List of mathematical series

Original article: w:List of mathematical series

See also: Series (mathematics) § Examples of numerical series, and Summation

이것 수학적 급수의 목록은 유한과 무한 합에 대해 공식을 포함합니다. 그것은 합을 평가하기 위해 다른 도구와 결합하여 사용할 수 있습니다.

• 여기서, $0^{0}$은 값 $1$을 가지는 것으로 취합니다.
• $B_{n}(x)$은 베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)입니다.
• $B_{n}$은 베르누이 숫자(Bernoulli number)이고, 여기서, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$입니다.
• $E_{n}$은 오일러 숫자(Euler number)입니다.
• $\zeta (s)$는 리만 제타 함수(Riemann zeta function)입니다.
• $\Gamma (z)$는 감마 함수(gamma function)입니다.
• $\psi _{n}(z)$는 폴리감마 함수(polygamma function)입니다.
• $\operatorname {Li} _{s}(z)$는 다중로그(polylogarithm)입니다.
• $n \choose k$는 이항 계수(binomial coefficient)입니다.
• $\exp(x)$는 $x$의 지수(exponential)입니다.

Sums of powers

파울하버의 공식(Faulhaber’s formula)를 참조하십시오.

• $\sum _{k=0}^{m}k^{n-1}={\frac {B_{n}(m+1)-B_{n}}{n}}$

처음 몇 개의 값은 다음입니다:

• $\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$
• $\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {m}{6}}$
• $\sum _{k=1}^{m}k^{3}=\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3}}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}$

제타 상수(zeta constants)를 참조하십시오.

• $\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

처음 몇 개의 값은 다음입니다:

• $\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (바젤 문제)
• $\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

Power series

Low-order polylogarithms

유한 합:

• $\sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{m}-z^{n+1}}{1-z}}$, (기하 급수)
• $\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$
• $\sum _{k=1}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}-1={\frac {z-z^{n+1}}{1-z}}$
• $\sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$

무한 합, $|z|<1$에 대해 유효합니다 (다중로그를 참조하십시오):

• $\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$

다음은 닫힌-형식(closed form)에서 재귀적으로 낮은-정수-차수 다중로그를 계산하기 위해 유용한 속성입니다:

• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}$
• $\operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)$
• $\operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}$
• $\operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$
• $\operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$
• $\operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}$
• $\operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}$

Exponential function

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}$ (비고. 푸아송 분포의 평균)
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}$ (비고. 푸아송 분포의 두 번째 모멘트)
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)$

여기서 $T_{n}(z)$는 투샤르 다항식(Touchard polynomials)입니다.

Trigonometric, inverse trigonometric, hyperbolic, and inverse hyperbolic functions relationship

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\cot z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\coth z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z$ (벌사인)
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z$ (haversine)
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\arcsin z,|z|\leq 1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsinh} {z},|z|\leq 1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan z,|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctanh} z,|z|<1$
• $\ln 2+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1$

Modified-factorial denominators

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leq 1$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leq 1$

Binomial coefficients

• $(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1$ (이항 정리를 참조하십시오)
• $\sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}$, 카탈란 숫자의 생성하는 함수
• $\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}$, 중앙 이항 계수의 생성하는 함수
• $\sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}$

Harmonic numbers

(조화 숫자(harmonic numbers)를 참조하십시오, 그들 자신은 ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$로 정의됩니다)

• $\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1$
• $\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$

Binomial coefficients

• $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
• $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,{\text{ where }}n>0$
• $\sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}$
• $\sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}$ (중복집합(Multiset)을 참조하십시오)
• $\sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n}$ (방데르몽드 항등식을 참조하십시오)

Trigonometric functions

사인과 코사인의 합은 푸리에 급수에서 발생합니다.

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sin(k\theta )={\frac {\theta }{2}},-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta )=-\ln(2\sin {\frac {\theta }{2}}),0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\cos(k\theta )={\frac {1}{2}}\ln(2+2\cos \theta )=\ln(2\cos {\frac {\theta }{2}}),0\leq \theta <\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {1}{2}}\ln(\cot {\frac {\theta }{2}}),0<\theta <\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi$,
• $B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1$
• $\sum _{k=0}^{n}\sin(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
• $\sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi k}{n}}=\cot {\frac {\pi }{2n}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi k}{n}}=0$
• $\sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}$

Rational functions

• $\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}$
• $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1}{8a^{4}}}+{\dfrac {\pi (\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}}$
• $n$의 임의의 유리 함수(rational function)의 무한 급수는 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)의 사용에 의해 폴리감마 함수(polygamma function)의 유한 급수로 줄어들 수 있습니다. 이 사실은 역시 유리 함수의 유한 급수에 적용될 수 있으며, 심지어 급수가 많은 항을 포함할 때에도 결과를 상수 시간(constant time)에서 계산되는 것을 허용합니다.

Exponential function

• $\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)$ (란츠베르크–샤어 관계를 참조하십시오)
• $\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$

See also

• Series (mathematics)
• List of integrals
• Summation § Identities
• Taylor series
• Binomial theorem
• Gregory's series
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

References

• Many books with a list of integrals also have a list of series.