Cavalieri's principle

기하학(geometry)에서, 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle), 불가분의 방법(method of indivisibles)을 현대적 구현은, 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)의 이름을 따서 지어졌으며, 다음과 같습니다:^[1]

2-차원 경우: 평면에서 두 영역이 해당 평면에 있는 두 평행 직선 사이에 포함되어 있다고 가정합니다. 만약 이들 두 직선에 평행한 모든 각 직선이 같은 길이의 선분에서 두 영역을 교차하면, 두 영역은 같은 넓이를 가집니다.
3-차원 경우: 세 공간 (고체)에서 두 영역이 두 평행 평면 사이에 포함되어 있다고 가정합니다. 만약 이들 두 평면에 평행한 모든 각 평면이 같은 넓이의 교차-단면(cross-sections)에서 두 영역을 교차하면, 두 영역은 같은 부피를 가집니다.

오늘날 카발리에리의 원리는 적분 미적분(integral calculus)을 향한 초기 단계로 보고, 푸비니의 정리(Fubini's theorem)와 층 케이크 표현(layer cake representation)의 일반화와 같은 일부 형식에서 사용되지만, 카발리에리의 원리를 사용한 결과는 적분을 통해 더 직접적으로 표시될 수 있습니다. 다른 방향에서, 카발리에리의 원리는 극한을 사용하지만 무한소(infinitesimals)를 사용하지 않는 고대 그리스의 소진의 방법(method of exhaustion)에서 성장했습니다.

History

카발리에리의 원리는 원래 불가분의 방법(method of indivisibles)이라고 불렸으며, 르네상스 시대 유럽에서는 그 이름으로 알려졌습니다. 카발리에리는 그의 Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (기하학, 연속체의 불가분에 의해 새로운 방법에서 발전, 1635) 및 그의 Exercitationes geometricae sex (6개의 기하학 연습 문제, 1647)에서 정교화된, 불가분의 완전한 이론을 개발했습니다.^[2] 카발리에리의 연구는 원리를 확립했지만, 그의 출판물에서 그는 연속체가 결합된 역설과 종교적 논쟁을 피하기 위한 노력으로 불가분으로 구성되어 있음을 부인했었고, 이전에 알려지지 않은 결과를 찾기 위해 그것을 사용하지 않았습니다.^[3]

기원전 3세기에서, 아르키메데스는, 카발리에리의 원리와 유사한 방법을 사용하여,^[4] 그의 연구 The Method of Mechanical Theorems에서 원뿔과 원기둥의 부피가 주어졌을 때 구의 부피를 구할 수 있었습니다. 기원후 5세기에서, 조충지(Zu Chongzhi)와 그의 아들 조긍지(Zu Gengzhi)는 구의 부피를 찾는 유사한 방법을 확립했습니다.^[5] 카발리에리의 불가분에서 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)와 존 월리스(John Wallis)의 무한소(infinitesimals)로의 전환은 미적분학의 역사에서 주요한 발전이었습니다. 불가분은 평면 도형은 무한한 숫자의 1-차원 직선으로 만들어진 것으로 생각되도록 여차원(codimension) 1의 실체였습니다. 한편, 무한소는 그것들이 구성하는 도형과 같은 차원의 실체였습니다; 따라서, 평면 도형은 극한소 너비의 "평행사변형"으로 만들어집니다. 산술 진행의 합에 대해 공식을 적용하여, 월리스는 삼각형을 너비 1/∞의 극한소 평행사변형으로 분할함으로써 삼각형의 넓이를 계산했습니다.

