cvs} \theta$	$1-\sin \theta$
coversed cosine, 코벌코사인	$\operatorname {covercosin} \theta$ $\operatorname {covercos} \theta$ $\operatorname {cvc} \theta$	$1+\sin \theta$
half versed sine, 헤벌사인	$\operatorname {haversin} \theta$ $\operatorname {hav} \theta$ $\operatorname {sem} \theta$	${\frac {1-\cos \theta }{2}}$
half versed cosine, 헤벌코사인	$\operatorname {havercosin} \theta$ $\operatorname {havercos} \theta$ $\operatorname {hvc} \theta$	${\frac {1+\cos \theta }{2}}$
half coversed sine, 헤코벌사인 cohaversine	$\operatorname {hacoversin} \theta$ $\operatorname {hacovers} \theta$ $\operatorname {hcv} \theta$	${\frac {1-\sin \theta }{2}}$
half coversed cosine, 헤코벌코사인 cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} \theta$ $\operatorname {hacovercos} \theta$ $\operatorname {hcc} \theta$	${\frac {1+\sin \theta }{2}}$
exterior secant, 엑시컨트	$\operatorname {exsec} \theta$ $\operatorname {exs} \theta$	$\sec \theta -1$
exterior cosecant, 엑코시컨트	$\operatorname {excosec} \theta$ $\operatorname {excsc} \theta$ $\operatorname {exc} \theta$	$\csc \theta -1$
chord(현)	$\operatorname {crd} \theta$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

Reflections, shifts, and periodicity

Reflecting θ in α=0 (α=π)

단위 원을 검사함으로써, 삼각 함수의 다음 속성은 설립될 수 있습니다.

Reflections

유클리드 벡터의 방향이 각도 $\theta$에 의해 표현될 때, 이것은 (원점에서 시작하는) 자유 벡터와 양의 x-단위 벡터에 의해 결정된 각도입니다. 같은 개념이 유클리드 공간에서 직선에 역시 적용될 수 있으며, 여기서 각도는 원점과 양의 x-축을 통과하는 주어진 직선과 평행하게 결정된 것입니다. 만약 방향 $\theta$를 가진 직선 (벡터)이 방향 $\alpha$를 갖는 직선에 대해 반사되면, 이 반사된 직선 (벡터)의 방향 각도 $\theta '$가 다음 값을 가집니다:

$\theta '=2\alpha -\theta .$

특정 각도 $\alpha$에 대해 이들 각도 $\theta ,\;\theta '$의 삼각 함수의 값은 그들이 같거나, 반대 부호를 갖거나, 보완적인 삼각 함수를 사용하는 것 중의 하나의 단순한 항등식을 만족시킵니다. 이들은 감소 공식(reduction formulae)으로 역시 알려져 있습니다.

θ reflected in α = 0 odd/even identities	θ reflected in α = π/4	θ reflected in α = π/2	θ reflected in α = π compare to α = 0
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Shifts and periodicity

삼각 함수의 인수를 특정 각도만큼 이동시킴으로써, 부호를 변경하거나 보완 삼각 함수를 적용하면 특정 결과를 때때로 보다 간단하게 표현할 수 있습니다. 이동의 일부 예제는 아래 테이블에서 보입니다.

• 한 바퀴, 또는 360°, 또는 2π 라디안은 단위 원을 고정된 상태로 유지하고 삼각 함수 sin, cos, sec, 및 csc가 값을 반복하는 최소 구간이고, 따라서 그들의 주기입니다. 한 주기의 임의의 정수 배수에 의해 임의의 주기 함수의 인수를 이동하면 이동되지 않은 인수의 함수 값을 유지합니다.
• 반 바퀴, 또는 180°, 또는 π 라디안은, 이들 정의와 삼각 함수를 정의하는 주기로부터 알 수 있듯이, tan(x) = sin(x)/cos(x)와 cot(x) = cos(x)/sin(x)의 주기입니다. 따라서 tan(x) 및 cot(x)의 인수를 π의 임의의 배수로 이동하면 함수 값은 변하지 않습니다.

주기 2π를 갖는 함수 sin, cos, sec, 및 csc에 대해 반 바퀴는 그들 주기의 절반입니다. 이 이동에 대해 단위 원에서 다시 볼 수 있듯이 그들의 값의 부호를 바꿉니다. 이 새로운 값은 2π의 임의의 추가적인 이동 후에 반복되므로, 모두 함께 그들은 임의의 π의 홀수 배수, 즉 (2k + 1)⋅π에 의해 이동에 대해 부호를 변경하며, 여기서 k는 임의의 정수입니다. 임의의 π의 짝수 배수는 물론 단지 한 주기이고, 주기의 반으로 뒤로 이동하는 것은 한 주기 더하기 주기의 반에 의해 앞으로 이동한 것과 같습니다.

