Method of exhaustion
소진의 방법(method of exhaustion, 또는 methodus exhaustionibus, 또는 méthode des anciens)은 그것 안에 다각형(polygon)의 수열을 내접(inscribing)시킴으로써 모양(shape)의 넓이(area)를 찾는 한 방법으로써, 그의 넓이(area)는 모양(shape)을 포함하는 넓이에 수렴(converge)합니다. 만약 수열이 정확하게 구성되면, n-번째 다각형과 포함하는 모양 사이의 넓이에서 차이는 n이 커질 때 임의적으로 작게 될 것입니다. 이 차이가 임의로 작아지므로, 모양의 넓이에 대해 가능한 값은 수열 구성원에 의해 연속적으로 세워진 아래 경계 넓이에 의해 시스템적으로 "소진"됩니다.
소진의 방법은, reductio ad absurdum으로 알려진, 모순에 의한 증명(proof by contradiction)의 형식을 전형적으로 요구했습니다. 이것은 먼저 영역을 두 번째 영역의 넓이와 비교함으로써 영역의 넓이를 결과적으로 찾게 됩니다 (이것이 그의 넓이가 참 넓이에 임의적으로 가깝게 되도록 "소진"될 수 있습니다). 증명은 참 넓이가 두 번째 넓이보다 크다고 가정하고, 그런-다음 해당 주장이 거짓임을 입증하고, 그런-다음 그것이 두 번째 넓이보다 작다고 가정하고, 해당 주장이 역시 거짓임을 입증하는 것을 포함합니다.
History
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그 아이디어는, 비록 그가 그것을 얼마나 잘 이해했는지는 전적으로 분명하지 않을지라도, 안티폰(Antiphon)과 함께 기원전 5세기 후반에 시작되었습니다.[1] 그 이론은 수십 년 후 크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus)에 의해 엄격히 만들어졌으며, 그는 그것을 넓이와 부피를 계산하기 위해 사용했습니다. 그것은 기원후 3세기에 유 휘(Liu Hui)에 의해 중국(China)에서 원의 넓이를 찾기 위해 재발명되었습니다.[2] 그 용어의 첫 번째 사용은 1647년 세인트 빈센트의 그레고리(Gregory of Saint Vincent)에 의해 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서 였습니다.
소진의 방법은 미적분학(calculus)의 방법에 대한 전조로 보였습니다. 17–19세기에서 해석적 기하학(analytical geometry) 및 엄격한 적분 미적분학(integral calculus)의 개발은 더 이상 문제를 해결하기 위해 명시적으로 사용되지 않도록 소진의 방법을 포함했습니다. 중요한 대안적 접근은 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)로 "불가분의 방법(method of indivisibles)"으로 역시 이름 지었으며, 그것은 결국 호베르발(Roberval), 토리첼리(Torricelli), 월리스(Wallis), 라이프니츠(Leibniz), 및 다른 사람들의 무한소(infinitesimal) 미적분학으로 진화했습니다.
Euclid
유클리드(Euclid)는 그의 원론(Elements)의 책 12권에서 다음 여섯 제안을 입증하기 위해 소진의 방법을 사용했습니다.
- 제안 2
- 원의 넓이는 그들의 지름의 제곱에 비례합니다.[3]
- 제안 5
- 같은 높이의 두 사면체의 부피는 그들의 삼각형 밑변의 넓이에 비례합니다.[4]
- 제안 10
- 원뿔의 부피는 같은 밑변과 높이를 가지는 해당하는 원기둥의 부피의 삼분의 일입니다.[5]
- 제안 11
- 같은 높이의 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례합니다.[6]
- 제안 12
- 또 다른 것과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 지름의 비율의 세제곱에 비례합니다.[7]
- 제안 18
- 구의 부피는 그의 반지름의 세제곱에 비례합니다.[8]
Archimedes
아르키메데스는 더 넓은 넓이와 더 많은 변(sides)의 다각형(polygon)과 함께 원(circle)을 채움으로써 원 내부의 넓이를 계산하는 방법으로 소진의 방법을 사용했습니다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나누어서 형성된 몫은 다각형 변의 숫자가 커져갈 때 임의적으로 π에 가깝게 만들 수 있으며, 반지름r의 원 내부 넓이는 πr2임을 입증했으며, π는 반지름에 대한 둘레의 비율 (C/d) 또는 그의 반지름의 제곱에 대한 원의 널이의 비율 (A/r²)으로 정의되었습니다.
그는 원의 둘레를 내접된 및 외접된 96-변 정규 다각형의 둘레와 비교함으로써 (1/497의 범위를 제공하는), 경계 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70를 역시 제공했습니다.
그가 소진의 방법과 함께 얻은 다른 결과는 다음을 포함합니다:[9]
- 직선과 포물선의 교차로 경계진 넓이는 같은 밑변과 높이를 가지는 삼각형의 4/3 넓이입니다;
- 타원의 넓이는 주요 및 보조 축과 같은 변을 가지는 직사각형에 비례합니다;
- 구의 부피는 같은 반지름의 밑변과 이 반지름과 같은 높이를 가진 원뿔의 넓이의 4배입니다;
- 그의 반지름과 같은 높이를 갖는 원기둥의 부피는 같은 지름을 가지는 구의 3/2 부피입니다;
- 하나의 나선(spiral) 회전과 직선에 의해 경계진 넓이는 선분 길이와 같은 반지름을 가진 원의 1/3 넓이입니다;
- 소진의 방법의 사용은 (처음으로) 무한 기하 급수(infinite geometric series)의 성공적인 평가로 역시 이어졌습니다.
See also
References
- ^ "Antiphon (480 BC-411 BC)". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
- ^ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). "A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles". Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. 130. Springer: 279. ISBN 0-7923-3463-9.
{{cite journal}}: Cite journal requires|journal=(help), Chapter , p. 279 - ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 2". aleph0.clarku.edu.
- ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 5". aleph0.clarku.edu.
- ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 10". aleph0.clarku.edu.
- ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 11". aleph0.clarku.edu.
- ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 12". aleph0.clarku.edu.
- ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 18". aleph0.clarku.edu.
- ^ Smith, David E (1958). History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.