2-dimensional

Cycloids

N. Reed는 카발리에리의 원리를 사용함으로써 사이클로이드(cycloid)로 둘러싸인 넓이를 찾는 방법을 보여주었습니다.^[6] 반지름 r의 원은 그것 아래 선에서는 시계 방향으로, 위 선에서는 반시계 방향으로 구를 수 있습니다. 이에 따라 원 위의 한 점이 두 개의 사이클로이드를 추적합니다. 원이 임의의 특정 거리를 굴렸을 때, 시계 방향으로 돌았을 각도와 반시계 방향으로 돌았을 각도는 같습니다. 따라서 사이클로이드를 추적하는 두 점은 같은 높이에 있습니다. 따라서 그것들을 통과하는 선은 수평입니다 (즉, 원이 굴러가는 두 선에 평행입니다). 결과적으로 원의 각 수평 교차-단면은 사이클로이드의 두 호로 둘러싸인 영역의 대응하는 수평 교차-단면과 같은 길이를 가집니다. 그러므로 카발리에리의 원리에 따라, 원은 해당 영역과 같은 넓이를 가집니다.

단일 사이클로이드 아치를 경계로 하는 직사각형을 생각해 보십시오. 사이클로이드의 정의에서, 그것은 너비 $2π r$ 이고 높이 $2 r$ 을 가지므로, 그것의 넓이는 원 넓이의 4배입니다. 아치가 직사각형과 만나는 중간 점에서 직사각형을 이등분함으로써 사이클로이드 아치 위에 있는 이 직사각형 내의 넓이를 계산하고, 한 조각을 180° 회전하고 그것과 함께 직사각형의 나머지 절반을 위에 씌웁니다. 넓이가 원의 두 배인 새로운 직사각형은 두 사이클로이드 사이의 "렌즈" 영역으로 구성되며, 그 넓이는 위에서 원의 넓이와 같게 계산되었고, 원래 직사각형에서 사이클로이드 아치 위의 영역을 형성하는 두 영역으로 구성됩니다. 따라서, 사이클로이드의 하나의 완전한 아치 위의 직사각형으로 둘러싸인 넓이는 원의 넓이와 같고, 아치로 둘러싸인 넓이는 원 넓이의 3배입니다.

3-dimensional

Cones and pyramids

임의의 각뿔(pyramid)의 부피는, 원뿔 (원형 밑면)을 포함하여 밑면의 모양에 관계없이, (1/3) × 밑면 × 높이라는 사실은 한 경우만이라도 그것이 참이라는 것을 알면 카발리에리의 원리에 의해 수립될 수 있습니다. 처음에는 삼각형 각기둥의 내부를 같은 부피의 3개의 각뿔 구성 요소로 분할함으로써 단일 사례에서 수립할 수 있습니다. 카발리에리의 원리를 수단으로 이 세 개의 부피의 상등을 보여줄 수 있습니다.

사실, 카발리에리의 원리 또는 유사한 무한소 논증은 원뿔과 심지어 각뿔의 부피를 계산하기 위해 필요하며, 이는 본질적으로 힐베르트의 세 번째 문제(Hilbert's third problem)의 내용입니다 – 다면체 각뿔과 원뿔은 잘라서 표준 모양으로 자르고 재배열될 수 없고, 대신 무한한 (무한소) 수단에 의해 비교되어야 합니다. 고대 그리스인들은 이들 부피를 계산하기 위해 아르키메데스의 역학 논증 또는 소진의 방법(method of exhaustion)과 같은 다양한 선구적인 기술을 사용했습니다.

Paraboloids

반지름 $r$ 이고 높이 $h$ 의 원기둥을 생각해 보십시오. 이 원기둥의 꼭대기는 원기둥의 바닥 면 중심에 있고 밑면은 원기둥의 꼭대기 면인 포물면체(paraboloid) $y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ 와 둘레접합니다.

역시, 치수는 같지만 꼭대기와 밑면이 뒤집힌 포물면체 $y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}$ 를 생각해 보십시오.

모든 각 높이 $0\leq y\leq h$ 에 대해, 뒤집힌 포물면체의 디스크-모양 교차-단면 넓이 $\pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}$ 는 내접된 포물면체 외부 원기둥 부분의 고리-모양 교차-단면 넓이 $\pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}$ 와 같습니다.

그러므로, 뒤집힌 포물면체의 부피는 내접된 포물면체 외부 원기둥 부분의 부피와 같습니다. 다시 말해서, 포물면체의 부피는 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$ 이며, 그것의 둘레접하는 원기둥의 부피의 절반입니다.