• 반의 반 바퀴, 또는 90°, 또는 π/2 라디안은 주기 π (180°)를 갖는 tan(x)와 cot(x)에 대해 반 주기 이동이고, 이동되지 않은 인수에 보완 함수를 적용하는 것의 함수 값을 산출합니다. 위의 논증에 의해 이것은 반 주기의 임의의 홀수 배수 (2k + 1)⋅π/2에 의한 이동에 대해 역시 유지됩니다.

네 개의 다른 삼각 함수에 대해, 반의 반 회전은 반의 반 주기를 역시 나타냅니다. 반의 반 주기의 임의의 배수, 즉 반 주기에 의해 덮어지지 않는 이동은 주기의 정수 배수, 더하기 또는 빼기 반의 반 주기에서 분해될 수 있습니다. 이들 배수를 나타내는 항은 (4k ± 1)⋅π/2입니다. 반의 반 주기에 의해 앞으로/뒤로 이동은 아래 테이블에 반영되어 있습니다. 다시, 이들 이동은 이동되지 않은 인수에 적용된 각각의 보완 함수를 사용하여 함수 값을 산출합니다.

그들의 반의 반 주기 (π/4)에 의한 tan(x)와 cot(x)의 인수를 이동하면 그러한 간단한 결과를 산출할 수 없습니다.

반의 반 주기에 의한 이동	반 주기에 의한 이동	한 주기에 의한 이동	주기
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Angle sum and difference identities

Illustration of angle addition formulae for the sine and cosine. Emphasized segment is of unit length.

See also: § Product-to-sum and sum-to-product identities, and Small-angle approximation § Angle sum and difference

이들은 각도 더셈 및 뺄셈 정리 (또는 공식)라고 역시 알려져 있습니다. 항등식은 인접한 다이어그램에서 처럼 직각 삼각형을 결합함으로써, 또는 특정 중심 각도가 주어진 단위 원에서 현의 길이의 불변을 고려함으로써 도출될 수 있습니다. 가장 직관적인 유도는 회전 행렬을 사용합니다 (아래를 참조하십시오).

Illustration of the angle addition formula for the tangent. Emphasized segments are of unit length.

그들의 합이 비-둔각인, 예각 α와 β에 대해, 간결한 다이어그램은 사인 및 코사인에 대해 각도 합 공식을 보여줍니다: 레이블된 "1" 굵은 선분은 단위 길이를 가지고 각도 β를 갖는 직각 삼각형의 빗변으로 사용됩니다; 이 각도에 대해 반대쪽 및 인접한 다리는 각각 길이 sin β와 cos β를 가집는다. cos β 다리는 자체로 각도 α를 갖는 직각 삼각형의 빗변입니다; 해당 삼각형의 다리는, 따라서, sin α와 cos α로 주어진 길이에, cos β를 곱한 길이를 가집니다. sin β 다리는 각도 α를 갖는 또 다른 직각 삼각형의 빗변으로서, 마찬가지로 길이 cos α sin β와 sin α sin β의 선분으로 이어집니다. 이제 우리는 "1" 선분이 각도 α + β를 가진 직각 삼각형의 역시 빗변임을 관찰합니다; 이 각도의 반대쪽 다리는 반드시 길이 sin(α + β)을 가지지만, 인접한 다리는 길이 cos(α + β)를 가집니다. 결과적으로, 다이어그램의 바깥-쪽 사각형의 대변이 같기 때문에, 우리는 다음을 추론합니다:

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

이름지은 각도 중 하나를 재배치하면 사인과 코사인에 대해 각도 차이 공식을 시연하는 다이어그램의 변형을 산출합니다. (다이어그램은 직각보다 더 큰 각도와 합을 수용하기 위해 추가 변형을 허용합니다.) 다이어그램의 모든 요소를 cos α cos β로 나누면 탄젠트에 대한 각도 합 공식을 보여주는 또 다른 변형을 제공합니다.

이들 항등식은 예를 들어, 동상과 구적법 성분(in-phase and quadrature components)에서 응용을 가집니다.

Illustration of the angle addition formula for the cotangent. Top right segment is of unit length.

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Cosecant	$\csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
Secant	$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Cotangent	$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Arcsine	$\arcsin x\pm \arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
Arccosine	$\arccos x\pm \arccos y=\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Arctangent	$\arctan x\pm \arctan y=\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Arccotangent	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Matrix form

See also: Matrix multiplication

사인과 코사인에 대해 합과 차이 공식은 각도 α에 의한 평면의 회전, β에 의한 회전에 따른 α+β에 의한 회전과 같다는 사실로부터 따릅니다. 회전 행렬(rotation matrices)의 관점에서:

${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}$

회전에 대해 행렬 역(matrix inverse)은 각도의 음수를 갖는 회전입니다:

$\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{rr}\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\,,$

이것은 행렬 전치(matrix transpose)로 역시 알려져 있습니다.

