Lowest common denominator

수학(mathematics)에서 최하 공통 분모(lowest common denominator) 또는 최소 공통 분모(least common denominator) (LCD로 축약됨)는 분수(fractions) 집합의 분모(denominator)의 최하 공통 배수(lowest common multiple)입니다. 그것은 분수를 더하는 것, 빼는 것, 및 비교함으로써 단순화합니다.

Description

분수(fraction)의 집합의 최하 공통 분모(denominator)는 모든 분모의 배수(multiple)인 가장 낮은 숫자 (최하 공통 배수(lowest common multiple))입니다. 분모의 곱은 다음에서 처럼 항상 공통 분모입니다:

{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\;=\;{\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}\;=\;{\frac {7}{6}}

그러나 다음에서 처럼 항상 최하 공통 분모는 아닙니다:

{\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}\;=\;{\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}\;=\;{\frac {37}{36}}

여기서, 36은 12와 18의 최소 공통 배수입니다. 그것들의 곱, 216은 역시 공통 배수이지만, 그 분모로 계산하는 것은 더 큰 숫자를 포함합니다:

{\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}.

숫자가 아닌 변수와 함께, 같은 원칙이 적용됩니다:^[1]

{\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}\;=\;{\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}\;=\;{\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}

LCD를 계산하는 여러 방법은 Least common multiple § Calculation에 있습니다.

Role in arithmetic and algebra

같은 분수는 많은 다른 형식으로 표현될 수 있습니다. 분자와 분모 사이의 비율이 같은 한, 분수는 같은 숫자를 나타냅니다. 예를 들어:

{\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,000}{300,000}}

그것들은 모두 분수로 쓰인 1로 곱해지기 때문입니다:

{\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {6}{6}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {72}{72}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {100,000}{100,000}}.

보통 각각이 "공통 분모"라고 불리는 같은 분모로 표현될 때, 분수를 더하거나, 빼거나, 비교하는 것이 가장 쉽습니다. 예를 들어, 공통 분모를 갖는 분수의 분자는 ${\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}$ 이고 ${\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}$ 임를 만족하는, 간단히 더해질 수 있는데, 왜냐하면 각 분수는 공통 분모 12를 가지기 때문입니다. 공통 분모를 계산없이, ${\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}$ 이 무엇과 같인지, 또는 ${\frac {5}{12}}$ 가 ${\frac {11}{18}}$ 더 큰지 또는 더 작은지 여부는 분명하지 않습니다. 임의의 공통 분모가 그럴 것이지만, 최하 공통 분모가 바람직한데 왜냐하면 계산의 나머지를 가능한 한 간단하게 만들기 때문입니다.^[2]

Practical uses

LCD는 벽돌작업(brickwork), 타일링(tiling), 및 테셀레이션(tessellation)과 같이 같은 위치에서 시작하고 끝나는 행으로 정렬하는 데 필요한 두 다른 길이의 대상의 숫자를 결정하는 것과 같은 많은 실용적인 용도를 가집니다. 그것은 역시 x 일마다 y 일을 쉬는 직원과 함께 작업 일정(work schedule)을 계획하는 데 유용합니다.

음악 리듬에서, LCD는 둘 이상의 박자(metric) 분할이 주어진 시간을 세기 위해 필요한 최소 음표를 결정하기 위해 크로스-리듬(cross-rhythm) 및 폴리-미터(polymeter)에 사용됩니다. 예를 들어, 많은 아프리카 음악은 ¹²
₈을 사용하여 서양 표기법으로 녹음되는데, 왜냐하면 각 마디는 4와 3으로 나뉘고, 그것의 LCD는 12이기 때문입니다.

Colloquial usage

표현 "최하 공통 분모"는 최대한 많은 사람들에게 호소하기 위해 의도적으로 단순화된 것인 규칙, 제안, 의견, 또는 미디어를 (보통 비승인 방식으로) 설명하기 위해 사용됩니다.^[3]

References

^ Brooks, Edward (1901). The Normal Elementary Algebra, Part 1. C. Sower Company. p. 80. Retrieved 7 January 2014.
^ "Fractions". The World Book: Organized Knowledge in Story and Picture, Volume 3. Hanson-Roach-Fowler Company. 1918. pp. 2285–2286. Retrieved 7 January 2014.
^ "lowest common denominator", Collins English Dictionary (accessed February 21, 2018)

[brooks-1] Brooks, Edward (1901). The Normal Elementary Algebra, Part 1. C. Sower Company. p. 80. Retrieved 7 January 2014.

[worldbook-2] "Fractions". The World Book: Organized Knowledge in Story and Picture, Volume 3. Hanson-Roach-Fowler Company. 1918. pp. 2285–2286. Retrieved 7 January 2014.

[3] "lowest common denominator", Collins English Dictionary (accessed February 21, 2018)

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[3]

Description

Role in arithmetic and algebra

Practical uses

Colloquial usage

See also

References