Locally constant function

Original article: w:Locally constant function

The Signum function restricted to the domain $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ is locally constant.

수학(mathematics)에서, 토폴로지적 공간(topological space) A에서 집합(set) B로의 함수(function) f는 만약 A에서 모든 각 a에 대해 f가 U 위에 상수를 만족하는 이웃(neighborhood)이 존재하면 지역적으로 상수입니다.

모든 각 상수 함수(constant function)는 지역적으로 상수입니다.

실수(real number) R에서 R로의 모든 각 지역적으로 상수 함수는, R의 연결성(connectedness)에 의해, 상수입니다. 그러나 유리수(rationals) Q에서 R로의 함수 f는, x < π에 대해 f(x) = 0, 및 x > π에 대해 f(x) = 1에 의해 정의되며, 지역적으로 상수입니다 (여기서 우리는 π가 무리수(irrational)이고 따라서 두 집합 {x∈Q : x < π} 및 {x∈Q : x > π}는 Q에서 둘 다 열린(open) 것이라는 사실을 사용합니다).

만약 f : A → B가 지역적으로 상수이면, 그것은 A의 임의의 연결된 성분(connected component) 위에 상수입니다. 그 전환은 지역적으로 연결된(locally connected) 공간에 대해 참입니다 (여기서 연결된 성분은 열린 것입니다).

나아가서 예제는 다음을 포함합니다:

• 덮는 맵(covering map) p : C → X이 주어지면, X의 각 점 x에 대해 우리는 x에 걸쳐 올(fiber) p⁻¹(x)의 카디널리티(cardinality)를 할당할 수 있습니다; 이 할당은 지역적으로 상수입니다.
• 토폴로지적 공간 A에서 이산 공간(discrete space) B로의 맵이 연속(continuous)인 것과 그것이 지역적으로 상수인 것은 필요충분 조건입니다.

Connection with sheaf theory

X 위에 지역적으로 상수 함수의 뭉치(sheaves)가 있습니다. 보다 명확하게 말하면, X 위의 지역적으로 상수 정수-값 함수는, X의 각 열린 집합 U에 대해 우리가 이런 종류의 함수를 형성할 수 있다는 의미에서 뭉치(sheaf)를 형성합니다; 그리고 그때에 뭉치 공리가 이 구조에 대해 유지하는지 확인하여, 아벨 그룹(abelian group) (심지어 교환 링(commutative ring))의 뭉치를 제공합니다. 이 뭉치는 Z_X로 쓸 수 있습니다; 줄기(stalks)에 의해 설명된 우리는 줄기 Z_x, X에서 각 x에 대해 x에서 Z의 사본을 가집니다. 이것은 상수 뭉치(constant sheaf)로 참조될 수 있으며, (같은) 그룹에서 그것들의 값을 취하는 정확하게 지역적으로 상수 함수의 뭉치를 의미합니다. 물론 전형적인 뭉치는 이런 방법에서 상수가 아닙니다; 그러나 구성은 뭉치 코호몰로지(sheaf cohomology)를 호모토피 이론(homology theory)과 연결하고, 다발의 논리적 응용에 유용합니다. 지역 계수 시스템(local coefficient system)의 아이디어는 우리가 지역적으로 그러한 (임의의 x에 가까운) '무해한' 다발처럼 보이는 다발의 이론을 가질 수 있지만, 전역적 관점에서 약간의 '비틀림'을 나타냅니다.