이들 공식은 이러한 행렬이 평면에서 회전 그룹 (기술적으로 특수 직교 그룹(special orthogonal group) SO(2))의 표시(representation)를 형성함을 보여주는데, 왜냐하면 구성 법칙이 충족되고 역이 존재하기 때문입니다. 게다가, 열 벡터를 갖는 각도 α에 대한 회전 행렬의 행렬 곱셉은 열 벡터를 반-시계 방향으로 각도 α만큼 회전시킵니다.

단위 길이의 복소수(complex number)에 의한 곱셈은 숫자의 편각(argument)에 의해 복소 평면을 회전시키기 때문에, 위의 회전 행렬의 곱셈은 복소수의 곱셈과 동등합니다:

${\begin{array}{rcl}(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )&=&(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=&\cos(\alpha {+}\beta )+i\sin(\alpha {+}\beta ).\end{array}}$

오일러의 공식(Euler's formula)의 관점에서, 이것은 간단히 $e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$라고 말하며, $\theta \ \mapsto \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$가 $\mathrm {SO} (2)$의 일-차원 복소 표시임을 보여줍니다.

Sines and cosines of sums of infinitely many angles

급수 $\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$가 절대적으로 수렴(converges absolutely)할 때,

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.$

급수 $\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$가 절대적으로 수렴하기 때문에, 반드시 $\lim _{i\rightarrow \infty }\theta _{i}=0$, $\lim _{i\rightarrow \infty }\sin \,\theta _{i}=0$, 및 $\lim _{i\rightarrow \infty }\cos \theta _{i}=1$인 경우입니다. 특히, 이들 두 항등식에서, 유한하게 많은 각도의 합의 경우에서 볼 수 없는 비대칭성이 나타납니다: 이들 곱에서, 오직 유한하게 많은 사인 인수가 있지만 여-유한(cofinite)하게 많은 코사인 인수가 있습니다. 무한하게 많은 사인 인수를 갖는 항은 반드시 영과 같아야 합니다.

오직 유한하게 많은 각도 θ_i가 비-영일 때, 오른쪽 변에서 오직 유한하게 많은 항이 비-영인데 왜냐하면 유한하게 많은 것을 제외하고 사인 인수가 사라지기 때문입니다. 게다가, 각 항에서 유한하게 많은 것을 제외하고 코사인 인수가 단위입니다.

Tangents and cotangents of sums

e_k (k = 0, 1, 2, 3, ...에 대해)를 변수에서 (i = 0, 1, 2, 3, ...에 대해) k번째-차수 기본 대칭 다항식(elementary symmetric polynomial)으로 놓습니다:

$x_{i}=\tan \theta _{i}$

즉,

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

그런-다음 위의 사인과 코사인 합 공식을 사용하여,

${\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$.

오른쪽의 항의 숫자는 왼쪽의 항의 숫자에 따라 다릅니다.

예를 들어:

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

기타 등등. 오직 유한하게 많은 항의 경우는 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 증명될 수 있습니다.

Secants and cosecants of sums

${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

여기서 e_k는 n 변수 x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n에서 k번째-차수 기본 대칭 다항식(elementary symmetric polynomial)이고, 분모에서 항의 숫자와 분자에서 곱에서 인수의 숫자는 왼쪽 변에 합에서 항의 숫자에 따라 다릅니다. 오직 유한하게 많은 항의 경우는 그러한 항의 수에 대한 수학적 귀납법에 의해 증명될 수 있습니다.

예를 들어,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

Multiple-angle formulae

Tn is the nth Chebyshev polynomial	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$
de Moivre's formula, i is the imaginary unit	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

Double-angle, triple-angle, and half-angle formulae

Double-angle formulae

두 배 각도에 대해 공식.

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$

$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}$

$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}$

Triple-angle formulae

세 배 각도에 대해 공식.

$\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$

$\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$

$\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

Half-angle formulae

${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\&\qquad {\text{where }}\operatorname {sgn} x=\pm 1{\text{ according to whether }}x{\text{ is positive or negative.}}\end{aligned}}$

$\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

$\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

$\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$

${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}$

$\cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}$

역시

$\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}$

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta$

${\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}$

Table

See also: Tangent half-angle formula

이것들은 합과 차이 항등식 또는 배수-각도 공식을 사용함으로써 표시될 수 있습니다.

