Matrix similarity

Original article: w:Matrix similarity

For other uses, see Similarity (geometry) and Similarity transformation (disambiguation).

Not to be confused with similarity matrix.

선형 대수(linear algebra)에서, 두 개의 n×n 행렬(matrices) A와 B는 다음임을 만족하는 역-가능(invertible) n×n 행렬 P가 존재하면 닮았다(similar)고 불립니다: $$B=P^{-1}AP.$$ 닮은 행렬은 두 개의 (아마도) 다른 기저(bases) 아래에서 같은 선형 맵(linear map)을 나타내며, P는 기본 행렬의 변경입니다.

변환 A ↦ P⁻¹AP은 행렬 A의 닮음 변환(similarity transformation) 또는 켤레화(conjugation)라고 불립니다. 일반적인 선형 그룹(general linear group)에서, 따라서 닮음은 켤레(conjugacy)와 같고, 닮은 행렬은 켤레(conjugate)라고도 불립니다; 어쨌든, 일반 선형 그룹의 주어진 부분그룹 H에서, 켤레의 개념은 P가 H에 놓이도록 선택해야 하기 때문에 닮음보다 더 제한적일 수 있습니다.

Motivating example

선형 변환을 정의할 때, 기저의 변경으로 인해 같은 변환의 더 간단한 형식이 될 수 있는 경우가 있습니다. 예를 들어, 회전축이 좌표축과 정렬되지 않았을 때 R³에서 회전을 나타내는 행렬은 계산하기 복잡할 수 있습니다. 만약 회전축이 양의 z-축에 정렬되면, 그것은 다음과 같이 간단히 될 것입니다: $$S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},$$ 여기서 $\theta$는 회전의 각도입니다. 새로운 좌표 시스템에서, 변환은 다음으로 쓸 것입니다: $$y'=Sx',$$ 여기서 x'와 y'는 각각 회전축에 평행한 벡터를 포함하는 새로운 기저의 원래 벡터와 변환된 벡터입니다. 원래 기저에서, 변환은 다음과 같이 쓸 것입니다: $$y=Tx,$$ 여기서 벡터 x와 y와 미지수 변환 행렬 T는 원래 기저에 있습니다. 더 간단한 행렬의 관점에서 T를 쓰기 위해, x와 y를 $x'=Px$와 $y'=Py$로 변환하는 기저-의-변경 행렬 P를 사용합니다: $${\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\&\Rightarrow &Py&=SPx\\&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}$$

따라서, 원래 기저에서 행렬, $T$는 $T=P^{-1}SP$에 의해 지정됩니다. 원래 기저에서 변환은 유도하기 쉬운 세 개의 행렬의 곱인 것으로 밝혀졌습니다. 실제로, 닮음 변환은 세 단계로 연산합니다: 새로운 기저로 변경 (P), 단순 변환의 수행 (S), 및 이전 기저로 다시 변경 (P⁻¹)입니다.

Properties

닮음은 정사각 행렬의 공간 위에 동치 관계(equivalence relation)입니다.

행렬이 닮은 것과 그것들이 (아마도) 다른 기저에 관해 같은 선형 연산자를 나타내는 것은 필요충분 조건이기 때문에, 닮은 행렬은 그것들의 공유된 놓여있는 연산자의 모든 속성을 공유합니다:

• 랭크(Rank)
• 특성 다항식(Characteristic polynomial), 및 그것으로부터 파생될 수 있는 속성:
  • 행렬식(Determinant)
  • 대각합(Trace)
  • 고윳값(Eigenvalues), 및 그것들의 대수적 중복도(algebraic multiplicities)
• 고윳값의 기하적 중복도(Geometric multiplicities) (그러나 사용된 기저 변경 행렬 $P$에 따라 변환되는 고유공간은 아닙니다).
• 최소 다항식(Minimal polynomial)
• 프로베니우스 정규 형식(Frobenius normal form)
• 조르당 정규 형식(Jordan normal form), 조르당 블록의 순열까지
• 거듭제곱영의 인덱스(Index of nilpotence)
• 기본 약수(Elementary divisors), 이는 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)에 걸쳐 행렬의 닮음에 대해 완전 집합을 형성합니다.

