Local boundedness

Original article: w:Local boundedness

수학(mathematics)에서, 함수(function)는 만약 그것이 모든 각 점 주위에 경계진(bounded) 것이면 지역적으로 경계진 것입니다. 함수의 가족(family)이 만약 그것들의 도메인(domain)에서 임의의 점에 대해 모든 함수가 해당 점을 주위로 및 같은 숫자로 경계지면 지역적으로 경계진 것입니다.

Locally bounded function

어떤 토폴로지적 공간(topological space) $X$에 정의된 실수-값(real-valued) 또는 복소-값(complex-valued) 함수 $f$는 만약 임의의 $x_{0}\in X$에 대해 $f(A)$가 경계진 집합(bounded set)임을 만족하는 $x_{0}$의 이웃(neighborhood)이 존재하면 지역적으로 경계진 함수형이라고 불립니다. 즉, 어떤 숫자 $M>0$에 대해, 우리는 다음을 가집니다: $$|f(x)|\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A.$$

다시 말해서, 각 $x$에 대해, 우리는 $x$의 이웃에서 함수의 모든 값보다 더 큰 것인, $x$에 의존하는, 상수를 찾을 수 있습니다. 이것을 상수가 $x$에 의존하지 않는 경계진 함수(bounded function)와 비교하십시오. 분명하게, 만약 함수가 경계진 것이면 그것은 지역적으로 경계진 것입니다. 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다 (아래를 참조하십시오).

이 정의는 $f:X\to Y$가 일부 메트릭 공간(metric space) $(Y,d)$에서 값을 취할 때인 경우로 확장될 수 있습니다. 그런-다음 위의 부등식은 다음으로 대체될 필요가 있습니다: $$d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A,$$

여기서 $y\in Y$는 메트릭 공간에 어떤 점입니다. $y$의 선택은 정의에 영향을 미치지 않습니다; 다른 $y$를 선택하는 것은 이 부등식이 참인 상수 $r$을 기껏해야 증가할 뿐입니다.

Examples

• $f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$에 의해 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 경계진 것인데, 왜냐하면 모든 $x$에 대해 $0\leq f(x)\leq 1$이기 때문입니다. 그러므로, 그것은 역시 지역적으로 경계진 것입니다.

• $f(x)=2x+3$에 의해 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 경계지지 않은 것인데, 왜냐하면 그것은 임의적으로 크게 됩니다. 어쨌든, 그것은 지역적으로 경계진 것인데 왜냐하면 각 $a$에 대해, 이웃 $(a-1,a+1)$에서 $|f(x)|\leq M$이기 때문이며, 여기서 $M=2|a|+5$입니다.

• 다음에 의해 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 $$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}$$ 경계진 것도 아니고 지역적으로 경계진 것도 아닙니다. 0의 임의의 이웃에서, 이 함수는 임의적으로 큰 크기의 값을 취합니다.

• 임의의 연속 함수는 지역적으로 경계진 것입니다. 다음은 실수 변수의 함수에 대한 하나의 증명입니다. $f:U\to \mathbb {R}$를 연속이라고 놓고 여기서 $U\subseteq \mathbb {R}$이고, 우리는 $f$가 모든 $a\in U$에 대해 $a$에서 지역적으로 경계진 것임을 보일 것입니다. 연속성의 정의에서 ε = 1을 취하면, $|x-a|<\delta$를 갖는 모든 $x\in U$에 대해 $|f(x)-f(a)|<1$를 만족하는 $\delta >0$가 존재합니다. 이제 삼각형 부등식(triangle inequality)에 의해, $|f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|$이며, 이것은 $f$가 ($M=1+|f(a)|$과 이웃 $(a-\delta ,a+\delta )$을 취하여) $a$에서 지역적으로 경계진 것임을 의미합니다. 이 논증은 $f$의 도메인이 임의의 토폴로지적 공간일 때로 쉽게 일반화됩니다.

• 위의 결과의 전환은 어쨌든 참이 아닙니다; 즉, 불연속 함수는 지역적으로 경계진 것일 수 있습니다. 예를 들어 모든 $x\neq 0$에 대해 $f(0)=1$와 $f(x)=0$에 의해 주어진 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$를 생각해 보십시오. 그때에 $f$는 0에서 불연속이지만 $f$는 지역적으로 경계진 것입니다; 그것이 영을 제외하고 예를 들어, 우리가 $M=1$과 이웃 $(-1,1)$을 취할 수 있는 곳에서 지역적으로 상수입니다.