	사인	코사인	탄젠트	코탄젠트
두배-각 공식	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
세배-각 공식	${\begin{aligned}\sin(3\theta )\!&=\!-\sin ^{3}\theta \!+\!3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )\!&=\!\cos ^{3}\theta \!-\!3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )\!=\!{\frac {3\cot \theta \!-\!\cot ^{3}\theta }{1\!-\!3\cot ^{2}\theta }}$
절반-각 공식	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} (A)\,{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or}}\,\,\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} (B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}\!&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left(\!{\frac {\theta }{2}}\!+\!{\frac {\pi }{4}}\!\right)\!&=\!\sec \theta \!+\!\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}\\[8pt]\tan {\frac {\theta }{2}}\!&=\!{\frac {\tan \theta }{1\!+\!{\sqrt {1\!+\!\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1\!+\!\cos \theta }{1\!-\!\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1\!-\!\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1\!+\!\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

사인과 코사인에 대한 세배-각도 공식은 단일 함수의 거듭제곱을 오직 포함한다는 사실은 각도 삼등분(angle trisection)의 나침반과 직직선 구성(compass and straightedge construction)의 기하학적 문제를 삼차 방정식(cubic equation)을 푸는 대수적 문제와 관련시킬 수 있으며, 이것은 삼등분이 필드 이론(field theory)에 의해 주어진 도구를 사용하여 일반적으로 불가능한 것을 입증하는 것을 허용합니다.

삼분의-일 각도에 대한 삼각 항등식을 계산하는 공식이 존재하지만, 삼차 방정식(cubic equation) 4x³ − 3x + d = 0의 영들을 찾아야 하는 것이 요구되며, 여기서 x는 삼분의-일 각도에서 코사인 함수의 값이고 d는 전체 각도에서 코사인 함수의 알려진 값입니다. 어쨌든, 이 방정식의 판별식(discriminant)은 양수이므로, 이 방정식은 세 실수 근을 가집니다 (그것의 오직 하나가 삼분의-일 각도의 코사인에 대해 해입니다). 이들 해 중 어느 것도 실수 대수적 표현으로 비-기약일 수 없는데, 왜냐하면 그들은 세제곱 근(cube root) 아래에서 중간 복소수를 사용하기 때문입니다.

Sine, cosine, and tangent of multiple angles

특정 배수에 대해, 이들은 각도 덧셈 공식으로부터 따르지만, 일반적인 공식은 16-세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)에 의해 제공되었습니다.

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta ,\\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \,,\end{aligned}}$

이것은 k에서 n까지의 비-음 값에 대한 것입니다.

이들 두 방정식의 각각에서, 첫 번째 괄호로 묶은 항은 이항 계수(binomial coefficient)이고, 최종 삼각 함수는 각 합에서 엔트리의 절반이 제거되도록 일 또는 음의 일 또는 영과 같습니다. 이들 공식의 비율은 다음을 제공합니다:

$\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\,.$

Chebyshev method

체비쇼프(Chebyshev) 방법은 (n − 1)번째 및 (n − 2)번째 값을 아는 n번째 배수 각도 공식을 찾기 위한 재귀 알고리듬입니다.

cos(nx)는 다음과 함께 cos((n − 1)x), cos((n − 2)x), 및 cos(x)로부터 계산될 수 있습니다:

cos(nx) = 2 · cos x · cos((n − 1)x) − cos((n − 2)x).

이것은 다음 공식을 함께 더함으로써 입증될 수 있습니다:

cos((n − 1)x + x) = cos((n − 1)x) cos x − sin((n − 1)x) sin x

cos((n − 1)x − x) = cos((n − 1)x) cos x + sin((n − 1)x) sin x.

그것은 cos(nx)가 cos x의 다항식, 소위 첫 번째 종류의 체비쇼프 다항식이라는 귀납법에 의해 따릅니다. 체비쇼프 다항식의 삼각 정의를 참조하십시오.

비슷하게, sin(nx)는 다음과 함께 sin((n − 1)x), sin((n − 2)x), 및 cos(x)로부터 계산될 수 있습니다:

sin(nx) = 2 · cos x · sin((n − 1)x) − sin((n − 2)x).

이것은 sin((n − 1)x + x) 및 sin((n − 1)x − x)에 대해 공식을 더함으로써 입증될 수 있습니다.

체비쇼프 방법의 목적과 유사한 것을 제공하는, 탄젠트에 대해 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$

Tangent of an average

$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}$

α 또는 β 중 하나를 0으로 설정하면 일반적인 탄젠트 절반-각 공식을 제공합니다.

Viète's infinite product

$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$

(싱크 함수(sinc function)를 참조합니다.)