이 때문에, 주어진 행렬 A에 대해, A와 닮은 간단한 "정규 형식" B를 찾는 데 관심이 있습니다—A에 대한 연구는 그때에 더 간단한 행렬 B에 대한 연구로 축소됩니다. 예를 들어, A는 만약 그것이 대각 행렬(diagonal matrix)과 닮았으면 대각화-가능(diagonalizable)이라고 불립니다. 모든 행렬이 대각화-가능은 아니지만, 적어도 복소수 (또는 임의의 대수적으로 닫힌 필드)에 걸쳐 모든 각 행렬은 조르당 형식(Jordan form)에서 행렬과 닮았습니다. 이들 형식 중 어느 것도 고유하지 않으므로 (대각 엔트리 또는 조르당 블록이 순열될 수 있음) 그것들은 실제로 정규 형식(normal forms)이 아닙니다; 더욱이 그것들의 행렬식은 A의 최소 또는 특성 다항식을 인수화할 수 있는지 (동등하게 고윳값을 찾는 것)에 달려 있습니다. 유리 정식의 형식(rational canonical form)은 이들 단점을 가지지 않습니다: 그것은 임의의 필드에 걸쳐 존재하고, 진정으로 고유하고, 그 필드에서 산술 연산만 사용하여 계산될 수 있습니다; A와 B가 닮은 것과 그것들이 같은 유리 정식의 형식을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 유리 정식의 형식은 A의 기본 약수에 의해 결정됩니다; 이것들은 조르당 형식에서 행렬로부터 즉시 읽을 수 있지만, 다항식의 링에 대해 (다항식의 엔트리를 갖는) 행렬 XI_n − A (그 행렬식이 특성 다항식을 정의하는 같은 다항식)의 스미스 정규 형식(Smith normal form)을 계산함으로써 임의의 행렬에 대해 직접적으로 결정될 수도 있습니다. 이 스미스 정규 형식은 A 자체의 정규 형식이 아님에 주목하십시오; 게다가 그것은 XI_n − A 와도 닮지 않지만, 다른 (다항식 엔트리를 갖는) 역가능 행렬에 의한 왼쪽 곱셈과 오른쪽 곱셈에 의해 후자로부터 얻습니다.

행렬의 닮음은 기본 필드에 의존하지 않습니다: 만약 L이 부분필드(subfield)로 K를 포함하는 필드이고, A와 B가 K에 걸쳐 두 개의 행렬이면, A와 B는 K에 걸쳐 행렬과 닮은 것과 그것들이 L에 걸쳐 행렬과 닮은 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 K에 걸쳐 유리 정식의 형식이 L에 걸쳐 유리 정식의 형식이기도 하기 때문입니다. 이것은 주어진 행렬이 닮았는지 여부를 결정하기 위해 더 큰 필드에만 존재하는 조르당 형식을 사용할 수 있음을 의미합니다.

닮음의 정의에서, 행렬 P가 순열 행렬(permutation matrix)로 선택될 수 있으면, A와 B는 순열-닮은(permutation-similar) 것입니다; P가 유니태리 행렬(unitary matrix)로 선택될 수 있으면 A와 B는 유니태리적으로 동등(unitarily equivalent)합니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)에 따르면 모든 각 정규 행렬(normal matrix)은 일부 대각 행렬과 유니태리적으로 동일합니다. 스페히트의 정리(Specht's theorem)는 두 행렬이 유니태리적으로 동등한 것과 그것들이 특정 대각합 상등을 만족시키는 것은 필요충분 조건이라고 말합니다.

See also

• Canonical forms
• Matrix congruence
• Matrix equivalence

References

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)