Matrix congruence
수학(mathematics)에서, 필드에 걸쳐 두 정사각 행렬(square matrices) A와 B는 다음임을 만족하는 같은 필드에 걸쳐 역-가능 행렬(invertible matrix) P가 존재하면 합동(congruent)이라고 불립니다:
- PTAP = B
여기서 "T"는 행렬 전치(matrix transpose)를 나타냅니다. 행렬 합동은 동치 관계(equivalence relation)입니다.
행렬 합동은 유한-차원 벡터 공간에서 쌍선형 형식(bilinear form) 또는 이차 형식(quadratic form)에 부착된 그람 행렬(Gram matrix) 위에 기저의 변경의 효과를 고려할 때 발생합니다: 두 행렬이 합동인 것과 그것들이 서로 다른 기저(bases)에 관해 같은 쌍선형 형식을 나타내는 것은 필요충분 조건입니다.
핼모스(Halmos)는 합동을 전치가 아닌 (복소 안의 곱 공간(inner product space)에 관한) 켤레 전치(conjugate transpose)의 관점에서 정의하지만,[1] 이 정의는 대부분의 다른 저자에 의해 채택되지 않았습니다.
Congruence over the reals
실베스터의 관성의 법칙(Sylvester's law of inertia)은 실수 엔트리를 갖는 두 개의 합동 대칭 행렬(symmetric matrices)은 같은 개수의 양수, 음수, 및 영 고윳값(eigenvalues)을 가진다고 말합니다. 즉, 각 부호의 고윳값 개수는 결합된 이차 형식의 불변입니다.[2]
See also
References
- ^ Halmos, Paul R. (1958). Finite dimensional vector spaces. van Nostrand. p. 134.
- ^ Sylvester, J J (1852). "A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares" (PDF). Philosophical Magazine. IV: 138–142. Retrieved 2007-12-30.
- Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1967). Linear geometry. van Nostrand. p. 80.
- Hadley, G. (1961). Linear algebra. Addison-Wesley. p. 253.
- Herstein, I.N. (1975). Topics in algebra. Wiley. p. 352. ISBN 0-471-02371-X.
- Mirsky, L. (1990). An introduction to linear algebra. Dover Publications. p. 182. ISBN 0-486-66434-1.
- Marcus, Marvin; Minc, Henryk (1992). A survey of matrix theory and matrix inequalities. Dover Publications. p. 81. ISBN 0-486-67102-X.
- Norman, C.W. (1986). Undergraduate algebra. Oxford University Press. p. 354. ISBN 0-19-853248-2.