Power-reduction formulae

코사인 두배-각도 공식의 두 번째 및 세 번째 버전을 풀어서 얻을 수 있습니다.

사인	코사인	다른 것
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

그리고 sin θ 또는 cos θ의 거듭-제곱의 일반적인 관점에서, 다음은 참이고, 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula), 오일러의 공식(Euler's formula) 및 이항 정리(binomial theorem)를 사용하여 추론될 수 있습니다.

	코사인	사인
${\text{if }}n{\text{ is odd}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
${\text{if }}n{\text{ is even}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Product-to-sum and sum-to-product identities

곱을-합으로 항등식 또는 prosthaphaeresis 공식은 각도 이론 정리(angle addition theorems)를 사용하여 오른쪽 변을 전개함으로써 입증될 수 있습니다. 곱을-합으로 공식의 적용에 대해 진폭 변조(amplitude modulation) 및 합을-곱으로 공식의 적용에 대해 비트 (음향) 및 위상 검출기(phase detector)를 참조하십시오.

곱을-합으로 공식
$2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}$
$2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}$
$\tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$

합을 곱으로 공식
$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$

Other related identities

• $\sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x.$
• 만약 x + y + z = π (절반 원)이면,

  $\sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin x\sin y\sin z.$

• 삼중 탄젠트 항등식(Triple tangent identity): 만약 x + y + z = π (절반 원)이면,

  $\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z.$

특히, 공식은 x, y, 및 z가 임의의 삼각형의 세 각도일 때 유지됩니다.

(만약 x, y, z 중 하나가 직각이면, 양쪽 변을 ∞가 되게 취해져야 합니다. 이것은 +∞도 아니고 −∞도 아닙니다; 현재 목적에 대해, 단지 무한대에 한 점을 실수 직선(real line)에 더하는 것이 합리적인데, 즉, tan θ가 양수 값을 통해 증가 또는 음수 값을 통해 감소할 때 tan θ에 접근합니다. 이것은 실수 직선의 한-점 압축(one-point compactification)입니다.)

• 삼중 코탄젠트 항등식(Triple cotangent identity): 만약 x + y + z = π/2 (직각 또는 반의 반원)이면,

  $\cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z.$

Hermite's cotangent identity

Main article: Hermite's cotangent identity

샤를 에르미트(Charles Hermite)는 다음 항등식을 시연했습니다. a₁, ..., a_n가 복소수(complex number)이고 그것의 둘이  π의 정수 배수로 다르지 않다고 가정합니다. 다음을 놓습니다:

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(특히, 빈 곱(empty product)인, A_1,1는 1입니다). 그런-다음

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

가장-간단한 비-자명한 예제는 경우 n = 2입니다:

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$

Ptolemy's theorem

Main article: Ptolemy's theorem

프톨레마이오스의 정리는 다음과 같이 현대 삼각법의 언어로 표현될 수 있습니다:

만약 w + x + y + z = π이면,:

${\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(z+w)\sin(w+x)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin w\sin y+\sin x\sin z.&{\text{(significant)}}\end{aligned}}$

(첫 번째 세 상등은 자명한 재배치입니다; 네 번째는 이 항등식의 실체입니다.)

Finite products of trigonometric functions

서로소(coprime) 정수 n, m에 대해

$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$

여기서 T_n는 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial)입니다.

다음 관계는 사인 함수에 대해 유지됩니다:

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

보다 일반적으로

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).$

Linear combinations

일부 목적에 대해, 같은 주기 또는 주파수이지만 다른 위상 이동의 사인파의 임의의 선형 조합은 역시 같은 주기 또는 주파수이지만, 다른 위상 이동(phase shifts)을 갖는 사인파라는 것을 아는 것이 중요합니다. 이는 정현파(sinusoid) 데이터 피팅(data fitting)에 유용한데, 왜냐하면 측정된 또는 관측된 데이터가 아래의 위상과 사분면 성분 기저의 a와 b 미지수와 선형적으로 관련되어 있으며, c와 φ의 그것에 비해 더 단순한 야코비(Jacobian)를 초래하기 때문입니다.

Sine and cosine

사인파와 코사인파의 선형 조합, 또는 고조파 덧셈은 위상 이동과 스케일된 진폭을 갖는 단일 사인파와 동등합니다,

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

여기서 c와 φ는 따라서 다음으로 정의됩니다:

$c=\operatorname {sgn} (a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

$\varphi =\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right).$

Arbitrary phase shift

보다 일반적으로, 임의의 위상 이동에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$

여기서 c와 φ는 다음을 만족시킵니다:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),$

$\tan \varphi ={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.$

More than two sinusoids

일반적인 경우는 다음과 같습니다

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$

여기서

$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$

및

$\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

역시 페이저 덧셈(Phasor addition)을 참조하십시오.

