Linear approximation

수학(mathematics)에서, 선형 근사(linear approximation)는 선형 함수(linear function) (보다 정확하게, 아핀 함수(affine function))를 사용하여 일반적인 함수(function)의 근사입니다. 그것들은 방정식에 대한 해를 풀거나 근사하기 위한 일차 방법을 생산하기 위해 유한 차이(finite differences)의 방법에 널리 사용됩니다.

Definition

하나의 실수(real) 변수의 두 번 연속적으로 미분-가능 함수 $f$ 가 주어지면, 경우 $n=1$ 에 대해 테일러의 정리(Taylor's theorem)는 다음임을 말합니다:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\

여기서 $R_{2}$ 는 나머지 항입니다. 선형 근사는 나머지를 버림으로써 얻습니다:

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

.

이것은 $x$ 가 $a$ 에 충분히 가까울 때 좋은 근사치입니다; 곡선이, 면밀히 관찰하면, 직선과 비슷해지기 시작할 것이기 때문입니다. 그러므로, 오른쪽 변의 표현은 단지 $(a,f(a))$ 에서 $f$ 의 그래프에 대한 접선(tangent line)에 대해 방정식입니다. 이러한 이유로, 이 과정은 역시 접선 선형 근사(tangent line approximation)라고 불립니다.

만약 $f$ 가 $x$ 와 $a$ 사이의 구간에서 아래로 오목(concave down)이면, 근사는 과대-추정일 것입니다 (왜냐하면 도함수가 해당 구간에서 감소하기 때문입니다). 만약 $f$ 가 위로 오목(concave up)이면, 근사는 과소-추정일 것입니다.^[1]

벡터 변수의 벡터(vector) 함수에 대해 선형 근사는 같은 방법에서 얻어지며, 여기서 점에서 도함수가 야코비(Jacobian) 행렬로 대체됩니다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 미분-가능 함수 $f(x,y)$ 가 주어지면, 우리는 다음 공식에 의해 $(x,y)$ 에 대해 $(a,b)$ 에 가까워지는 $f(x,y)$ 를 근사화할 수 있습니다:

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

오른쪽 변은 $(a,b)$ 에서 $z=f(x,y)$ 의 그래프에 접하는 평면의 방정식입니다.

바나흐 공간(Banach space)의 보다 일반적인 경우에서, 우리는 다음을 가집니다:

f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)

여기서 $Df(a)$ 는 $a$ 에서 $f$ 의 프레셰 도함수(Fréchet derivative)입니다.

Applications

Optics

가우스 광학(Gaussian optics)은 시스템의 광학 축(optical axis)과 작은 각도를 만드는 오직 반직선이 고려되는 평행축 근사(paraxial approximation)를 사용함으로써 광학 시스템에서 반직선의 행동을 설명하는 기하학적 광학(geometrical optics)에서 기술입니다.^[2] 이 근사에서, 삼각 함수는 각도의 선형 함수로 표현될 수 있습니다. 가우스 광학은 모든 광학 표면이 평평하거나 구(sphere)의 일부인 시스템에 적용됩니다. 이 경우에서, 간단한 명시적 공식이 구성 요소의 기하학적 모양과 재료적 속성의 관점에서 초점 거리, 배율 및 밝기와 같은 이미징 시스템의 매개변수에 대해 제공될 수 있습니다.

Period of oscillation

단순 중력 진자(simple gravity pendulum)의 진동의 주기는 길이(length), 지역적 중력의 강도(strength of gravity), 및 진자가 수직에서 멀어지는, 진폭(amplitude)이라고 불리는, 최대 각도(angle) θ₀에 대한 작은 정도에 따라 달라집니다.^[3] 그것은 밥(bob)의 질량(mass)과 무관합니다. 단순 진자의 실제 주기 T, 이상적인 단순 중력 진자의 완전한 주기에 걸리는 시간은 여러 다른 형식으로 쓸 수 있으며 (진자(pendulum) 참조), 한 가지 예제는 무한 급수(infinite series)입니다:^[4]^[5]

T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)

여기서 L은 진자의 길이이고 g는 지역적 중력의 가속도(acceleration of gravity)입니다.

어쨌든, 만약 우리가 선형 근사를 취하면 (즉, 만약 진폭이 작은 진동으로 제한되면^{[Note 1]}), 주기(period)는 다음입니다:^[6]

T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1\qquad (1)\,

선형 근사에서, 진동의 주기는 다른 크기 진동에 대해 근사적으로 같습니다: 즉, 주기는 진폭과 독립입니다. 등시성(isochronism)이라고 불리는 이 속성은 진자가 시간 측정에 매우 유용한 이유입니다.^[7] 진자의 연속적인 진동은, 심지어 진폭이 변하더라도, 같은 시간의 총양이 걸립니다.

Electrical resistivity

대부분의 재료의 전기 저항률은 온도에 따라 변합니다: 만약 온도 T가 너무 많이 변하지 않으면, 선형 근사가 전형적으로 사용됩니다:

\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]

여기서 $\alpha$ 는 저항률의 온도 계수라고 불리고, $T_{0}$ 는 고정된 기준 온도 (보통 방 온도)이고, $\rho _{0}$ 는 온도 $T_{0}$ 에서 저항률입니다. 매개변수 $\alpha$ 는 측정 데이터에서 맞추어진 경험적 매개변수입니다. 선형 근사는 오직 근사이기 때문에, $\alpha$ 는 기준 온도에 따라 다릅니다. 이러한 이유로, $\alpha$ 가 $\alpha _{15}$ 와 같은 접미사와 함께 측정되었던 온도를 지정하는 것이 보통이고, 관계는 오직 기준 주변의 온도의 범위에서 유지됩니다.^[8] 온도가 큰 온도 범위에서 변할 때, 선형 근사는 부적절하고 따라서 보다 자세한 분석과 이해가 사용되어야 합니다.

Notes

^ A "small" swing is one in which the angle θ is small enough that sin(θ) can be approximated by θ when θ is measured in radians

References

^ "12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation". Retrieved 3 June 2012.
^ Lipson, A.; Lipson, S. G.; Lipson, H. (2010). Optical Physics (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
^ Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. MacMillan. pp. 188–194. OCLC 1744137.
^ Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). "The pendulum – Rich physics from a simple system" (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. Retrieved 2008-10-29.
^ "Clock". Encyclopædia Britannica, 11th Ed. Vol. 6. The Encyclopædia Britannica Publishing Co. 1910. p. 538. Retrieved 2009-03-04. includes a derivation
^ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. p. 381. ISBN 0-471-14854-7.
^ Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. New York: Hutchinson's. p. 162. ISBN 1-4067-6879-0.
^ Ward, M. R. (1971). Electrical Engineering Science. McGraw-Hill. pp. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.