Spheres

만약 원뿔(cone)의 부피가 ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ 라는 것을 안다면, 카발리에리의 원리를 구(sphere)의 부피가 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 라는 사실을 도출하기 위해 사용될 수 있으며, 여기서 $r$ 은 반지름입니다.

이는 다음과 같이 수행됩니다: 반지름 $r$ 의 구와 반지름 $r$ 과 높이 $r$ 의 원기둥을 생각해 보십시오. 원기둥 내부에는 꼭대기가 원기둥의 한 밑면의 중심에 있고 밑면이 원기둥의 다른 밑면인 원뿔이 있습니다. 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)에 따르면, "적도" 위의 $y$ 단위에 위치한 평면은 반지름 ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ 과 넓이 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ 의 원에서 구와 교차합니다. 원뿔의 외부에 있는 원기둥의 부분과 평면의 교차 넓이도 $\pi \left(r^{2}-y^{2}\right)$ 입니다. 알 수 있는 바와 같이, 임의의 높이 $y$ 에 위치한 수평 평면의 구와의 교차에 의해 정의된 원의 넓이는 해당 평면과 원뿔의 "외부"에 있는 원기둥 부분의 교차의 넓이와 같습니다; 따라서 카발리에리의 원리를 적용하여, 절반 구의 부피는 원뿔 "외부"에 있는 원기둥 부분의 부피와 같다고 말할 수 있습니다. 위에서 언급한 원뿔의 부피는 원기둥 부피의 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 이고, 따라서 원뿔 외부의 부피는 원기둥 부피의 ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ 입니다. 그러므로, 구의 위쪽 절반의 부피는 원기둥 부피의 ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ 입니다. 원기둥의 부피는 다음과 같습니다:

{\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}

("base"은 넓이의 단위에 있습니다; "height"는 거리의 단위에 있습니다. 넓이 × 거리 = 부피.)

그러므로 위쪽 절반-구의 부피는 ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ 이고 전체 구의 부피는 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 입니다.

The napkin ring problem

냅킨 고리 문제(napkin ring problem)라고 불리는 것에서, 카발리에리의 원리에 의해 남아있는 밴드가 높이 $h$ 인 구의 중심을 통해 직선으로 구멍을 뚫을 때 남아있는 재료의 부피는 놀랍게도 구의 크기에 의존하지 않는다는 것을 보여줍니다. 남아있는 고리의 교차-단면은 평면 고리-모양이며, 그 넓이는 두 원의 넓이 사이의 차이입니다. 피타고라스의 정리에 따르면, 두 원 중 하나의 넓이는 $\pi \times (r^{2}-y^{2})$ 이며, 여기서 $r$ 은 구의 반지름이고 $y$ 는 적도의 평면에서 절단 평면까지의 거리이고, 다른 원의 넓이는 ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ 입니다. 이것을 빼면 $r^{2}$ 가 취소됩니다; 따라서 $r$ 에 대한 최종 답변의 의존성이 없습니다.

References

^ Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", The College Mathematics Journal, volume 22, number 2, March, 1991), pages 118–124
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 477.
^ Alexander, Amir (2015). Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. Great Britain: Oneworld. pp. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
^ "Archimedes' Lost Method". Encyclopedia Britannica.
^ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Extract of page 27
^ Reed, N. (December 1986). "70.40 Elementary proof of the area under a cycloid". The Mathematical Gazette. 70 (454): 290–291. doi:10.2307/3616189. JSTOR i285660.

External links

Weisstein, Eric W. "Cavalieri's Principle". MathWorld.
(in German) Prinzip von Cavalieri
Cavalieri Integration

[1] Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", The College Mathematics Journal, volume 22, number 2, March, 1991), pages 118–124

[2] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 477.

[3] Alexander, Amir (2015). Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. Great Britain: Oneworld. pp. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.

[4] "Archimedes' Lost Method". Encyclopedia Britannica.

[5] Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Extract of page 27

[:0-6] Reed, N. (December 1986). "70.40 Elementary proof of the area under a cycloid". The Mathematical Gazette. 70 (454): 290–291. doi:10.2307/3616189. JSTOR i285660.

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