Lagrange's trigonometric identities

이들 항등식은, 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 이름을 따서 지어졌으며, 다음입니다:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {\cos \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\\[5pt]\sum _{n=1}^{N}\cos(n\theta )&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\end{aligned}}$

관련된 함수는 디리클레 커널(Dirichlet kernel)이라고 불리는 x의 다음 함수입니다.

$1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.$

증명(proof)을 참조하십시오.

Other sums of trigonometric functions

산술 진행에서 인수를 갖는 사인과 코사인의 합: 만약 α ≠ 0이면,

${\begin{aligned}&\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}\quad {\text{and}}\\[10pt]&\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$

$\sec x\pm \tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).$

위의 항등식은 구데르만 함수(Gudermannian function)를 생각할 때 복소수(complex number)에 의존없이 원형(circular)과 쌍곡형(hyperbolic) 삼각 함수와 관련이 있을 때 때때로 알기 위해 편리합니다.

만약 x, y, 및 z가 임의의 삼각형의 세 각도이면, 즉, 만약 x + y + z = π이면,

$\cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1.$

Certain linear fractional transformations

만약 f(x)가 선형 분수 변환(linear fractional transformation)에 의해 주어지면,

$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$

및 비슷하게 다음이면,

$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$

다음입니다:

$f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

더 간결하게 말하면, 만약 모든 α에 대해 우리가 f_α를 우리가 위에서 f라고 부르는 것으로 놓으면,

$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$

만약 x는 직선의 기울기이면, f(x)는 −α의 각도를 통한 회전의 기울기입니다.

Inverse trigonometric functions

${\begin{aligned}\arcsin x+\arccos x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\operatorname {arccot} x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}$

$\arctan {\frac {1}{x}}=\arctan {\frac {1}{x+y}}+\arctan {\frac {y}{x^{2}+xy+1}}$

Compositions of trig and inverse trig functions

${\begin{aligned}\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cot(\arcsin x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cot(\arccos x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}$

Relation to the complex exponential function

i² = −1를 만족시키는 단위 허수(unit imaginary number) i와 함께,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (오일러의 항등식(Euler's formula)),

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x$

$e^{i\pi }+1=0$ (Euler's identity),

$e^{2\pi i}=1$

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\,.$

이들 공식은 많은 다른 삼각 항등식을 증명하는 데 유용합니다. 예를 들어, 해당 e^i(θ+φ) = e^iθ e^iφ는 다음임을 의미합니다:

cos(θ+φ) + i sin(θ+φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ).

왼쪽 변의 실수 부분이 오른쪽 변의 실수 부분과 같다는 것은 코사인에 대한 각도 덧셈 공식입니다. 허수 부분의 상등은 사인에 대한 각도 덧셈 공식을 제공합니다.

Infinite product formulae

특수 함수(special functions)에 적용에 대해, 삼각 함수에 대해 다음 무한 곱(infinite product) 공식이 유용합니다:

${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\end{aligned}}\ \,{\begin{aligned}\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Identities without variables

아크탄젠트(arctangent)의 관점에서 우리는 다음을 가집니다:

$\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

모리의 법칙(Morrie's law)으로 알려진 호기심을 끄는 항등식은,

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$

하나의 변수를 포함하는 항등식의 특수 경우입니다:

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}.$

라디안에서 같은 코사인 항등식은 다음입니다:

$\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.$

비슷하게,

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$

경우 x = 20을 갖는 항등식의 특수 경우입니다:

$\sin x\cdot \sin(60^{\circ }-x)\cdot \sin(60^{\circ }+x)={\frac {\sin 3x}{4}}.$

경우 x = 15에 대해,

$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},$

$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

경우 x = 10에 대해,

$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

같은 코사인 항등식은 다음입니다:

$\cos x\cdot \cos(60^{\circ }-x)\cdot \cos(60^{\circ }+x)={\frac {\cos 3x}{4}}.$

비슷하게,

$\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},$

$\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},$

$\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

비슷하게,

$\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ },$

$\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }=\tan 10^{\circ }.$

다음은 변수를 포함하는 항등식으로 쉽게 일반화되지는 않습니다 (그러나 아래 설명을 참조하십시오):

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

우리가 분모에서 21을 갖는 이 정체성을 고려할 때, 각도 측정은 라디안 측정보다 더 잔인하지 않습니다:

${\begin{aligned}&\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

인수 1, 2, 4, 5, 8, 10은 패턴을 명확하게 만들기 시작할 수 있습니다: 그들은 21과 상대적으로 소수(relatively prime)인 (또는 21과 공통으로 소수 인수(prime factor)를 갖지 않는) 21/2보다 작은 정수입니다. 마지막 여러 예제는 기약 원분 다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본 사실의 따름정리입니다: 코사인은 그들 다항식의 영들의 실수 부분입니다; 영들의 합은 (위의 가장 마지막 경우에서) 21에서 평가된 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다; 오직 영들의 절반이 위에 존재합니다. 이 마지막 것보다 이전 두 가지 정체성은 각각 21을 10과 15로 대체된 같은 방식으로 발생합니다.