Locally bounded family

어떤 토폴로지적 공간 $X$에 정의된 실수-값 또는 복소-값 함수의 집합(set) (역시 가족으로 불림) U는 만약 임의의 $x_{0}\in X$에 대해, 모든 $x\in A$와 $f\in U$에 대해 다음을 만족하는 $x_{0}$의 이웃(neighborhood) $A$와 양수 $M>0$이 존재하면 지역적으로 경계진 것이라고 불립니다: $$|f(x)|\leq M.$$

다시 말해서, 그 가족에서 모든 함수는 지역적으로 경계져야 하고, 각 점 주위로 그것들은 같은 상수에 의해 경계져야 합니다.

이 정의는 역시 가족 U에서 그 함수가 어떤 메트릭 공간에서 값을 취할 때는 경우로, 거리 함수를 갖는 절댓값을 다시 대체함으로써 확장될 수 있습니다.

Examples

• 다음 함수 $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 가족은 $$f_{n}(x)={\frac {x}{n}}$$ 여기서 $n=1,2,\ldots$이며, 지역적으로 경계진 것입니다. 사실, 만약 $x_{0}$가 실수이면, 우리는 구간 $\left(x_{0}-a,x_{0}+1\right)$이 되도록 이웃 $A$를 선택할 수 있습니다. 그때에 이 구간에서 모든 $x$에 대해 및 모든 $n\geq 1$에 대해 우리는 $M=1+|x_{0}|$을 갖는 다음을 가집니다: $$|f_{n}(x)|\leq M.$$ 게다가, 그 가족은 균등하게 경계진(uniformly bounded) 것인데, 왜냐하면 이웃 $A$도 상수 $M$도 인덱스 $n$에 의존하지 않기 때문입니다.

• 함수 $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 다음 가족은 $$f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}$$ 만약 $n$이 영보다 더 크면 지역적으로 경계진 것입니다. 임의의 $x_{0}$에 대해, 우리는 $\mathbb {R}$ 자체가 되도록 이웃 $A$를 선택할 수 있습니다. 그때에 우리는 $M=1$을 갖는 다음을 가집니다: $$|f_{n}(x)|\leq M.$$ $M$의 값은 x₀ 또는 그것의 이웃 $A$의 선택에 의존하지 않음을 주목하십시오. 이 가족은 그때에 지역적으로 경계진 것일 뿐만 아니라, 역시 균등하게 경계진 것입니다.

• 함수 $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 다음 가족은 $$f_{n}(x)=x+n$$ 지역적으로 경계진 것이 아닙니다. 사실, 임의의 $x$에 대해, 값 $f_{n}(x)$은 $n$이 무한대로 향하는 경향일 때 절대 경계진 것이 아닙니다.

Topological vector spaces

See also: Bounded set (topological vector space), Normable space, and Kolmogorov's normability criterion

지역 경계성은 오직 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space), 또는 토폴로지적 공간에서 토폴로지적 벡터 공간 (TVS)으로의 함수의 속성을 참조할 수 있습니다.

Locally bounded topological vector spaces

Main article: Seminormed space

토폴로지적 벡터 공간 $X$의 부분집합(subset) $B\subseteq X$는 만약 $X$에서 원점의 각 이웃 $U$에 대해 다음을 만족하는 실수 $r>0$이 존재하면 경계진(bounded) 것이라고 불립니다: $$B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.$$

지역적으로 경계진 토폴로지적 벡터 공간은 원점의 경계진 이웃을 소유하는 토폴로지적 벡터 공간입니다. 콜모고로프의 노름가능성 기준(Kolmogorov's normability criterion)에 의해, 이것이 지역적으로 볼록 공간의 참인 것과 TVS의 토폴로지가 일부 반-노름(seminorm)에 의해 유도되는 것은 필요충분 조건입니다. 특히, 모든 각 지역적으로 경계진 TVS는 지역적으로 볼록(locally convex)이고 유사-메트릭가능(pseudometrizable)입니다.

Locally bounded functions

토폴로지적 벡터 공간 사이의 함수를 $f:X\to Y$라고 놓으면 만약 $X$의 모든 각 점이 $f$ 아래의 이미지(image)가 경계진 이웃을 가지면 지역적으로 경계진 함수라고 말합니다.

다음 정리는 토폴로지적 벡터공간의 지역 경계성을 갖는 함수의 지역 경계성과 관련되어 있습니다:

정리. 토폴로지적 벡터 공간 $X$가 지역적으로 경계진 것과 항등 맵(identity map) $\operatorname {id} _{X}:X\to X$이 지역적으로 경계진 것은 필요충분 조건입니다.

See also

• Bornological space
• Bounded operator
• Bounded set (topological vector space)

External links

• PlanetMath entry for Locally Bounded
• nLab entry for Locally Bounded Category