다른 코사인 항등식은 다음을 포함합니다:

$2\cos {\frac {\pi }{3}}=1,$

$2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}=1,$

$2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}=1,$

그리고 모든 홀수에 대해서도 마찬가지이고, 따라서

$\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$

그들의 호기심을 끄는 항등식의 많은 것은 다음과 같은 보다 일반적인 사실에서 비롯됩니다:

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$

및

$\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}$

이들을 결합하면 다음을 제공합니다:

$\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$

만약 n는 홀수 (n = 2m + 1)이면, 우리는 다음을 얻기 위해 대칭의 사용을 만들 수 있습니다:

$\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$

버터워스 저역 통과 필터(Butterworth low pass filter)의 전달 함수는 다항식과 극점의 관점에서 표현될 수 있습니다. 주파수를 차단 주파수로 설정함으로써, 다음 항등식은 입증될 수 있습니다:

$\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$

Computing π

π를 계산하는 효율적인 방법은 매친(Machin)으로 인해 변수없이 다음 항등식을 기반으로합니다:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

또는, 대안적으로, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 항등식을 사용함으로써:

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

또는 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple)을 사용함으로써:

$\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$

다른 것은 다음을 포함합니다:

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}};$

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

일반적으로, 숫자 t₁, ..., t_n−1 ∈ (−1, 1)에 대해 이것 θ_n = ∑ⁿ⁻¹
_k=1 arctan t_k ∈ (π/4, 3π/4)에 대해, t_n = tan(π/2 − θ_n) = cot θ_n으로 놓습니다. 이 마지막 표현은 그의 접선이 t₁, ..., t_n−1이고 그것의 값이 (−1, 1) 안에 있는 각도의 합의 코탄젠트에 대한 공식을 사용하여 직접 계산될 수 있습니다. 특히, 계산된 t_n은 모든 t₁, ..., t_n−1 값이 유리수일 때마다 유리수일 것입니다. 이들 값과 함께,

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sign} (t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$

여기서 첫 번째 표현을 제외하고, 우리는 탄젠트 절반-각 공식을 사용했습니다. 처음 두 공식은 만약 하나 이상의 t_k 값이 (−1, 1) 이내에 있지 않아도 작동합니다. t = p/q가 유리수일 때, 위의 공식에서 (2t, 1 − t², 1 + t²) 값은 피타고라스의 트리플 (2pq, q² − p², q² + p²)에 비례함에 주목하십시오.

예를 들어, n = 3 항에 대해, 임의의 a, b, c, d > 0에 대해,

${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$.

A useful mnemonic for certain values of sines and cosines

확실히 간단한 각도에 대해, 사인과 코사인은 0 ≤ n ≤ 4에 대해 형식 √n/2을 취하며, 이것은 그들을 기억하기 쉽게 만듭니다.

${\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}$

Miscellany

황금 비율(golden ratio) φ과 함께:

$\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}$

역시 실수 제곱근에서 푯현된 삼각 상수를 참조하십시오.

An identity of Euclid

유클리드(Euclid)는 책 XIII, 그의 원론(Elements)의 제안 10에서, 원에 내접된 정오각형의 변에 있는 정사각형의 넓이가 같은 원에 내접된 정육각형과 정십각형의 변에 있는 정사각형의 넓이의 합과 같다는 것을 보였습니다. 같은 원 안에 새겨 져 있습니다. 현대 삼각법의 언어에서, 이것은 다음임을 말합니다:

$\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$

프톨레마이오스(Ptolemy)는 이 명제를 현의 그의 테이블에서 일부 각도를 계산했습니다.

Composition of trigonometric functions

이 항등식은 삼각 함수의 삼각 함수를 포함합니다:

$\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}$

$\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}$

여기서 J_i는 베셀 함수(Bessel function)입니다.

Calculus

미적분학(calculus)에서, 아래 언급된 관계는 라디안(radian)에서 측정된 각도를 요구합니다; 관계는 만약 각도가 도와 같은 또 다른 단위로 측정되면 더 복잡해집니다. 만약 삼각 함수가 호 길이(arc length)와 넓이(area)의 정의와 함께 기하학의 관점에서 정의되면, 그들의 도함수는 두 극한을 확인함으로써 구할 수 있습니다. 첫 번째는 다음입니다:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$

이것은 단위 원(unit circle)과 조임 정리(squeeze theorem)를 사용하여 확인됩니다. 두 번째는 다음입니다:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,$

이것은 항등식 tan x/2 = 1 − cos x/sin x을 사용하여 확인됩니다. 이들 두 극한을 설립하면, 우리는 도함수의 정의와 덧셈 정리를 (sin x)′ = cos x 및 (cos x)′ = −sin x임을 보이기 위해 사용할 수 있습니다. 만약 사인 함수와 코사인 함수가 테일러 급수(Taylor series)에 의해 정의되면, 도함수는 항별로 거듭제곱 급수를 미분함으로써 구할 수 있습니다.

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

그 외의 삼각 함수는 위의 항등식과 미분화(differentiation)의 규칙을 사용하여 미분될 수 있습니다:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

적분 항등식은 삼각 함수의 적분의 목록에서 찾을 수 있습니다. 일부 일반적인 형식은 아래에 목록화됩니다.

$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C$

Implications

삼각 함수 (사인 및 코사인)의 미분화가 같은 두 함수의 선형 조합(linear combination)을 초래한다는 사실은 미분 방정식(differential equation) 및 푸리에 변환(Fourier transform)을 포함하여 많은 수학 분야에서 근본적으로 중요합니다.

Some differential equations satisfied by the sine function

i = √−1를 허수 단위로 놓고 ∘가 미분 연산자의 합성을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 모든 홀수 양의 정수 n에 대해,

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}&\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\&\qquad \cdots \circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}$

(k = 0일 때, 합성되는 미분 연산자의 숫자는 0이므로, 위의 합에서 해당하는 항은 (sin x)ⁿ입니다.) 이 항등식은 의료 이미징(medical imaging)에서 연구의 부산물로 발견되었습니다.

Exponential definitions

See also: hyperbolic functions and inverse hyperbolic functions

Function	Inverse function
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Further "conditional" identities for the case α + β + γ = 180°

다음 공식은, 공식에서 발생하는 함수가 잘 정의되어 있는 한, 임의의 평면 삼각형에 적용되고 α + β + γ = 180°로부터 따릅니다 (후자는 탄젠트 및 코탄젠트가 발생하는 공식에 오직 적용됩니다).

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,$

$\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,$

$-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\sin(2\beta )\sin(2\gamma )$

$-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1$

$\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1$

Miscellaneous

Dirichlet kernel

Main article: Dirichlet kernel

디리클레 커널(Dirichlet kernel) D_n(x)는 다음 항등식의 양쪽 변에 발생하는 함수입니다:

$1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.$

디리클레 커널을 갖는 주기 2π의 적분-가능 함수(integrable function)의 합성곱(convolution)은 함수의 n번째-차수 푸리에 근사와 일치합니다. 같은 것은 임의의 측정(measure) 또는 일반화된 함수(generalized function)에 대해 유지됩니다.

Tangent half-angle substitution

Main article: Tangent half-angle substitution

만약 우리가 다음을 놓으면,

$t=\tan {\frac {x}{2}},$

다음입니다:

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}$

여기서 e^ix = cos x + i sin x이며, 때때로 cis x으로 축약됩니다.

tan x/2에 대해 t의 이 치환이 미적분(calculus)에서 사용될 때, sin x가 2t/1 + t²로, cos x가 1 − t²/1 + t²로 대체되고, 미분 dx는 2 dt/1 + t²로 대체됨을 따릅니다. 그것에 따라서 우리는 sin x와 cos x의 유리 함수를 그들의 역도함수(antiderivative)를 찾기 위해 t의 유리 함수로 변환할 수 있습니다.

See also

• Derivatives of trigonometric functions
• Exact trigonometric constants (values of sine and cosine expressed in surds)
• Exsecant
• Half-side formula
• Hyperbolic function
• Laws for solution of triangles:
  • Law of cosines
    • Spherical law of cosines
  • Law of sines
  • Law of tangents
  • Law of cotangents
  • Mollweide's formula
• List of integrals of trigonometric functions
• Pentagramma mirificum
• Proofs of trigonometric identities
• Prosthaphaeresis
• Pythagorean theorem
• Tangent half-angle formula
• Trigonometry
• Trigonometric constants expressed in real radicals
• Uses of trigonometry
• Versine and haversine
• Mnemonics in trigonometry

References

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Nielsen, Kaj L. (1966), Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 61-9103
• Selby, Samuel M., ed. (1970), Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

External links

• Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5+5/8°, and for the same angles csc and sec and tan